山东省菏泽市定陶区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份山东省菏泽市定陶区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共18页。试卷主要包含了请将答案填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试题满分120分，考试时间120分钟
2．请将答案填写在答题卡上
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置）
1. 在实数，，，，， ，中，无理数有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
详解：解：，
在实数，，，，， ，中，无理数有，，，共3个，
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 若直角三角形两直角边长分别为和，则其斜边长度的整数部分为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：∵直角三角形两直角边长分别为和，
∴斜边，
∵
∴斜边长度的整数部分为，
故选：．
4. 如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A. 10B. C. D. 14
答案：C
解析：
详解：解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故选：C．
5. 小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x支钢笔．可列出不等式（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：设小聪买了x支钢笔，则买了本笔记本，
根据题意得：．
故选B．
6. 若不等式组 无解，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：
解不等式，得：；
解不等式，得：；
∵不等式组无解，
∴，
即：，
故选：D．
7. 平行四边形中，对角线，，交点为点，则边的取值范围为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：如图所示：
四边形是平行四边形，，，
，，
在中，由三角形三边关系定理得：，
即，
故选：B．
8. 若方程组的解满足，则的取值中负整数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解析：
详解：解：
得：

∵
∴
∴
∴的取值中负整数有两个，分别为：-2、-1．
故选：B．
9. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
答案：C
解析：
详解：解：如图所示，连接，
∵四边形菱形，
∴，，，
在中，，
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
10. 如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG、BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③S△DGF＝120；④S△BEF＝；⑤BF∥DE．其中正确结论的个数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
答案：B
解析：
详解：解：如图，
由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，故②正确；
S△DGF=•FG•DF=×4×12=24，故③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE=×24=，故④正确．
∵EF=EC=EB，
∴∠EFB=∠EBF，
∵∠DEC=∠DEF，∠CEF=∠EFB+∠EBF，
∴∠DEC=∠EBF，
∴BF∥DE，故⑤正确；
所以①②④⑤正确，共4个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11. 若实数m，n满足，则的值是______；
答案：5
解析：
详解：∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：5．
12. 如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为____________．
答案：
解析：
详解：∵Rt△ABC的直角边AB在数轴上
∴
∴
∵以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D
∴
∴点D表示的实数为：
故答案为：．
13. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）．
答案：
解析：
详解：解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，
，为直角边，为斜边，
，
，
得到，
，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为：．
14. 已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是_____．
答案：3＜m≤4
解析：
详解：解得不等式组的解集为：2≤x＜m，
因为不等式组只有2个整数解，所以这四个整数解为：2，3，
因此实数m的取值范围是3＜m≤4．
故答案为3＜m≤4．
15. 如图，在长方形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，则线段的长为 _____．
答案：3.75
解析：
详解：解：设，则，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
故答案为：3.75．
16. 如图，已知等腰的直角边长为1，以的斜边为直角边，画第2个等腰，再以的斜边为直角边，画第3个等腰，…，依此类推直到第100个等腰，则由这100个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______
答案：
解析：
详解：解：∵等腰的直角边长为1，
∴根据题意，，，，……，
∴，，，，……，
∴，
故由这100个等腰直角三角形所构成的图形的面积为，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17. 计算：
（1）
（2）
答案：（1）；（2）-9
解析：
详解：解：（1）原式=
=
=．
（2）原式==．
18. 解下列不等式（组）：
（1），并把解集在数轴上表示出来；
（2）．
答案：（1）．在数轴上表示见解析
（2）原不等式组无解
解析：
小问1详解：
解：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
在数轴上表示为：
小问2详解：
解：
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴原不等式组无解．
19. 已知：的立方根是，的算术平方根是3，c是的整数部分．求的平方根．
答案：
解析：
详解：∵的立方根是，的算术平方根是3，
∴，，
解得，，
∵c是的整数部分，
∴．
∴，
∴4的平方根是．
20. 如图，在中，，以为边作，交与点F，
​
（1）若，求的度数．
（2）若，求．
答案：（1）；
（2）
解析：
小问1详解：
在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴；
小问2详解：
∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
21. 如图，在四边形中，，．过点分别作于点，于点，且．求证：四边形是菱形．

答案：见解析
解析：
详解：证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
22. 如图，在中，、分别是、的中点，连接、、．
（1）；
（2），求证四边形是矩形．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
小问1详解：
证明：四边形是平行四边形，
，，．
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
；
小问2详解：
证明：，
．
又，
四边形是平行四边形．
，是的中点，
．
即．
四边形是矩形．
23. 某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元．
（1）求甲、乙型号微波炉每台进价为多少元？
（2）该店预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案；
（3）该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售共20台，其中甲型微波炉a台，甲型微波炉的售价为1400元，售出一台乙型微波炉的利润率为．为了促销，公司决定甲型微波炉九折出售，而每售出一台乙型微波炉，返还顾客现金m元，若全部售出购进的微波炉所获得的利润与a无关．则m的值应为多少？
答案：（1）甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元
（2）有4种进货方案，分别为：甲型号7台则乙型号13台；甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台则乙型号10台
（3）100
解析：
小问1详解：
解：设甲型号微波炉每台进价为x元，乙型号微波炉每台进价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元．
小问2详解：
解：设购进甲型号微波炉为a台，则乙型号微波炉为台，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵为正整数，
∴的值为7、8、9、10，
∴有4种进货方案，分别为：甲型号7台则乙型号13台；甲型号8台则乙型号12台；甲型号9台则乙型号11台；甲型号10台则乙型号10台．
小问3详解：
解：设总利润为w，则由（2）可得：
，
∵所获得的利润与a无关，
∴，解得：，
答：要使所获得的利润与a无关，则m的值应为100．
24. 如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有这样的数量关系：AB2+CD2＝AD2+BC2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证）
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
答案：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析
（2）见解析 （3）GE＝
解析：
小问1详解：
四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
解：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴，
即四边形ABCD是垂美四边形；
小问2详解：
已知，如图1，垂美四边形ABCD的对角线交于点O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2
证明：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
小问3详解：
解：如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，，
∵AC＝4，AB＝5，
∴，
∵，
，
∴，
∴．