北师大版高中数学选择性必修第一册专题强化练3椭圆与双曲线的综合应用含答案

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专题强化练3　椭圆与双曲线的综合应用　　　　　 　　　　 　　　　 1.(多选题)(2024山东日照期中)曲线C的方程为Ax2+By2=1,则下列命题正确的是(　　)A.若曲线C为双曲线,则AB<0B.若曲线C为椭圆,则A>0,B>0且A≠BC.曲线C不可能是圆D.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则B>A>02.设椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为513,长轴长为26,若曲线C2上的点分别到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(　　)A.x216−y29=1　　　　　　B.x2169−y225=1C.x29−y216=1　　　　　　D.x2169−y2144=13.设F1,F2是椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆C1的离心率e1∈63,1,则双曲线C2的离心率e2的取值范围是(　　)A.(1,2]　　　　　　B.(1,3]C.[3,+∞)　　　　 D.[2,+∞)4.(多选题)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2−y2n2=1(m>n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则下列结论正确的有(　　)A.椭圆的离心率e1=3-1B.双曲线的离心率e2=2C.椭圆上不存在点A使得AF1·AF2<0D.双曲线上存在点B使得BF1·BF2<05.(2024山东齐鲁名校学业质量联合检测)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是C1上任意一点,△MF1F2的面积的最大值为3,C1的焦距为2,则双曲线C2:y2a2−x2b2=1的实轴长为　　　　. 6.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则b2=　　　　. 7.(2022广东珠海期末)已知椭圆C1:x2a2+y26=1(a>6)的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点,C1的离心率为63,C2的离心率为2,点E在C2上,过点E和F1,F2分别作直线交椭圆C1于点F,G和点M,N,如图.(1)求C1,C2的方程;(2)求证:直线EF1和EF2的斜率之积为定值;(3)求证:1|FG|+1|MN|为定值. 答案与分层梯度式解析专题强化练3　椭圆与双曲线的综合应用1.ABD　对于A,若曲线C为双曲线,则A,B一正一负,即AB<0,故A正确;易知B正确;对于C,当A=B>0时,曲线C:x2+y2=1A,则曲线C是以(0,0)为圆心,AA为半径的圆,故C错误;对于D,因为曲线C为焦点在x轴上的椭圆,C:x21A+y21B=1,所以1A>1B>0,即08,所以曲线C2是以F1,F2为焦点,实轴长为8的双曲线,所以曲线C2的虚半轴长为52-42=3,故曲线C2的标准方程为x216−y29=1.故选A.3.A　不妨设F1为椭圆C1的左焦点.由题意可得,|MF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|=2a2,所以|MF1|=a1+a2,|MF2|=a1-a2,因为∠F1MF2=90°,|F1F2|=2c,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2=(2c)2,整理得a12+a22=2c2,所以1e12+1e22=2,又e1∈63,1,所以e2=12-1e12∈(1,2].故选A.4.ABD　如图,设|F1F2|=2c,由正六边形的性质可得点Ic2,3c2,由点I在椭圆上,可得c24a2+3c24b2=1,结合a2-b2=c2可得b2a2=23-3,∴椭圆的离心率e1=1-b2a2=4-23=3-1,故A正确;∵2a2-(2c)2=[2-4(3-1)2]a2<0,∴当A为椭圆的上顶点时,cos∠F1AF2<0,此时AF1·AF2<0,故C错误;∵点Ic2,3c2在双曲线N:x2m2−y2n2=1(m>n>0)的渐近线y=nmx上,∴nm·c2=32c,即nm=3,∴双曲线的离心率e2=1+n2m2=1+3=2,故B正确;易知当B为双曲线的顶点时,BF1·BF2<0,故D正确.故选ABD.5.答案　4解析　根据题意,得S△MF1F2=12×2c×|yM|≤cb,由题知c·b=3,2c=2,a2=b2+c2,所以a=2,b=3,c=1,所以双曲线C2的方程为y24−x23=1,故双曲线C2的实轴长为4.6.答案　12解析　易知圆的直径|AB|=2a,不妨设与圆交于A,B两点的双曲线的渐近线方程为y=2x,C,D为AB的三等分点,点C的横坐标为m,则点C(m,2m),如图,由题意可知|OC|=a3,且点C在椭圆上,所以m2+(2m)2=a29,m2a2+4m2b2=1,消去m,得a2451a2+4b2=1,故a2=11b2,又双曲线和椭圆有公共的焦点,所以a2-b2=1+4=5,所以b2=12.7.解析　(1)由题设知,椭圆C1的离心率为63=a2-6a,b2=6,∴a2=18,c2=12,∴F1(-23,0),F2(23,0).∵椭圆C1的左、右焦点F1,F2是双曲线C2的左、右顶点,∴可设双曲线C2:x212−y2n2=1(n>0),∴C2的离心率为12+n223=2,∴n2=12.∴C1的方程为x218+y26=1,C2的方程为x212−y212=1.(2)证明:设E(x0,y0),∵点E在C2上,∴y02=x02-12,∴kEF1·kEF2=y02x02-12=1.∴直线EF1和EF2的斜率之积为定值1.(3)证明:设直线EF1和EF2的斜率分别为k1,k2,则k1k2=1,直线EF1和EF2的方程分别为y=k1(x+23),y=k2(x−23).设F(x1,y1),G(x2,y2),将直线EF1与C1的方程联立并消去y,得(3k12+1)x2+123k12x+18(2k12-1)=0,则x1+x2=-123k123k12+1,x1x2=18(2k12-1)3k12+1,则|FG|=(1+k12)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+k12)-123k123k12+12-4·18(2k12-1)3k12+1=62(k12+1)3k12+1,同理|MN|=62(k22+1)3k22+1=621k12+13·1k12+1=62(k12+1)3+k12,∴1|FG|+1|MN|=3k12+1+3+k1262(k12+1)=462=23,为定值.