数学选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程同步训练题

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 抛物线及其标准方程同步训练题，共12页。试卷主要包含了1　抛物线及其标准方程，抛物线y2=x的准线方程为，设抛物线C，已知抛物线C，已知抛物线C的准线与圆M等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 抛物线的定义
1.在平面内,“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2023江西赣州赣县三中月考)已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,则点M的轨迹方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-2x D.y2=-4x
3.(2022重庆八中期中)若点P与点(0,2)之间的距离比点P到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为( )
A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y
题组二 抛物线的标准方程及其应用
4.(2023上海复旦附中期中)抛物线y2=x的准线方程为( )
A.x=12 B.x=14
C.x=-12 D.x=−14
5.(2024北京顺义牛栏山第一中学期中)已知抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为3的点M到焦点F的距离为6,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.8
6.(2024江西部分学校期中)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,若点A(2,2)在C上,则|AF|=( )
A.54 B.74 C.94 D.52
7.(2024河北示范性高中期中)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P(0,2),点Q在抛物线C上,且PQ⊥PF,则|QF|=( )
A.4 B.5 C.8 D.9
8.抛物线x=y24上的点与其焦点的距离的最小值为( )
A.2 B.1 C.116 D.12
9.已知抛物线y2=-8x的焦点与双曲线x2m-y2=1的左焦点重合,则实数m的值为 .
10.(2024江西部分高中月考)已知抛物线C的准线与圆M:(x+2)2+(y+2)2=16相切,请写出一个抛物线C的标准方程: .
11.分别根据下列条件,求抛物线的标准方程.
(1)准线方程是4y+1=0;
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
能力提升练
题组 抛物线的标准方程及其应用
1.(2023江苏盐城阜宁中学期中)抛物线有如下光学性质:经过抛物线焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴(或在对称轴上);反之,平行于抛物线对称轴(或在对称轴上)的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线E:y2=2px(1A.32 B.2 C.52 D.3
2.(2024河北沧衡八校联盟期中)设A是抛物线C:y2=-4x上的动点,B是圆M:(x+8)2+y2=1上的动点,则|AB|的最小值为( )
A.30−1 B.42-1
C.27-1 D.27
3.(2024天津第一百中学、咸水沽第一中学期中)已知抛物线C:y=14x2的焦点为F,O为坐标原点,点A在抛物线C上,且|AF|=2,P是抛物线C的准线上一动点,则|PA|+|PO|的最小值为( )
A.13 B.213
C.313 D.26
4.(多选题)(2023辽宁大连王府高级中学段考)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A,B是抛物线上两动点,下列说法正确的有( )
A.抛物线的准线方程为x=-1
B.若|AF|+|BF|=8,则线段AB的中点到x轴的距离为3
C.以线段AF为直径的圆与x轴相切
D.以线段AB为直径的圆与准线相切
5.(2023河南平顶山叶县高级中学模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,与x轴平行的直线与C和l分别交于A,B两点,若|AF|=|BF|,则|AB|= .
6.(2022江西科技学院附属中学月考)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23−y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
7.(2024江苏常州联盟期中)已知O为坐标原点,P(a,0)(a>0),Q为抛物线y2=x上任意一点,且|PQ|≥|PO|恒成立,则实数a的取值范围是 .
8.某学习小组研究一种卫星接收天线(如图①所示),发现其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚焦到焦点处(如图②所示),已知接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为1 m,求该抛物线的标准方程及其焦点坐标.
答案与分层梯度式解析
§3 抛物线
3.1 抛物线及其标准方程
基础过关练
1.B 当定点在定直线上时,点P的轨迹可以是过该定点且与该定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离,故应为必要不充分条件.故选B.
2.B 因为动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,所以点M到点A(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,即M的轨迹是以点A(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则p2=1,解得p=2,故所求轨迹方程为y2=4x.故选B.
3.D 由题意得,点P与点(0,2)之间的距离等于点P到直线y=-2的距离,所以点P的轨迹是以(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),则p2=2,解得p=4,所以点P的轨迹方程是x2=8y.故选D.
4.D 抛物线y2=x的焦点在x轴上,且开口向右,故2p=1,∴-p2=−14,∴抛物线y2=x的准线方程为x=-14,故选D.
5.C 记抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,作MN⊥l,垂足为N,如图,
由抛物线的定义可知,|MN|=|MF|,则3+p2=6,解得p=6.故选C.
6.C 解法一:因为点A(2,2)在C上,所以(2)2=2p·2,解得p=12,所以C:x2=y,其准线方程为y=-14.
由抛物线的定义知,|AF|=2+14=94.故选C.
解法二:因为点A(2,2)在C上,所以(2)2=2p·2,解得p=12,所以F0,14,
所以|AF|=(2)2+2-142=2+4916=8116=94.故选C.
7.B 由题意得F(1,0),设Qy024,y0(y0≥0),因为PQ⊥PF,所以PQ·PF=0,则y024,y0-2·(1,-2)=0,所以y024-2(y0-2)=0,即y02-8y0+16=0,所以y0=4,所以Q(4,4),所以|QF|=4+1=5,故选B.
