北师大版高中数学选择性必修第一册专题强化练5轨迹问题含答案

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专题强化练5　轨迹问题　　　　　 　　　　 　　　　 1.在平面内,|AB|=2a(a为常数,且a>1),动点C满足AC·BC=-1,则点C的轨迹为(　　)A.圆　　　　　　B.椭圆C.抛物线　　　　D.直线2.(2022陕西宝鸡重点高中质量检测)已知M(-2,0),P是圆N:x2-4x+y2-32=0上一动点,线段MP的垂直平分线交NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为(　　)A.x29+y25=1　　　　　　B.x25−y29=1C.x25+y29=1　　　　　　D.x29−y25=13.(2024重庆巴蜀中学期中)已知M(-2,0),圆C:x2-4x+y2=0,动圆P经过点M且与圆C相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)A.x2-y23=1(x≥1)　　　　 B.x23-y2=1(x≥3)C.x2-y23=1　　　　　　D.x23-y2=14.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点.若BP=2PA,且OQ·AB=1,则点P的轨迹方程是　　　　. 5.(2022福建厦门期末)圆C:(x-2)2+(y-2)2=4与x轴相切于点A,点B在圆C上运动,则AB的中点M的轨迹方程为　　　 (当点B运动到与点A重合时,规定点M与点A重合);点N是直线x+y=0上一点,则|MN|+|AN|的最小值为　　　　. 6.(2024江苏连云港赣榆期中)已知动圆M与y轴相切,且与圆N:(x-3)2+y2=9外切,记动圆M的圆心轨迹为E.(1)求E的方程;(2)设过点O(0,0)且互相垂直的两条直线与E分别交于A,B两点,证明:直线AB过定点.7.(2024贵州贵阳期中)圆O:x2+y2=4与x轴的负半轴和正半轴分别交于A,B两点,MN是圆O中与x轴垂直非直径的弦,直线AM与直线BN交于点P,记动点P的轨迹为E.(1)求E的方程;(2)在平面直角坐标系中,倾斜角确定的直线称为定向直线.是否存在不过点A的定向直线l,满足直线l与轨迹E交于C,D两点时,AC⊥AD?若存在,求直线l的一个方向向量;若不存在,请说明理由.答案与分层梯度式解析专题强化练5　轨迹问题1.A　不妨设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),因为AC·BC=-1,所以(x+a,y)·(x-a,y)=-1,即(x+a)(x-a)+y2=-1,所以x2+y2=a2-1>0,所以点C的轨迹为圆,故选A.2.A　x2-4x+y2-32=0可化为(x-2)2+y2=36,∴圆N的圆心为N(2,0),半径r=6.∵M(-2,0),∴|MN|=4.如图,连接QM,∵Q在线段MP的垂直平分线上,∴|QM|=|QP|.∵|QN|+|QM|=|QN|+|QP|=|NP|=r=6>|MN|,∴根据椭圆的定义,可知点Q的轨迹是以原点为中心,M,N为焦点,6为长轴长的椭圆,∴a=3,c=2,∴b2=a2-c2=9-4=5.∴点Q的轨迹方程为x29+y25=1.故选A.3.C　圆C:x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4,其圆心为C(2,0),半径r=2,设动圆P的半径为R.若动圆P与圆C相内切,则圆C在圆P内,所以|PM|=R,|PC|=R-2,所以|PM|-|PC|=20)解析　由点Q与点P(x,y)关于y轴对称,得点Q(-x,y),设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0,则BP=(x,y−b),PA=(a-x,-y),∵BP=2PA,∴a=32x,b=3y,∴x>0,y>0,又∵AB=(−a,b)=-32x,3y,OQ=(−x,y),OQ·AB=1,∴-32x·(-x)+3y·y=1,即32x2+3y2=1(x>0,y>0).故点P的轨迹方程为32x2+3y2=1(x>0,y>0).5.答案　(x-2)2+(y-1)2=1;13-1解析　依题意得A(2,0),C(2,2),因为M为AB的中点,所以CM⊥AM,所以点M的轨迹是以AC为直径的圆,设其圆心为D,又AC的中点为(2,1),|AC|=2,所以点M的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=1,则D(2,1),如图,设A(2,0)关于直线x+y=0的对称点为A'(m,n),则有n-0m-2=1,m+22+n2=0,解得m=0,n=-2,所以A'(0,-2),由对称性可知|MN|+|AN|的最小值为|A'D|-1=(0-2)2+(-2-1)2−1=13-1.6.解析　(1)设动圆圆心M的坐标为(x0,y0),因为动圆M与y轴相切,所以动圆M的半径为|x0|,且|x0|≠0,圆N:(x-3)2+y2=9的圆心为N(3,0),半径为3,因为动圆M与圆N外切,所以(x0-3)2+y02=|x0|+3,当x0>0时,(x0-3)2+y02=x0+3,化简得y02=12x0,当x00,0,x2),由x=t,x2-y2=4,解得x=t,y=t2-4或x=t,y=-t2-4,不妨设C(t,t2-4),D(t,−t2-4),由(1)知A(-2,0),由AC⊥AD得AC·AD=0,即(t+2,t2-4)·(t+2,-t2-4)=(t+2)(t+2)−t2-4×t2-4=0,解得t=-2,矛盾.当定向直线l的倾斜角不为90°时,假设存在定向直线l:y=kx+b,由y=kx+b,x2-y2=4,消去y,得(1-k2)x2-2kbx-b2-4=0,当1-k2≠0,Δ=4(b2-4k2+4)>0时,设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=2kb1-k2,x1x2=-b2-41-k2,由(1)知A(-2,0),由AC⊥AD得AC·AD=0,即(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(x1+2)(x2+2)+(kx1+b)(kx2+b)=0,即(1+k2)x1x2+(2+kb)(x1+x2)+b2+4=0,故(1+k2)-b2-41-k2+(2+kb)2kb1-k2+b2+4=0,化简得k(b-2k)=0,所以k=0或b=2k,当k=0时,经验证,满足条件;当b=2k时,l:y=kx+2k=k(x+2)过点A,不符合题意.综上所述,当k=0,即直线l的一个方向向量为(1,0)时,AC⊥AD.