北师大版高中数学选择性必修第一册第2章圆锥曲线综合拔高练含答案

这是一份北师大版高中数学选择性必修第一册第2章圆锥曲线综合拔高练含答案，共32页。
综合拔高练高考练　　　　　 　　　　 　　　　 考点1　椭圆1.(2023新课标Ⅱ,5)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　)A.23　　　B.23　　　C.-23　　　D.-232.(2023全国甲,7)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=(　　)A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.53.(2019课标全国Ⅰ,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)A.x22+y2=1　　　　　　B.x23+y22=1C.x24+y23=1　　　　　 D.x25+y24=14.(2022全国甲,10)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为14,则C的离心率为(　　)A.32　　　B.22　　　C.12　　　D.135.(2023全国甲,12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:x29+y26=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=35,则|OP|=(　　)A.135　　　B.302　　　C.145　　　D.352考点2　双曲线6.(2023全国甲,8)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为5,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|=(　　)A.55　　　B.255　　　C.355　　　D.4557.(2023天津,9)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为24,则双曲线的方程为(　　)A.x28−y24=1　　　　　　B.x24−y28=1C.x24−y22=1　　　　　　D.x22−y24=18.(多选题)(2022全国乙,11)双曲线C的两个焦点为F1,F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与C交于M,N两点,且cos∠F1NF2=35,则C的离心率为(　　)A.52　　　B.32　　　C.132　　　D.1729.(2023全国乙,11)设A,B为双曲线x2-y29=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是(　　)A.(1,1)　　　　　　B.(-1,2)C.(1,3)　　　　　　D.(-1,-4)10.(2022北京,12)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=　　　　. 考点3　抛物线11.(2022全国乙,5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=(　　)A.2　　　B.22　　　C.3　　　D.3212.(多选题)(2023新课标Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　)A.p=2　　　　　　B.|MN|=83C.以MN为直径的圆与l相切　　　　　　D.△OMN为等腰三角形13.(2021北京,12)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　;△MNF的面积为　　　　. 考点4　圆锥曲线的综合应用14.(2023新课标Ⅱ,21)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-25,0),离心率为5.(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.15.(2023全国甲,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=415.(1)求p;(2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且FM·FN=0,求△MFN面积的最小值.16.(2023全国乙,20)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为53,点A(-2,0)在C上.(1)求C的方程;(2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点.模拟练　　　　　 　　　　 　　　　 应用实践1.(2024吉林长春质量监测)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有两点A,B,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,△ABF1是以F2为中心的正三角形,则椭圆的离心率e=(　　)A.2-12　　　　　　B.2-1C.3-12　　　　　　D.3-12.(2024北京清华大学附属中学开学考试)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线的准线上一动点,作线段PF的垂直平分线l,则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为(　　)A.{0}　　　B.{1}　　　C.{0,1}　　　D.{1,2}3.人利用双耳可以判断声源在什么方位,听觉的这种特性叫作双耳定位效应(简称双耳效应).根据声波传到双耳的时间差,可以确定声源P一般在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上,若声源P所在的双曲线与它的一条渐近线趋近,则声源P对于测听者的方向偏角α就近似地由该双曲线渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定.一般地,甲测听者的左、右两耳相距约为20 cm,声源P的声波传到甲的左、右两耳的时间差为3×10-5 s,声速为334 m/s,则声源P对于甲的方向偏角α的正弦值约为(　　)A.0.004　　　　　　B.0.04C.0.005　　　　　　D.0.054.(2024甘肃酒泉第三次诊断)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与双曲线E的右支交于B,C两点,且|CF|=3|FB|,点B关于原点O的对称点为点A,若AF·BF=0,则双曲线E的离心率为(　　)A.3　　　B.233　　　C.103　　　D.1025.