北师大版高中数学选择性必修第一册专题强化练6圆锥曲线中的范围与最值问题含答案

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专题强化练6　圆锥曲线中的范围与最值问题　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2022重庆八中模拟预测)设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　)A.52　　　B.6　　　C.5　　　D.22.若O和F分别为双曲线x22-y2=1的中心和左焦点,P为该双曲线上的任意一点,则OP·FP的最小值为(　　)A.2+6　　　B.2−6　　　C.12　　　D.−323.(2024辽宁抚顺德才高级中学模拟)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=4x上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=3|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(　　)A.2　　　B.33　　　C.52　　　D.324.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),直线x=a2c上存在一点P满足(FP+FA)·AP=0,则椭圆的离心率e的取值范围为　(　　)A.12,1　　　　　　 B.22,1　　　C.5-12,1　　　　　　D.0,225.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x,若动点P在C的右支上,F1,F2分别为C的左、右焦点,OP·OF2的最小值是2a(其中O为坐标原点),则|PF1|2|PF2|的最小值为(　　)A.4　　　B.8　　　C.16　　　D.246.(2024山西朔州李林中学开学摸底)已知P(2,4)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于A,B两点,则|AF|+9|BF|的最小值为(　　)A.24　　　B.28　　　C.30　　　D.327.(多选题)(2022湖南长沙第一中学模拟预测)已知在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-2,0),E(2,0),P为该平面上一动点,记直线PD,PE的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-34,设点P运动形成曲线F,M,N是曲线F上位于x轴上方的点,且MA∥NB,则下列说法正确的有(　　)A.动点P的轨迹方程为x24+y23=1B.△PAB面积的最大值为3C.|PA|+|PC|的最大值为5D.|MA|·|NB|的最小值为948.已知双曲线C:x2m-y2=1的离心率为62,过点P(2,0)的直线l与双曲线C交于不同的两点A,B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),则直线l的斜率的取值范围是(　　)A.-22,0∪0,22B.-55,0∪0,55C.-∞,-22∪22,+∞D.-∞,-55∪55,+∞9.(2024上海交通大学附属中学期中)已知平面直角坐标系中有三个定点A(1,0),F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=6.若|PA|≤6,则点P的横坐标的取值范围是　　　　. 10.(2024辽宁大连第二十四中学期中)已知点A(1,1),F1是椭圆x28+y24=1的左焦点,P是椭圆上任意一点,则|PF1|+|PA|的取值范围为　　　　. 11.(2022江西南昌大学附属中学期中)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2.(1)若直线l过点Q(-1,0),且与双曲线C的左支、右支各有一个交点,求直线l的斜率k的取值范围;(2)若点P为双曲线C上一点,求PF1·PF2的最小值.12.(2022陕西宝鸡重点高中质量检测)已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.答案与分层梯度式解析专题强化练6　圆锥曲线中的范围与最值问题1.A　由题意知点B(0,1),设点P(x0,y0),因为点P在椭圆C上,所以x025+y02=1,所以|PB|2=x02+(y0−1)2=5(1−y02)+(y0−1)2=−4y02−2y0+6=−4y0+142+254,而-1≤y0≤1,所以当y0=-14时,|PB|取得最大值,最大值为52.故选A.2.B　由题意得O(0,0),F(-3,0),设P(x,y),则x22-y2=1,即y2=x22-1,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),又OP=(x,y),FP=(x+3,y),所以OP·FP=x(x+3)+y2=x2+3x+x22−1=32x+332−32,所以当x=-2时,OP·FP取得最小值,最小值为32×-2+332−32=2−6.故选B.3.B　由已知得F(1,0),设M(x0,y0),显然当y0<0时,kOM<0,当y0>0时,kOM>0,因为要求直线OM的斜率的最大值,所以y0>0.如图,设P(m,n),因为|PM|=3|MF|,所以PM=3MF,即(x0-m,y0-n)=3(1-x0,-y0),所以m=4x0-3,n=4y0.又n2=4m,所以16y02=4(4x0-3),即y02+34=x0,而y0>0,故kOM=y0x0=y0y02+34=1y0+34y0≤12y0·34y0=33,当且仅当y0=34y0,即y0=32时,等号成立,故直线OM的斜率的最大值为33.故选B.4.C　取线段AP的中点Q,故2FQ·AP=0,∴FQ⊥AP,故三角形AFP为等腰三角形,即|FA|=|FP|,且|FA|=b2+c2=a,由于点P在直线x=a2c上,∴|FP|≥a2c-c,即a≥a2c−c,∴ac≥a2c2-1,∴e2+e-1≥0,解得e≥5-12或e≤-5-12,又00,即t2>2,所以直线l的斜率k满足k2=1t2<12,又A,O,B三点不可能共线,所以k≠0,故直线l的斜率的取值范围是-22,0∪0,22.故选A.9.答案　[0,3]解析　根据题意得,动点P的轨迹是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=6,所以a=3,又c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5,所以椭圆方程为x29+y25=1.设点P(x,y),则|PA|=(x-1)2+y2=49x2-2x+6,因为|PA|≤6,所以49x2-2x+6≤6,解得0≤x≤92,又点P在椭圆上,所以0≤x≤3.10.答案　[32,52]解析　设椭圆x28+y24=1的右焦点为F2,则F2(2,0),由题知a=22,因为A(1,1),所以|F2A|=(2-1)2+(0-1)2=2,由椭圆的定义知,|PF1|+|PA|=2a-|PF2|+|PA|=42+(|PA|-|PF2|),而||PA|-|PF2||≤|AF2|=2,当且仅当P,A,F2共线时等号成立,于是-2≤|PA|-|PF2|≤2,因此当F2在P,A之间时,|PF1|+|PA|取得最大值,为52.当A在P,F2之间时,|PF1|+|PA|取得最小值,为32.所以|PF1|+|PA|的取值范围为[32,52].11.解析　(1)由题意可知直线l:y=k(x+1),代入双曲线方程,得14-k2x2-2k2x-k2-1=0.要使l与双曲线C的左支、右支各有一个交点,只需14-k2≠0,Δ=(-2k2)2-414-k2(-k2-1)>0,-k2-114-k2<0,解得-12x2,将y=kx-2代入x24+y2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0,则Δ=16(4k2-3)>0,即k2>34,可得x1=8k+24k2-34k2+1,x2=8k-24k2-34k2+1,从而|PQ|=k2+1|x1−x2|=4k2+1·4k2-34k2+1.又点O到直线l的距离d=2k2+1,所以S△OPQ=12|PQ|d=44k2-34k2+1.设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,且满足Δ>0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.