高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系同步测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系同步测试题，共25页。试卷主要包含了已知直线l，若点P在圆C，过点M作圆C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.(2024北京第三十五中学期中)直线xsin θ+y-1=0与圆x2+y2=1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.相切或相交
2.(2022江苏常州田家炳高级中学月考)已知直线l:m(x+2)+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
3.(多选题)在同一平面直角坐标系中,直线ax-y+a=0与圆(x+a)2+y2=a2的位置可能是( )
4.(2024江苏常州联盟学校期中调研)若点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内,则直线ax+by=1与圆C的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
题组二 圆的切线问题
5.过点M(2,1)作圆C:(x-1)2+y2=2的切线,则切线的条数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2024重庆第一中学校月考)圆心在y轴上的圆C与直线x-y=1相切于点A(1,0),则圆心C的纵坐标为( )
A.2 B.2 C.1 D.0
7.若直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,则k的值为 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
8.以(1,m)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0都相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y+9)2=5
B.(x-1)2+(y-1)2=25
C.(x-1)2+(y-1)2=5
D.(x-1)2+(y+9)2=25
9.(多选题)(2024云南昭通一中教研联盟期中)已知圆x2+y2=4和点A(2,-1),则过点A的圆的切线方程为( )
A.4x-3y-11=0 B.4x+3y-11=0
C.3x-4y-10=0 D.x=2
10.(2024云南楚雄州期中)已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4及圆C外一点M(-4,-1),过点M作圆C的一条切线,切点为N,则|MN|= .
11.(2023天津南开中学滨海生态城学校期中)由直线x-y+2=0上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点),则线段PT的最小长度为 .
题组三 圆的弦长问题
12.(2024福建龙岩名校期中)已知直线l:3x-4y+5=0与圆O:x2+y2=21交于A,B两点,则|AB|=( )
A.25 B.45
C.4 D.8
13.(多选题)圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值可能为( )
A.10 B.-68
C.5 D.-34
14.(2024北京第十三中学期中)直线y=kx+2与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是( )
A.-24,24
B.-∞,-24∪24,+∞
C.-13,13
D.-∞,-13∪13,+∞
15.(多选题)已知圆(x-1)2+(y-1)2=4与直线x+my-m-2=0,则下列说法正确的是( )
A.直线与圆必相交
B.直线与圆不一定相交
C.直线与圆相交且被截得的弦最短为23
D.直线与圆相交且被截得的弦最长为4
16.若a,b,c是直角三角形的三边长(c为斜边长),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=2所截得的弦长等于 .
17.直线3x-4y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=25相交于A,B两点,求△ABC的面积.
18.如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,不改变行驶方向,试问该船有没有触礁的危险?
能力提升练
题组一 直线与圆相切的综合应用
1.从原点O引圆(x-m)2+(y-2)2=m2+1的切线y=kx,当m的值变化时,切点P的轨迹方程是( )
A.x2+y2=2(x≠0)
B.(x-1)2+y2=3(x≠0)
C.(x-1)2+(y-1)2=1(x≠0)
D.x2+y2=3(x≠0)
2.(多选题)(2024黑龙江牡丹江第二高级中学月考)设圆:x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,P(5,1)为圆外一点,过P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则( )
A.|PA|=|PB|=23
B.P,A,C,B四点共圆
C.∠APB=30°
D.直线AB的方程为x=2
3.(2023湖北新高考联考协作体期中)在平面直角坐标系中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ长度的取值范围是( )
A.273,22 B.2143,22
C.253,23 D.233,25
4.(多选题)(2022辽宁沈阳一中月考)已知圆M:(x+cs θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,则下面命题中是真命题的有( )
A.对任意实数k与θ,直线l和圆M相切
B.对任意实数k与θ,直线l和圆M有公共点
C.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l和圆M相切
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切
5.(2024四川成都棠湖中学云教联盟月考)已知点A(x,y)在曲线y=4-x2上运动,则yx+4的最大值为 .
6.(2023广东华南师范大学附属中学期中)已知过点P(3,0)的直线与圆C:(x-2)2+(y-1)2=4交于A,B两点(A点在x轴上方),若|BP|=3|PA|,圆的切线l与AB平行,则直线AB与切线l间的距离是 .
7.(2022江西宜春上高二中月考)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨迹方程.