(多选题)(2023福建厦门第一中学期中)一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆围成,如图所示,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的右焦点F(3,0),椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线y=t(00,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,4为半径的圆与C的一条渐近线切于点P,过F1的直线l与C交于A,B两个不同的点,若C的离心率e=53,则下列结论中正确的有　　　　.(填序号) ①|PF1|=213;②|AB|的最小值为323;③若|AF2|=7,则|AF1|=13;④若A,B同在C的左支上,则直线l的斜率k∈-∞,-43∪43,+∞.8.(2023广西钦州浦北中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,且过点P(-2,1).(1)求C的方程;(2)若A,B是C上的两点,直线AB与圆x2+y2=2相切,求|AB|的取值范围.9.(2023江苏南京江宁五校期中联考)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x24+y23=1的离心率互为倒数,且C的右焦点到C的一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线C的方程;(2)直线y=2x+m与双曲线C交于A,B两点,点M在双曲线C上,且OM=2OA+λOB(O为坐标原点),求λ的取值范围.迁移创新10.阅读下列有关光线的入射与反射的两个现象:现象(1):光线经平面镜反射满足反射角与入射角相等;现象(2):光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后经过另一个焦点.试结合上述现象,回答下列问题:有一类似于椭圆形台球桌,长轴长为2a,短轴长为2b.将一放置于焦点处的桌球击出,经过球桌边缘的反射(假设球的反射完全符合现象(2))后第一次返回到该焦点时所经过的路程记为s,则s的值为　　　　(用a,b表示). 答案与分层梯度式解析综合拔高练高考练1.C　由已知得F1(-2,0),F2(2,0),∵S△F1AB=2S△F2AB,∴点F1到直线AB的距离为点F2到直线AB的距离的2倍,即|m-2|2=2·|m+2|2,解得m=-23或m=-32,经检验,当m=-32时,直线AB与椭圆C没有交点,故m=-23.故选C.2.B　由椭圆标准方程得a=5,b=1,c=a2-b2=2.由PF1·PF2=0得∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16.由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=25,所以|PF1|·|PF2|=12[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2)]=2.3.B　设|F2B|=x(x>0),则|AF2|=2x,|AB|=3x,|BF1|=3x,|AF1|=4a-(|AB|+|BF1|)=4a-6x,由椭圆的定义知|BF1|+|BF2|=2a=4x,所以|AF1|=2x.在△BF1F2中,由余弦定理得|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2-2|BF2|·|F1F2|·cos∠BF2F1,即9x2=x2+22-4xcos∠BF2F1①,在△AF1F2中,由余弦定理得|AF1|2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|·|F1F2|·cos∠AF2F1,即4x2=4x2+22+8xcos∠BF2F1②,由①②得x=32,所以2a=4x=23,a=3,所以b2=a2-c2=2.故椭圆C的方程为x23+y22=1.故选B.4.A　设P(x0,y0),x0≠±a,则Q(-x0,y0),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=y0x0+a·y0-x0+a=14,得y02=a2-x024,因为P(x0,y0)在C上,所以x02a2+y02b2=1,得y02=b2a2(a2−x02),所以b2a2=14,故C的离心率e=1-b2a2=32.故选A.5.B　由椭圆方程知a=3,b=6,则c=a2-b2=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,即m+n=6,所以2mn=36-(m2+n2)①.在△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=cos∠F1PF2,即m2+n2-122mn=35②.将①代入②得m2+n2=21.OP为边F1F2上的中线,故|OP|2=14(PF1+PF2)2=14(PF12+2PF1·PF2+PF22)=14m2+n2+65mn=1425(m2+n2)+1085=152,所以|OP|=302.6.D　∵e=1+b2a2=5,∴b2a2=4.由图形知与圆相交的渐近线方程为y=bax,即y=2x,即2x-y=0.由已知得圆心坐标为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d=|2×2-3|22+(-1)2=55,∴|AB|=2r2-d2=212-552=455,故选D.7.D　如图,易知|PF2|=b=2,|OP|=a,|OF2|=c.设P(xP,yP),过点P的渐近线方程为y=bax,直线PF2的方程为y=-ab(x-c),联立y=bax,y=-ab(x-c),可得xP=a2c,yP=abc,故Pa2c,abc,又F1(-c,0),所以kPF1=abca2c+c=aba2+c2=2aa2+a2+4=aa2+2=24,即4a=2(a2+2),即a2-22a+2=0,所以a=2,又b=2,所以双曲线的方程为x22−y24=1.故选D.8.AC　依题意可设双曲线的焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2.(1)当两个交点M,N分别在双曲线两支上时,设切点为P,连接OP,则OP⊥MN,易知|OP|=a,|OF1|=c,|PF1|=b,过点F2作F2Q⊥MN,垂足为Q,则F2Q∥OP,由相似易知|F2Q|=2a,|QF1|=2b,∵cos∠F1NF2=35,∴sin∠F1NF2=45,∴|NF2|=5a2,|NQ|=3a2,∴|NF1|-|NF2|=|QF1|+|NQ|-|NF2|=2b+3a2−5a2=2a,即3a=2b,∴e=1+ba2=132.(2)当两个交点M,N均在左支上时,同(1)易得|NF2|=5a2,|NQ|=3a2,|F1Q|=2b,∴|NF1|=3a2−2b,∴|NF2|−|NF1|=5a2−3a2+2b=2a,即a=2b,∴e=1+ba2=52.故选AC.9.