山东省济南市商河县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份山东省济南市商河县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式：；，，，，其中属于不等式的有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
2.下列生活现象中，属于平移的是( )
A. 钟摆的摆动B. 拉开抽屉
C. 足球在草地上滚动D. 投影片的文字经投影转换到屏幕上
3.下列命题与它的逆命题均为真命题的是( )
A. 内错角相等B. 对顶角相等
C. 如果，那么D. 互为相反数的两个数和为
4.下列由左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5.某品牌自行车进价为每辆元，标价为每辆元店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于，则最多可打折．( )
A. 六B. 七C. 八D. 九
6.如图，将绕点逆时针旋转，得到若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
7.若关于的不等式组无解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，的垂直平分线交于点若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路的距离都相等，则满足条件的油库位置有个．( )
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；把点向上平移个单位，再向左平移个单位，得到点；把点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点；把点向下平移个单位，再向右平移个单位，得到点，；按此做法进行下去，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.命题“若，，则”这个命题是______命题填“真”或“假”．
12.如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，且，则 ______．
13.如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶海里到处，再从处向正东方向行驶海里到处，此时这艘船与出发点处相距______海里．
14.直线和如图所示，则关于的不等式的解集是______．
15.用反证法证明，“在中，、对边是、，若，则”第一步应假设______．
16.对、定义一种新运算“”规定：、均为非零常数，等式右边的运算是通常的四则运算，例如已知，则关于的不等式的最小整数解为______．
三、解答题：本题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
分解因式：
；
．
18.本小题分
解不等式组：．
19.本小题分
如图，已知在中，，是的角平分线，且，，试求的度数．
20.本小题分
如图，中，，的垂直平分线交于点．
若，求的度数
若，，求的周长．
21.本小题分
如图所示的正方形网格中每个小正方形的边长是，小正方形顶点叫作格点，的顶点均在格点上，且，，，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
的面积为______．
作，使它与关于坐标原点成中心对称．
在轴上作一点，使得的值最小．
22.本小题分
认真阅读以下分解因式的过程，再回答所提出的问题：
上述分解因式的方法是______；
分解因式：；
猜想：分解因式的结果是______．
23.本小题分
小白同学想利用中考后的暑假时间，体验一下社会实践活动他发现路边卖的腌制青芒果生意特别火爆，于是他开始做准备工作先上网查阅资料，了解腌制青芒果的制作工序，需要的原材料有青芒果、盐、白糖他去市场打听到了青芒果一斤元，白糖一斤元小白妈妈说盐家里有好多，盐就由她赞助给小白在制作过程中，他发现一斤青芒果削皮去核后，青芒果肉只剩下半斤用少许盐腌制后，清洗干净再用白糖腌制一斤白糖可以腌制三斤青芒果肉小白觉得在制作过程中挺费劲的，而且在实际售卖过程中，只能捞出芒果肉售卖他想利润率不低于，请你帮他计算一下，售价至少定为多少元？
24.本小题分
如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
求证：；
若，，，求的长．
25.本小题分
观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式；
根据你上面所发现的规律，用含字母的式子表示第个等式；
请利用上述规律计算：．
26.本小题分
【问题提出】如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转来解决问题．
如图，连接，由于，可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______；
在的基础上，求四边形的面积．
类比应用如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积．
答案和解析
1.
解析：解：不等式有，，，共个，
故选：．
根据不等式的定义逐个判断即可．
本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，用不等号表示大小关系的式子，叫不等式，不等号有：，，，，．
2.
解析：解：钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误；
B.拉开抽屉符合平移的定义，属于平移，故本选项正确；
C.足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；
D.投影片的文字经投影转换到屏幕上，属于缩放，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误．
故选：．
根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
3.
解析：解：、内错角相等，是假命题，故本选项不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，
它的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，故本选项不符合题意；
C、如果，那么，是假命题，故本选项不符合题意；
D、互为相反数的两个数和为，是真命题，
它的逆命题是：和为的两个数化为相反数，是真命题，故本选项符合题意．
故选：．
首先判断原命题的真假，写出原命题是真命题的逆命题，再进行判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
4.
解析：解：、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：．
根据因式分解的定义，可得答案．
本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
5.
解析：解：设该自行车能打折，
由题意得，
解得：，即最多可打折．
故选：．
设该自行车能打折，则根据利润率不低于，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案．
本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出一元一次不等式是解题的关键．
6.
解析：【分析】
本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
根据旋转的性质得知，为旋转角等于，则可以利用三角形内角和度数为列出式子进行求解．
【解答】
解：将绕点逆时针旋转，
，，
，
，
，
，
，解得，
故选：．
7.
解析：解：解关于的不等式组，
由得：，
由得：，
不等式无解，
，
．
故选：．
根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，可得答案．
本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是理解不等式组解集的取法．
8.
解析：解：的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
．
故选：．
由线段垂直平分线的性质推出，由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，由含度角的直角三角形的性质推出．
本题考查线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，由含度角的直角三角形推出．
9.
解析：解：三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，
油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示．
故选D．
根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论．
本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
10.
解析：解：把一个点从原点开始向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；
把点向上平移个单位，再向左平移个单位，得到点；
把点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到点；
把点向下平移个单位，再向右平移个单位，得到点，
第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移个单位长度，再向右或向上平移个单位长度得到下一个点，
到是向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，到是向左个单位长度，向上平移个单位长度，到是向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，到是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，到是向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
可以看作每四次坐标变换为一个循环，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
点的坐标为，
故选：．
先根据平移规律得到第次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移个单位长度，再向右或向上平移个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．
本题主要考查了点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
11.真
解析：【分析】
本题考查命题，根据两个正数的和依然为正数可判断命题为真命题．
【解答】
解：若，，则”，这个命题是真命题．
12.
解析：解：由旋转得：，，
，
，
，
故答案为：．
根据旋转的性质可得：，，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，即可解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质解题的关键．
13.
解析：解：如图：
，
，
，海里，
海里，海里，
海里，
海里，
故答案为：．
根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可．
此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答．
14.
解析：解：直线和的交点坐标为，
根据图像，的解集为，
直线和是直线和向右平移个单位所得，
平移后两直线的交点坐标为，
不等式的解集是，
故答案为：．
根据图象求出的解集，再根据平移的性质进而写出答案即可．
本题主要考查一次函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是数形结合思想的应用．
15.
解析：解：用反证法证明，“在中，、对边是、，若，则”
第一步应假设，
故答案为：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
16.
解析：解：，，
，
解得，
，
，
解得，
关于的不等式的最小整数解为．
故答案为：．
已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出与的值，即可由，得出，解得，从而得出关于的不等式的最小整数解为．
此题考查了一元一次不等式的整数解，解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17.解：原式；
原式．
解析：直接利用平方差进行分解即可；
首先提公因式，再利用完全平方公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组解集为．
解析：先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.解：，
．
是的角平分线，
．
，
．
．
解析：根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出，根据角平分线的定义可求出，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出，根据平角的定义就可求出的度数．
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，属于基础题，应熟练掌握．
20.解：的垂直平分线交于点，
，
，
；
的周长，
，
，
，
，，
的周长．
解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；
求出的周长，代入数据计算即可得解．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
21.
解析：解：，
故答案为：；
如图，即为所求；
如图，点即为所求；
．
用割补法求三角形的面积即可；
先作出各顶点关于原点成中心对称的对应点，再描点即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点即可．
本题考查了中心对称变换，轴对称，割补法求面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
22.提公因式法；
方法一：