8.B 抛物线的方程可化为y2=4x,设焦点为F,则F(1,0),准线方程为x=-1.设抛物线上的动点P(x0,y0),根据抛物线的定义可知,|PF|=1+x0,因为x0∈[0,+∞),所以|PF|=1+x0≥1,故该抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选B.
9.答案 3
解析 易得抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),结合题意得m+1=(-2)2,则m=3.
10.答案 y2=-8x(答案不唯一)
解析 若抛物线的对称轴为坐标轴,顶点为原点,
则抛物线C的准线方程可能为x=2,x=-6,y=2,y=-6,
所以抛物线C的标准方程可能为y2=-8x,y2=24x,x2=-8y,x2=24y.
11.解析 (1)准线方程4y+1=0可化为y=-14,所以抛物线的焦点在y轴上,开口向上,设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),则p2=14,所以p=12,
所以抛物线的标准方程是x2=y.
(2)双曲线的标准方程为x29- y216=1,左顶点为(-3,0),
所以抛物线的焦点为(-3,0),所以抛物线的开口向左,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则p2=3,所以p=6,
所以抛物线的标准方程是y2=-12x.
(3)若抛物线的开口向右,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),当y=-3时,x=92p,
则|AF|=92p+p2=5,即p2-10p+9=0,解得p=1或p=9,
所以抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
若抛物线的开口向左,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),当y=-3时,x=-92p,
则|AF|=92p+p2=5,解得p=1或p=9,
所以抛物线的标准方程为y2=-2x或y2=-18x.
综上可知,抛物线的标准方程为y2=±2x或y2=±18x.
能力提升练
1.D 由题知抛物线的焦点Fp2,0,AB∥x轴,将y=2p代入y2=2px,得x=2p,则B(2p,2p),由题可知B,F,C三点共线,所以直线BC的方程为y=2p2p-p2·x-p2,即y=43x-p2,代入抛物线方程并整理,得8x2-17px+2p2=0,设该方程的两实根分别为x1,x2,则x1+x2=17p8,则|BC|=x1+x2+p=17p8+p=258p,又点A(8,2p)到直线BC的距离d=|32-6p-2p|5=32-8p5,由S△ABC=152得12·|BC|·d=12·258p·32-8p5=152,解得p=3或p=1(舍去).故选D.
2.C 圆M:(x+8)2+y2=1的圆心为M(-8,0),半径为1,设A-m24,m,则|AM|2=-m24+82+m2=116m4−3m2+64=116(m2-24)2+28,当m2=24时,|AM|2取得最小值28,所以|AM|min=27,所以|AB|min=27-1.故选C.
3.A 易得抛物线的准线方程为y=-1.
∵|AF|=2,∴点A到准线的距离为2,故A点的纵坐标为1,把y=1代入抛物线方程,可得x=±2.
不妨设点A在第一象限,则A(2,1),设点O关于准线y=-1的对称点为M,则M(0,-2),连接AM,PM,如图:
则|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,当且仅当A,P,M三点共线时,等号成立.
故|PA|+|PO|的最小值为|AM|=22+32=13.故选A.
4.BC 对于A,抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,焦点为F(0,1),故A错误;对于B,设点A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+y2+2=8,解得y1+y2=6,所以线段AB的中点到x轴的距离为y1+y22=3,故B正确;对于C,|AF|=y1+1,AF的中点坐标为x12,y1+12,所以AF的中点到x轴的距离为y1+12=12|AF|,所以以线段AF为直径的圆与x轴相切,故C正确;对于D,因为点A,B没有任何限制条件,可以是抛物线上任意两点,所以以线段AB为直径的圆与准线不一定相切,故D错误.故选BC.
5.答案 4
解析 由抛物线的定义可知|AF|=|BF|=|AB|,所以△ABF为等边三角形.
设准线l与x轴交于点H,则|FH|=2,∠FBH=30°,所以|AB|=|BF|=2|FH|=4.
6.答案 6
解析 由题意得,F0,p2,准线方程为y=-p2.将y=-p2代入x23−y23=1,得x=±p2+122,∴|AB|=p2+12,又△ABF为等边三角形,∴|AF|=p2+12,由勾股定理得|AF|2-|AB|22=p2,可得p2=36,又p>0,∴p=6.
7.答案 0,12
解析 设Q(x0,y0),则y02=x0.
因为|PQ|≥|PO|恒成立,
所以(x0-a)2+y02=(x0-a)2+x0≥a,
则有x02-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0,
因为x0≥0,所以有x0-2a+1≥0,
进而有a≤x0+12恒成立,故a≤x0+12min=12.
又a>0,所以a的取值范围是0,12.
8.信息提取 ①曲面与轴截面的交线为抛物线;②接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为1 m;③求抛物线的标准方程及其焦点坐标.
数学建模 建立抛物线模型研究实际问题.在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在x轴正半轴上(焦点在坐标轴上的位置可任选,合理即可),根据题意将有关数据转换成抛物线上的点的坐标,从而求得抛物线的标准方程以及焦点坐标.
解析 如图所示,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在x轴正半轴上.
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得,点A(1,2.4)在抛物线上,
所以2.42=2p,解得p=2.88,
所以抛物线的标准方程为y2=5.76x,焦点坐标为(1.44,0).