北师大版高中数学选择性必修第一册专题强化练2和圆有关的最值(范围)问题含答案

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专题强化练2　和圆有关的最值(范围)问题　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2023北京工业大学附属中学期中)已知A(-1,0),B(0,1)两点,点C与点(1,0)间的距离为1,则△ABC面积的最大值为(　　)A.1　　　B.32　　　C.1+22　　　D.22.(2024湖北云学新高考联盟学校联考)若点A,B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,|AB|=22,P为AB的中点,点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小值为(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.43.(2024浙江温州新力量联盟期中联考)已知点P是圆C:(x+1)2+(y-2)2=1上的动点,直线l:(m-1)x+my+2=0是动直线,则点P到直线l的距离的最大值是(　　)A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.74.(2024江西大联考期中教学质量检测)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,A,B为圆C上两点,且|AB|=8,P为圆C上一点,则|PA+PB|的最大值是(　　)A.16　　　B.12　　　C.8　　　D.65.在一个平面上,机器人在与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为(　　)A.82−8　　　　B.82+8　　　C.82　　　　　　D.1226.(2023浙江温州十校联合体期中)几何学史上有一个著名的米勒问题:“如图,点M,N是锐角∠AQB的一边QA上的两点(均不为顶点),试在边QB上找一点P,使得∠MPN最大.”其结论是:点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(1,2),N(3,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为　　　　　. 7.(2024浙江嘉兴高级中学第一次教学调研)若圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,则r的取值范围是　　　　. 8.(2022湖南岳阳重点高中月考)阿波罗尼斯(古希腊数学家,约公元前262—前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.现有△ABC,AC=6,sin C=2sin A,则当△ABC的面积最大时,它的内切圆的半径为　　　　. 9.已知点(x,y)在圆C:(x-2)2+(y+3)2=1上.(1)求x+y的最大值和最小值;(2)求yx的最大值和最小值;(3)求x2+y2+2x-4y+5的最大值和最小值.答案与分层梯度式解析专题强化练2　和圆有关的最值(范围)问题1.C　设C(x,y),因为点C与点(1,0)间的距离为1,所以(x-1)2+y2=1,它表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知直线AB的方程为x-y+1=0,|AB|=2,则圆心(1,0)到直线AB的距离d=|1-0+1|2=2,所以点C到直线AB的距离的最大值为2+1,所以(S△ABC)max=12×|AB|×(2+1)=12×2×(2+1)=1+22,故选C.2.B　由题知,圆C1:(x-2)2+y2=3的圆心为C1(2,0),圆C2:(x+2)2+y2=1的圆心为C2(-2,0).∵点A,B在圆C1:(x-2)2+y2=3上运动,|AB|=22,∴AB的中点P与圆心C1(2,0)之间的距离为3-AB22=1,由圆的定义可知,点P的运动轨迹是以C1(2,0)为圆心,1为半径的圆,即圆(x-2)2+y2=1,又∵点Q在圆C2:(x+2)2+y2=1上,∴|PQ|的最小值为|C1C2|-1-1=2.故选B.3.C　圆C:(x+1)2+(y-2)2=1的圆心为C(-1,2),半径r=1,将(m-1)x+my+2=0化为m(x+y)+2-x=0,令x+y=0,2-x=0,解得x=2,y=-2,所以直线l过定点Q(2,-2),又因为|CQ|=(2+1)2+(-2-2)2=5>1,所以点Q在圆C外,因为点P到直线l的距离的最大值即为点P与点Q之间的距离,P是圆C上的动点,所以|PQ|max=|CQ|+r=5+1=6,所以点P到直线l的距离的最大值为6.故选C.4.A　取AB的中点D,连接PD,CD,CB,则|PA+PB|=2|PD|,因为|AB|=8,所以|CD|=25-16=3,所以点D在以C为圆心,3为半径的圆上,又P在圆C:(x-3)2+(y-4)2=25上,所以|PD|max=5+3=8,所以|PA+PB|max=16,故|PA+PB|的最大值是16.故选A.5.A　∵该机器人在与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,∴该机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示.∵A(-10,0),B(0,10),∴直线AB的方程为x-10+y10=1,即x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离d=|3+3+10|1+1=82>8,∴最近距离为82-8.故选A.6.答案　3解析　设直线MN与x轴交于点Q,易得Q(-1,0),过点M,N且与x轴相切的圆与x轴的切点P即为所求.易得△QPM∽△QNP,所以|QP|2=|QM|·|QN|=16,所以|QP|=4,所以P(3,0)或P(-5,0),故当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为3.7.答案　(4,6)解析　圆x2+y2=r2(r>0)的圆心(0,0)到直线4x-3y+25=0的距离d=|25|42+(-3)2=5,因为圆x2+y2=r2(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1,所以|d-r|<1,所以|5-r|<1,解得41,所以点(-1,2)在圆C外,所以x2+y2+2x-4y+5的最大值为34+1,最小值为34-1.