北师大版高中数学选择性必修第一册第5章计数原理复习提升练习含答案

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本章复习提升易混易错练　　　　　 　　　　 　　　　 易错点1　利用两个基本计数原理解题时考虑不周致错1.将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果恰有5种颜色可供使用,则不同的染色方法有(　　)A.480种　　　　　　B.360种C.420种　　　　　　D.320种2.(2024陕西西安阶段练习)五岳是中华传统文化中五大名山的总称,分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美,决定用两个月的时间游览完五岳,且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山(五岳只游览一次),若在同一个月游览不考虑先后顺序,则恰好在同一个月游览华山和恒山的情况有　　　　种. 易错点2　忽略特殊元素与特殊位置致错3.(2024广东深圳中学联考)用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的六位数,要求任意两个偶数数字之间至少有一个奇数数字,则符合要求的六位数的个数有　　　　. 4.(2022福建厦门期中)在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目.(1)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的站法?(2)甲、乙、丙三人按高矮从左到右有多少种不同的站法?(甲、乙、丙三人身高互不相等)(3)现在有7个座位连成一排,仅安排4个男生就座,恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种?易错点3　混淆展开式中项的系数与二项式系数致错5.(多选题)(2024湖北高中名校联盟联合测评)下列关于1x-2x6的展开式的说法中正确的是(　　)A.常数项为-160B.第4项的系数最大C.第4项的二项式系数最大D.含x2项的系数为306.(2022山西怀仁阶段考试)在(2x-3y)10的展开式中,求:(1)各二项式系数和;(2)各项系数和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;(4)奇数项系数和与偶数项系数和;(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思想方法练　　　　　 　　　　 　　　　 一、分类讨论思想在排列组合中的应用1.(2024重庆第一中学校月考)口袋里有红、黄、蓝、绿的小球各4个,这些球除颜色外完全相同,现在从口袋里任意取出4个小球,则不同的取法有(　　)A.48种　　　　　　B.77种C.35种　　　　　　D.39种2.(2024江西南昌新建二中学业水平检测)四面体的顶点和各棱的中点共10个点.在这10个点中取4个不共面的点,则不同的取法种数为(　　)A.141　　　　　　B.144C.150　　　　　　D.1553.(2024江苏扬州中学期中)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取集合{-2,-1,0,1,2}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,则这样的直线的条数是　　　　. 二、整体思想在排列组合中的应用4.(2022黑龙江哈九中期末)加工某种产品需要5道工序,分别为A,B,C,D,E,其中工序A,B必须相邻,工序C,D不能相邻,那么不同的加工方法种数为(　　)A.24　　　　　　B.32C.48　　　　　　D.645.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人坐下,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是(　　)A.234　　　　　　B.346C.350　　　　　　D.3636.某电视台连续播放7个不同的广告,其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求所有的公益广告必须连续播放,则不同的播放方式的种数为　　　　. 三、函数与方程思想在二项式定理中的应用7.(2024江西新余第六中学第三次统考)已知(1+3x)n的展开式中x5与x6的系数相等,则n的值为(　　)A.6　　　B.7　　　C.8　　　D.98.(2022江苏南通期中)在(3-x)20(x∈R,且x≠0)的展开式中,第2r项与第r+1项(r≠1,r∈N+)的二项式系数相等.(1)求r的值;(2)若该展开式的第r项是倒数第r项的1256,求x的值.9.(2022江苏宿迁阶段考试)已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n (m,n∈N+)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.答案与分层梯度式解析本章复习提升易混易错练1.C　解法一:将5种颜色设为1,2,3,4,5,分两步,由题意知四棱锥的顶点S,A,B所染颜色互不相同,则共有5×4×3=60种染色方法,当S,A,B染好时,不妨设所染颜色依次为1,2,3,若C与A同色染2,则D可染3或4或5,共3种,若C染4,则D可染3或5,共2种,若C染5,则D可染3或4,共2种,即当S,A,B染好时,C,D有7种染法,所以共有60×7=420种染色方法,故选C.解法二:利用分类加法计数原理求解.①用3种颜色时,A,C同色,B,D同色,不同的染色方法有A53=60种;②用4种颜色时,A,C同色,B,D不同色或A,C不同色,B,D同色,则不同的染色方法有2A54=240种;③用5种颜色时,A,C不同色,B,D不同色,则不同的染色方法有A55=120种.所以共有60+240+120=420种不同的染色方法.2.答案　8解析　该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山,可分两步完成:第一步,从两个月中选一个月游览华山和恒山,有C21=2种方法;第二步,确定游览华山和恒山的这个月的游览方案,分为两类:若该月只游览两大名山,则只有1种方法;若该月游览三大名山,则再从其余三大名山中任取一个游览,有C31种方法.