题组二 直线与圆相交的综合应用
8.(2024福建莆田擢英中学期中)已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M(1,2),则四边形ABCD面积的最大值为( )
A.4 B.5 C.8 D.10
9.(2024湖北荆州沙市中学月考)已知圆O:x2+y2=49,直线l过点M(6,3),且交圆O于P,Q两点,则使弦长|PQ|为整数的直线l的条数为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
10.(多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(2,2),点P满足|PA||PB|=2,设点P的轨迹为圆C,则下列说法正确的是( )
A.圆C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16
B.过点A向圆C引切线,两条切线的夹角为π3
C.过点A作直线l,若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,则该直线的斜率为±155
D.过直线3x+4y=60上的一点D向圆C引切线DM,DN,切点分别为M,N,则四边形DMCN的面积的最小值为163
11.(2024天津武清期中)已知直线l:mx-y-m=0与☉C:(x+1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足△ABC的面积为3的实数m的一个值: .
12.(2022湖南益阳赫山箴言中学月考)若直线l过点A(0,5),且被圆C:x2+y2+4x-12y+24=0截得的弦长为43,则直线l的方程为 .
13.(2024湖南湘东九校联考)若直线l:ax+by=0(b≠0)与圆C:x2+y2-4x-4y-10=0相交于A,B两点,|AB|≥8,则直线l的斜率的取值范围为 .
14.(2023河南南阳期中)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短的问题.在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+(y+2)2≤2,若将军从点A(-4,0)处出发,河岸线所在直线的方程为x+y-1=0,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 .
15.(2023北京大峪中学期中)已知两点D(4,2),M(3,0)及圆C:(x-2)2+(y-3)2=5,l为经过点M的一条动直线.
(1)若直线l经过点D,求证:直线l与圆C相切;
(2)若直线l与圆C相交于两点A,B,从下列条件中选择一个作为已知条件,并求△ABD的面积.
条件①:直线l平分圆C;
条件②:直线l的斜率为-3.
16.(2023重庆铁路中学校期中)已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)过点D(0,5)且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M,N,若OM·ON=30,其中O为坐标原点,求直线l的方程.
答案与分层梯度式解析
2.3 直线与圆的位置关系
基础过关练
1.D 圆x2+y2=1的圆心为(0,0),半径r=1,
则圆心到直线的距离d=1sin2θ+1≤r=1,
所以直线与圆相切或相交.故选D.
2.A 由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|=(-2)2+12=5<6.故点A在圆C的内部,从而直线l与圆C相交,故选A.
3.AD 圆(x+a)2+y2=a2的圆心为(-a,0),半径为|a|.圆心(-a,0)到直线ax-y+a=0的距离d=|-a2+a|a2+1.不妨令|-a2+a|a2+1<|a|,可得|1-a|a2+1<1,即1-2a+a2<1+a2,当a>0时,不等式恒成立,说明直线与圆相交,圆心在x轴负半轴上且直线的斜率为正数;当a<0时,不等式不成立,说明直线与圆相离,圆心在x轴正半轴上且直线的斜率为负数.所以A,D可能,B,C不可能.故选AD.
4.C 因为点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内,所以a2+b2<1,设圆心C(0,0)到直线ax+by=1的距离为d,则d=|-1|a2+b2=1a2+b2>1,因为圆C:x2+y2=1的半径r=1,所以d>r,所以直线ax+by=1与圆C的位置关系为相离.故选C.
5.B 因为(2-1)2+12=2,所以点M(2,1)在圆C:(x-1)2+y2=2上,所以过点M(2,1)所作的圆C:(x-1)2+y2=2的切线仅有1条.故选B.
6.C 由题意得,直线AC垂直于直线x-y=1,则直线AC的方程为y=
-(x-1),即x+y-1=0.令x=0,得y=1,即圆心C的纵坐标为1.故选C.
7.D 圆x2+(y-1)2=2的圆心为(0,1),半径r=2.∵直线y=k(x-1)+2与圆x2+(y-1)2=2相切,∴|-k-1+2|k2+1=2,整理得(k+1)2=0,∴k=-1,故选D.
8.C 设圆的半径为r,则r=|2-m+4|5=|2-m-6|5,可得m=1,r=5,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5,故选C.
