北师大版高中数学选择性必修第一册第2章圆锥曲线2双曲线课件

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§2 双曲线知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.已知点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线. (　    ) 2.在双曲线的标准方程 - =1中,a>0,b>0,且a≠b. (　    ) 3.双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值. (　    )4.共渐近线的双曲线的离心率相同. (　    )5.双曲线C1: - =1(a>0,b>0)与C2: - =1的渐近线方程相同. (　    ) ✕✕✕✕√ 因为|AC|-|BC|=2=|AB|,所以点C的轨迹不是双曲线. a,b之间的大小关系没有限制.6.双曲线的离心率越大,开口越大. (　    )7.椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围相同. (　    )    √✕ 椭圆的离心率的取值范围是(0,1),双曲线的离心率的取值范围是(1,+∞).1.定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”.(1)当2a<|F1F2|时,动点的轨迹是双曲线.若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹不存在.(2)若定义中没有“绝对值”,即|MF1|与|MF2|仅满足|MF1|-|MF2|=2a(a>0),则当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线的一支;当2a=|F1F2|时,轨迹是以F2为端点的一条射线;当2a>|F1F2|时,轨迹不存在.(3)若将“常数不等于零”改为“常数等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.讲解分析2.设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若点M在双曲线的右支上,则|MF1|>|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a(a>0);若点M在双曲线的左支上,则|MF1|<|MF2|,|MF1|-|MF2|=-2a(a>0),因此得到|MF1|-|MF2|=±2a.这与椭圆的定义中|MF1|+|MF2|=2a是不同的.典例 双曲线 - =1上的点P到一个焦点的距离为11,则它到另一个焦点的距离为     (        )A.1或21　　　　     B.14或36C.1　　　　　　　     D.21D解析    设点P到另一个焦点的距离为m(m>0),∵点P到一个焦点的距离为11,∴由双曲线的定义得|11-m|=10,∴m=1或m=21.∵a=5,c=7,m≥c-a,∴m≥7-5=2,∴m=1不符合题意,舍去.故选D.1.用定义法求双曲线的标准方程　　根据双曲线的定义确定a,b的值,结合焦点位置写出双曲线的标准方程.2.用待定系数法求双曲线的标准方程的四个步骤(1)定位置:根据条件确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上,还是二者都有可能.(2)设方程:根据焦点的位置,设其方程为 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn<0).(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b或m,n的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b或m,n的值代入所设方程即可.讲解分析3.利用双曲线的几何性质设双曲线方程的方法与技巧(1)与双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程为 - =λ(λ>0)和 - =λ(λ>0).　　注意:仅以离心率不能确定焦点位置.(2)与渐近线有关的双曲线方程的设法:①与双曲线 - =1(a>0,b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0).②渐近线方程为y=±kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).③渐近线方程为ax±by=0(a>0,b>0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).(3)与双曲线 - =1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 - =1(λ≠0,-b2<λ0,b>0);(2)根据已知条件确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b);(3)求出c的值,再由双曲线的几何性质求解.2.与双曲线有关的其他几何性质(1)通径:过双曲线 - =1 (a>0,b>0)的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双曲线截得的弦叫作通径,其长度为 .(2)焦点三角形:双曲线上的点P(不在坐标轴上)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形.设讲解分析∠F1PF2=θ,则焦点三角形的面积S= .(3)距离:双曲线 - =1(a>0,b>0)的右支上任意一点M到左焦点的距离的最小值为a+c,到右焦点的距离的最小值为c-a.焦点到渐近线的距离为b.(4)中点弦:设M为双曲线 - =1(a>0,b>0)的弦AB(AB不平行于坐标轴)的中点,O为坐标原点,则有kAB·kOM= .3.等轴双曲线中心在原点,以坐标轴为对称轴,实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线.它有如下性质:(1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0);(2)渐近线方程为y=±x,所以两条渐近线互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角;(3)实轴长和虚轴长都等于2a,离心率e= .典例 (1)双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 (　    )A. 　    B. 　    C.1　    D. (2)已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为     (　    )A. +1　    B. +1　    C.2 　    D.2  BB