则共有1+C31=4种方法.由分步乘法计数原理得,共有2×4=8种方法.易错警示　两个基本计数原理的应用不是孤立的,往往是两个基本计数原理交叉应用才能解决问题,解答这类问题时,应理解题意,挖掘出隐含条件.解题过程中要分清“是分类还是分步”,分类要完整,分步要合理,还要注意是先分步还是先分类.3.答案　108解析　可以分为以下几类:第一类:0,2,4排在从左至右的第一位,第三位,第五位,先排第一位有2种排法,再排第三位和第五位有A22种排法,最后将奇数排在第二位,第四位,第六位有A33种排法,所以第一类包含的六位数的个数为2A22A33=24;第二类:0,2,4排在从左至右的第一位,第三位,第六位,同理,第二类包含的六位数的个数为2A22A33=24;第三类:0,2,4排在从左至右的第一位,第四位,第六位,同理,第三类包含的六位数的个数为2A22A33=24;第四类:0,2,4排在从左至右的第二位,第四位,第六位,先排偶数数字有A33种排法,再排奇数数字有A33种排法,所以第四类包含的六位数的个数为A33A33=36.由分类加法计数原理可得,符合要求的六位数的个数有24+24+24+36=108.易错警示　在与数字有关的排列问题中,易忽略特殊位置对“0”的要求,造成错解.4.解析　(1)根据题意,分2类:①女生甲站在右端,其余6人全排列,有A66=720种站法,②女生甲不站在右端,女生甲有5种站法,女生乙有5种站法,将剩余的5人全排列,安排在剩余的位置,有A55=120种站法,则此时有5×5×120=3 000种站法,则一共有720+3 000=3 720种站法.(2)根据题意,把7人全排列,共有A77种结果,甲、乙、丙三人内部的排列共有A33=6种结果,要使甲、乙、丙三人按照高矮从左到右排列,结果只占6种结果中的1种,则有A77A33=840种站法.(3)将7个座位从左到右依次编号为1,2,3,4,5,6,7.根据题意,恰好有两个空座位相邻分2类:①两个相邻空座位在两边,即在1、2或6、7上,第三个空座有4种选择;②两个相邻空座位在中间,可能是2、3,3、4,4、5,5、6中的一个,第三个空位有3种选择,4个男生全排列有A44=24种坐法,故共有(2×4+4×3)×24=480种坐法.易错警示　(1)有两个限制条件的排列问题,按顺序分类讨论.(2)定序问题,所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列.(3)相邻即捆绑.5.AC　1x-2x6的二项式通项为Tk+1=C6k1x6-k·(-2x)k=(-2)kC6kx2k-6.对于A,令2k-6=0,解得k=3,∴常数项为(-2)3C63=-8×20=-160,故A正确;对于B,由二项式通项知,若要系数最大,则k的所有可能取值为0,2,4,6,∴T1=x-6,T3=4C62x−2=60x−2,T5=(−2)4C64x2=240x2,T7=(-2)6x6=64x6,∴展开式中第5项的系数最大,故B错误;对于C,展开式共有7项,第4项的二项式系数最大,故C正确;对于D,令2k-6=2,解得k=4,所以含x2项的系数为(-2)4C64=240,故D错误.故选AC.易错警示　要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别.(a+b)n的展开式中第(r+1)项的系数是Cnr,其值只与n,r有关,与a,b无关,系数是该项中的常数.6.解析　(1)各二项式系数和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1 024.(2)令x=1,y=1,则(2×1-3×1)10=1=a0+a1+a2+…+a10,所以各项系数和为1.(3)奇数项的二项式系数和为C100+C102+C104+…+C1010=29=512,偶数项的二项式系数和为C101+C103+…+C109=29=512.(4)由(2)知,a0+a1+a2+…+a10=1①,取x=1,y=-1,则(2×1+3×1)10=510=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10②,所以奇数项的系数和为a0+a2+…+a10=①+②2=1+5102,偶数项的系数和为a1+a3+…+a9=①-②2=1-5102.(5)由(4)知,x的奇次项系数和为a1+a3+…+a9=①-②2=1-5102,x的偶次项系数和为a0+a2+…+a10=①+②2=1+5102.易错警示　设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,则其展开式中,各项系数和为a0+a1+a2+…+a10,奇数项系数和为a0+a2+…+a10,偶数项系数和为a1+a3+…+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+…+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+…+a10,注意x的奇次项系数和刚好是偶数项系数和.思想方法练1.C　由于小球除颜色外完全相同,所以按照不同颜色情况进行分类讨论.根据题意,取出的4个小球可以分为一种,两种,三种,四种颜色,当取出的小球只有一种颜色时,有4种取法;当取出的小球只有两种颜色时,有C42×(1+2)=18种取法;当取出的小球只有三种颜色时,有C43C31=12种取法;当取出的小球有四种颜色时,有1种取法.综上所述,共有4+18+12+1=35种取法.故选C.2.A　从10个点中任取4个点有C104种取法,由于共面情况不符合要求,所以对其中4个点共面的情况进行分类讨论.4个点共面的情况有三类:第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面上,有4C64种;第二类,取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个顶点共面有3种.故不同的取法共有C104−4C64-6-3=141(种).故选A.3.答案　11解析　设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ,则tan θ=-ab>0,则ab0,则b