9.CD 当过点A且与圆相切的直线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-2)-1,即kx-y-2k-1=0,则圆心到该直线的距离为|-2k-1|1+k2=2,解得k=34,故切线方程为3x-4y-10=0;当过点A且与圆相切的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,经验证,直线x=2与圆x2+y2=4相切.故过点A的圆的切线方程为3x-4y-10=0和x=2,故选CD.
10.答案 6
解析 圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2,由题意得CN⊥MN,
所以|MN|=|MC|2-r2=62+22-4=6.
11.答案 31
解析 圆C:(x-4)2+(y+2)2=1的圆心C(4,-2),半径r=1,点C(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d=|4-(-2)+2|12+(-1)2=42,
于是得|PT|=|PC|2-r2≥d2-r2=(42)2-12=31,当且仅当PC垂直于直线x-y+2=0时取“=”,
所以线段PT的最小长度为31.
12.B 由题意得圆O的圆心为O(0,0),半径r=21,圆心O到直线l的距离d=|0-0+5|32+(-4)2=1,所以|AB|=2r2-d2=221-1=45.故选B.
13.AB x2+y2-2x+4y-20=0化为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=52,则圆心为(1,-2),半径r=5,又弦长l=8,∴圆心到直线的距离d=r2-12l2=52-42=3=|5×1-12×(-2)+c|52+(-12)2,解得c=10或c=-68.故选AB.
14.A 圆(x-3)2+(y-2)2=4的圆心为(3,2),半径r=2,将直线y=kx+2化为kx-y+2=0,则圆心到直线kx-y+2=0的距离d=|3k-2+2|1+k2=|3k|1+k2≥0,由垂径定理得|MN|=2r2-d2=24-d2,因为|MN|≥23,所以24-d2≥23,解得0≤d≤1,即|3k|1+k2∈[0,1],解得-24≤k≤24,故k的取值范围是-24,24.故选A.
15.AC 圆(x-1)2+(y-1)2=4的圆心为(1,1),半径r=2.将x+my-m-2=0变形为x-2+m(y-1)=0,得直线过定点(2,1).∵(2-1)2+(1-1)2=1<2,∴点(2,1)在圆内,∴直线与圆必相交,故A正确,B错误;由平面几何知识可知,当直线x+my-m-2=0与过定点(2,1)和圆心的直线垂直时,所得的弦最短,此时弦长为2×22-12=23,故C正确;易知直线x+my-m-2=0不可能过圆心,∴直线被截得的弦的长不可能为4,故D错误.故选AC.
16.答案 2
解析 由题意得a2+b2=c2,则圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=|0+0+c|a2+b2=cc=1,又半径r=2,所以弦长为2r2-d2=2.
17.解析 由题知圆心为C(2,1),半径为5,圆心到直线的距离d=|6-4-5|32+(-4)2=35.由勾股定理得|AB|=2×25-352=41545,所以S△ABC=12×|AB|×d=12×41545×35=615425.
18.解析 (1)易知O(0,0),A(40,40),B(20,0).
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则F=0,402+402+40D+40E+F=0,202+20D+F=0,解得D=-20,E=-60,F=0,
故圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)由题意得D(-20,-203),
船航线所在直线的斜率为1,
故船航线所在直线的方程为x-y+20-203=0.
由(1)得圆C的圆心坐标为(10,30),半径为1010.
圆心C到直线x-y+20-203=0的距离d=|10-30+20-203|12+(-1)2=106<1010,
故该船有触礁的危险.
能力提升练
1.D 设P(x,y),x≠0,易知|OP|=m2+4-m2-1=3,∴x2+y2=3(x≠0),故选D.
2.ABD 将圆C的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心C(1,1),半径r=2.如图,对于A,因为|PC|=(5-1)2+(1-1)2=4,所以|PA|=|PB|=|PC|2-r2=42-22=23,故A正确;在Rt△BCP中,PC=4,BC=2,则sin∠CPB=12,即∠CPB=30°,则∠APB=2∠CPB=60°,∠BCP=∠ACP=60°,所以点A,B在直线PC上的投影长均为2×
cs 60°=1,则点A,B的横坐标均为2,所以直线AB的方程为x=2,故C错误,D正确;对于B,直线PC与圆C相交于点D(3,1),显然|DC|=|DB|=|DP|=|AD|=2,故P,A,C,B四点共圆,故B正确.故选ABD.