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,y1≠y2,则AB的中点坐标为x1+x22,y1+y22,设原点与线段AB的中点的连线的斜率为k,则kAB=y1-y2x1-x2,k=y1+y2x1+x2,∵A,B在双曲线上,∴x12-y129=1,x22-y229=1,两式作差整理得kABk=9.对于A,可得k=1,则kAB=9,∴lAB:y=9x-8,与x2-y29=1联立消去y,得72x2-2×72x+73=0,Δ=-2880),半焦距为c,由题意知c=25,e=5=ca,则a=2,所以b2=c2-a2=(25)2-22=16,所以双曲线C的方程为x24−y216=1.(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),x1y2,P(x,y),由题意设过点(-4,0)的直线的方程为x=ty-4,由x=ty-4,x24-y216=1,消去x整理得(4t2-1)y2-32ty+48=0,易知4t2-1≠0,Δ=64×(4t2+3)>0,则y1+y2=32t4t2-1,y1y2=484t2-1,故y1+y2=2t3y1y2.易知A1(-2,0),A2(2,0),则直线MA1:y-y1y1=x-x1x1+2,直线NA2:y-y2y2=x-x2x2-2,联立消去y得x-x1x1+2+1y1=x-x2x2-2+1y2,即x=2y1(x2-2)+2y2(x1+2)y2(x1+2)-y1(x2-2)=4y2(x1+2)y2(x1+2)-y1(x2-2)−2=2ty1y2-4y23y1-y2−2=3y1-y23y1-y2-2=-1,即点P在定直线x=-1上.15.解析　(1)联立x=2y-1,y2=2px,消去x得y2-4py+2p=0.由题知Δ=16p2-8p>0,且p>0,∴p>12,设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=4p,yAyB=2p,∴|AB|=1+22|yA−yB|=5(4p)2-4×2p=415,∴p=2或p=-32(舍).(2)由(1)知C:y2=4x,F(1,0),易知直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),联立x=my+n,y2=4x,消去x得y2-4my-4n=0.Δ=16m2+16n>0,∴m2+n>0①,y1+y2=4m,y1y2=-4n,∴x1+x2=4m2+2n,x1x2=n2,∵FM=(x1−1,y1),FN=(x2-1,y2),∴FM·FN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0,即4m2=n2-6n+1②,①②联立可得n2-6n+14+n>0,解得n≠1,又n2-6n+1=4m2≥0,∴n≤3-22或n≥3+22.S△MFN=12|MF||NF|=12(x1+1)(x2+1)=12(x1x2+x1+x2+1)=12(2n2-4n+2)=(n-1)2.又∵n≤3-22或n≥3+22,∴当n=3-22时,(S△MFN)min=(2-22)2=12−82.16.解析　(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0),由题意知ca=53,b=2,又a2=b2+c2,所以a=3,c=5.故C的方程为y29+x24=1.(2)证明:易知直线PQ的斜率存在且小于0,又直线PQ过点(-2,3),所以设直线PQ的方程为y=kx+2k+3,kb>0,x≥0),则b=3,c=3,∴a2=b2+c2=18,∴半椭圆的方程为x218+y29=1(x≥0).椭圆的离心率e=ca=332=22,故A正确.当t趋近于0时,|AB|趋近于3+32;当t趋近于3时,|AB|趋近于0,∴线段AB长度的取值范围是(0,3+32),故B正确.由题意得△ABF的面积S=12|AB|×t,设A(x1,t),x10,则x2218+t29=1,∴x2=18-2t2,∴|AB|=9-t2+18-2t2,∴S=12(9-t2+18-2t2)×t=2+12×9-t2×t=2+12×(9-t2)t2≤2+12×92=94(2+1),当且仅当9-t2=t2,即t=322时等号成立,故C正确.△OAB的周长为|AO|+|OB|+|AB|=3+18-t2+(2+1)×9-t2,∴当t=0时,△OAB的周长最大,又t的值不能为0,∴△OAB的周长没有最大值,故D错误.故选ABC.6.答案　3解析　如图所示,过点N作抛物线C的准线的垂线,垂足为N1,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F0,p2,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|,|FN|=|NN1|,又|FM|=|FM1|,所以△FMM1是等边三角形,所以∠FMM1=π3,kMN=−33,所以直线MN的方程为y=-33x+p2,设M(x1,y1),N(x2,y2)(x10),联立y=-33x+p2,x2=2py,消去y,得x2+233px-p2=0,所以x1+x2=-233p,x1x2=-p2.由|FM|-|FN|=4,得y1+p2−y2+p2=33(x2−x1)=33(x1+x2)2-4x1x2=43p=4,解得p=3.7.答案　①③④解析　对于①,已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=0,则F2(c,0)到直线bx-ay=0的距离为bcb2+a2=b,连接PF1,因为以F2为圆心的圆与该渐近线相切于点P,所以|PF2|=b=4,因为e=53,即ca=53,所以c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以a=3,所以c=53a=5.在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=45,在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,则|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|F1F2||PF2|·cos∠PF2F1=100+16-2×10×4×45=52,所以|PF1|=213,故①正确;对于②,当直线l的斜率为0时,A,B两点分别为双曲线的顶点,则|AB|=2a=6,又因为622,而4k2+1k2+4≥24+4=8,当且仅当4k2=1k2,即k2=12时,等号成立.所以|AB|=22·1+14k2+1k2+4≤3,所以220,所以m2>1,x1+x2=-4m,x1x2=m2+3.因为OM=2OA+λOB,所以x0=2x1+λx2,y0=2y1+λy2,因为点M在双曲线C上,所以(2x1+λx2)2-(2y1+λy2)23=1,即4x12-y123+λ2x22-y223+4λx1x2−43λy1y2=1,所以4λx1x2-43λy1y2+λ2+3=4λx1x2−43λ(2x1+m)·(2x2+m)+λ2+3=0,即λ2-4λ+3+8m2λ=0.当λ=0时,左边=3,右边=0,左边≠右边,不满足题意;当λ>0时,λ2-4λ+3=-8λm2