；
方法二：

；

解析：解：上述分解因式的方法是：提公因式法；
故答案为：提公因式法；
见答案；
分解因式的结果是：．
故答案为：．
直接利用已知解题方法分析得出答案；
结合题干解题方法提取公因式得出答案；
结合中解题方法得出规律求出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及数字变换规律，正确得出次数变化规律是解题关键．
23.解：设售价应定为元斤，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：售价至少定为元斤．
解析：设售价应定为元斤，利用利润售价成本，结合利润率不低于，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
24.证明：由旋转可知，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
，，
是等边三角形，
，
又，
，
在中，．
解析：结合旋转的性质和等边三角形的性质可知，，由“”可证≌，可得结论；
由全等三角形的性质可得，再结合等边三角形的性质可推导，在中由勾股定理即可获得答案．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
25.解：第四个等式：；
第个等式：；
原式．
解析：根据规律写出第四个等式即可；
由归纳出第个等式即可；
根据的规律裂项相消进行计算即可．
本题主要考查数字的变化规律，根据数字变化归纳出第个等式为是解题的关键．
26.解：等边三角形
过点作于点．
由知，≌，
四边形的面积等边三角形的面积，
由旋转可知，
，
是等边三角形，，
，，
，
；
如图，连接 ，由于，可将绕点逆时针方向旋转得到，
连接，延长，作，．
由旋转可得≌，
，
，，
，
，
，
．
，，
，，
，
，
，
．
由旋转可知，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
解析：解：绕点顺时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形；
见答案；
见答案．
由旋转可得到，，所以是等边三角形；
由旋转可知等边三角形的边长为，求出即可；
类比的旋转方法，连接 ，由于，所以可将绕点逆时针方向旋转，得到，连接，延长，作，，易证是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，，求和的面积和即可．
本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．