B 设|AC|=x,则x≥3,由PC⊥AP可知|AP|=|AC|2-|PC|2=x2-2,
∵AC垂直平分PQ,∴|PQ|=2×|PC|×|AP||AC|=2×2×x2-2x=22×1-2x2,∴当x=3时,|PQ|取得最小值,最小值为22×1-29=2143,又1-2x2<1,∴|PQ|<22,∴2143≤|PQ|<22.故选B.
4.BD 由题意可得,圆M的圆心为(-cs θ,sin θ),半径为1,则圆心到直线l:y=kx的距离d=|-kcsθ-sinθ|1+k2=1+k2|sin(θ+φ)|1+k2=|sin(θ+φ)|≤1其中sinφ=-k1+k2,csφ=-11+k2,所以直线l和圆M有公共点,且对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l和圆M相切.故选BD.
5.答案 33
解析 y=4-x2可变形为x2+y2=4(y≥0),它是以原点为圆心,2为半径的上半圆,如图,
点A(x,y)在上半圆上运动,yx+4表示点A(x,y)与点M(-4,0)连线的斜率,
由图可知,当直线AM与半圆相切时斜率最大,设直线AM的斜率为k,则直线方程为y=k(x+4),即kx-y+4k=0,
因此|4k|k2+1=2,解得k=33(负值舍去),
所以yx+4的最大值为33.
6.答案 2-233或2+233
解析 因为(3-2)2+(0-1)2<4,所以点P(3,0)在圆C内,即点P在弦AB上.
因为点P在x轴上,点A在x轴上方,所以点B在x轴下方,如图所示:
则直线AB必不可能与y轴垂直,可设直线AB的方程为x=my+3.
由x=my+3,(x-2)2+(y-1)2=4得(m2+1)y2+(2m-2)y-2=0,
易知该方程有两个不相等的实数根,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y2<0因为|BP|=3|PA|,所以|0-y2|=3|y1-0|,即-y2=3y1,
则y1+y2=-2y1=2-2mm2+1,即y1=m-1m2+1,
由y1>0可得m>1,
所以y1y2=-3y12=−3m-1m2+12=−2m2+1,整理得m2-6m+1=0,
解得m1=3-22(舍去),m2=3+22,
所以直线AB的方程为x=(3+22)y+3,即(3+22)y-x+3=0,则圆心C(2,1)到直线AB的距离d=|3+22-2+3|(3+22)2+(-1)2=4+226+23=233.
因为圆心C(2,1)到切线l的距离是半径2,
所以直线AB与切线l间的距离是2-233或2+233.
7.解析 (1)易知圆C的圆心坐标为(-1,2),半径为2.
由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零,设直线方程为x+y-a=0(a≠0),由直线与圆相切得|-1+2-a|12+12=2,解得a=-1或a=3,
∴直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)易知|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+2,
∴|PM|2=|PC|2-2.
∵|PM|=|PO|,∴|PC|2-2=|PO|2,
∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,
即2x-4y+3=0,故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.
8.B 设圆心O到直线AC,BD的距离分别为d1,d2,则d12+d22=OM2=3,所以四边形ABCD的面积S=12AC·BD=12×24-d12×24-d22=24-d12×4-d22≤4-d12+4−d22=5,当且仅当d12=d22=32时取等号.故四边形ABCD面积的最大值为5.故选B.
9.B 圆O的半径r=7,因为62+32=45<49,所以点M在圆O内.过点O作OC⊥PQ,垂足为C,连接OM,OP,如图所示,
设|OC|=d,
则有|PQ|=2r2-d2=2r2-(|OM|2-|CM|2)=2r2-|OM|2+|CM|2,
所以当|CM|=0,即M,C两点重合时,|PQ|取得最小值,为2r2-|OM|2=272-(62+32)=4,
当PQ为圆O的直径时,|PQ|取得最大值,为2r=14,
所以4≤|PQ|≤14.
当|PQ|=4时,表示圆O内过点M的最短弦,只有1条;当|PQ|=14时,表示圆O内过点M的最长弦,只有1条;当|PQ|=5,6,7,8,9,10,11,12,13时,由圆的对称性可知,圆O内过点M的弦有2条.
故使弦长|PQ|为整数的直线l的条数为1+1+9×2=20.
10.ABD 对于A,设P(x,y),则(x+4)2+(y-2)2(x-2)2+(y-2)2=2,化简得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正确;对于B,易知圆心C(4,2),半径r=4,则|AC|=8,设两条切线的夹角为α,则sin α2=r|AC|=12,又α2为锐角,所以α2=π6,则α=π3,故B正确;对于C,易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0,因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2,所以圆心到直线l的距离d=|4k-2+4k+2|k2+1=|8k|k2+1=2,解得k=±1515,故C错误;对于D,由题意可得四边形DMCN的面积S=2×12×4×|DC|2-42=4|DC|2-42,故只需求|DC|的最小值即可,|DC|的最小值为点C到直线3x+4y=60的距离d1=|3×4+4×2-60|32+42=8,所以四边形DMCN的面积的最小值为4×82-42=163,故D正确.故选ABD.
11.答案 3-3,33,-33任意一个也对
解析 ☉C:(x+1)2+y2=4的圆心为C(-1,0),半径r=2,
则圆心C到直线l:mx-y-m=0的距离d=|-m-m|m2+1=2|m|m2+1,
则|AB|=2r2-d2=24-d2,
故S△ABC=12|AB|·d=d4-d2=3,
所以d=1或d=3.
当d=1时,2|m|m2+1=1,解得m=±33;
当d=3时,2|m|m2+1=3,解得m=±3.
故m=±33或m=±3.
12.答案 3x-4y+20=0或x=0
解析 圆C的方程x2+y2+4x-12y+24=0可化为(x+2)2+(y-6)2=16,∴圆心为C(-2,6),半径为4.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,令圆的方程中x=0,则y=6±23,此时直线被圆C截得的弦长为43,满足题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+5,即kx-y+5=0,
∵直线被圆C截得的弦长为43,∴圆心到直线l的距离d=|-2k-6+5|k2+1 =16-(23)2,∴k=34,
∴l的方程为3x-4y+20=0.
综上,l的方程为3x-4y+20=0或x=0.
13.答案 [2-3,2+3]
解析 将圆C的方程化为标准方程,得(x-2)2+(y-2)2=18,则圆心坐标为(2,2),半径r=32,
设圆心到直线l的距离为d,要求|AB|≥8,
即2r2-d2≥8,即d2≤2,
∴|2a+2b|a2+b2≤2,即a2+b2+4ab≤0(b≠0),
∴ab2+4ab+1≤0,解得-2-3≤ab≤-2+3,
设直线l的斜率为k,则k=-ab,
∴2-3≤k≤2+3.
14.答案 42
解析 设点A关于直线x+y-1=0的对称点为A'(a,b),则AA'的中点坐标为a-42,b2,kAA'=ba+4,
故ba+4·(-1)=-1,a-42+b2-1=0,解得a=1,b=5,则A'(1,5).
由x2+(y+2)2≤2知军营所在区域中心为C(0,-2),
则“将军饮马”的最短总路程为|A'C|-2=12+(5+2)2−2=42.
15.解析 (1)证明:因为直线l经过点D,M,所以直线l的方程为2x-y-6=0.
圆C的圆心为C(2,3),半径r=5,则圆心C(2,3)到直线l的距离为|2×2-3-6|22+12=5=r,
所以直线l与圆C相切.
(2)选择条件①:若直线l平分圆C,
则直线l过圆心C(2,3),所以直线l的方程为y-0=3-02-3(x-3),即3x+y-9=0.
此时|AB|=2r=25,
点D(4,2)到直线l的距离为|3×4+2-9|10=102,
所以S△ABD=12×25×102=522.
选择条件②:若直线l的斜率为-3,
则直线l的方程为y-0=-3(x-3),即3x+y-9=0,
此时圆心C(2,3)在直线l上,则|AB|=2r=25,
点D(4,2)到直线l的距离为|3×4+2-9|10=102,
所以S△ABD=12×25×102=522.
16.解析 (1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由已知得(6-a)2+(0-b)2=r2,(1-a)2+(5-b)2=r2,2a-7b+8=0,解得a=3,b=2,r2=13,
故圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)由题意知直线l的方程为y=kx+5,
代入方程(x-3)2+(y-2)2=13,整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=6(1-k)1+k2,x1x2=51+k2,
故OM·ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)(kx2+5)
=(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25=30k(1-k)1+k2+30=30,
解得k=1或k=0.
当k=1时,Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=-40<0,不符合题意,舍去,
当k=0时,Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=16>0,符合题意.
所以直线l的方程为y=5.