北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质课堂检测

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质课堂检测，共20页。试卷主要包含了平面内到定点F和定直线l，已知点M在抛物线C，设抛物线y2=2px的焦点为F，斜率为3的直线l过抛物线C，故选BC等内容，欢迎下载使用。

题组一 由抛物线的标准方程探究其几何性质
1.若点(m,n)在抛物线y2=-13x上,则下列点中一定在该抛物线上的是( )
A.(-m,-n) B.(m,-n)
C.(-m,n) D.(-n,-m)
2.(2024浙江温州环大罗山联盟期中)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )
A.83 B.42 C.43 D.32
3.(多选题)平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C,下列结论正确的有( )
A.曲线C的方程为x2=4y
B.曲线C关于y轴对称
C.若点P(x,y)在曲线C上,则y≥2
D.若点P在曲线C上,则点P到直线l的距离d≥2
4.(2024山东青岛第二中学期中)已知点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),若P为C上的一个动点,设点Q的坐标为(3,0),则|PQ|的最小值为 .
题组二 由抛物线的几何性质求标准方程
5.以x轴为对称轴,坐标原点为顶点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线的方程是( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y
6.(2024天津第三中学期中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的标准方程为( )
A.y2=8x B.y2=2x
C.y2=12x D.y2=x
7.(多选题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为324,则点M的坐标可以为( )
A.(0,-1) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(0,1)
8.斜率为3的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,若l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,则p=( )
A.12 B.8 C.10 D.6
9.(2024江苏徐州期中)写出一个同时满足下列条件①②的抛物线的方程: .
①以原点为顶点;②以椭圆y22+x2=1的一个焦点为抛物线的焦点.
10.(2024辽宁大连金州高级中学期中)已知抛物线C的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过(-1,1),(1,2),(2,-2),(-1,-2)四点中的两点,则抛物线C的方程为 .
11.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
12.已知抛物线y=ax2(a>0)的焦点为F,P为抛物线上的动点,M为其准线上的动点,若△FPM是边长为2的等边三角形,求此抛物线的标准方程.
题组三 抛物线的焦点弦问题
13.(2022安徽巢湖第一中学期中)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与C交于M,N两点,若|MN|=10,则线段MN的中点到y轴的距离为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
14.(2024黑龙江哈尔滨第三中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆x225+y216=1的右焦点重合,斜率为k(k>0)的直线l经过点F,且与C交于点A,B.若|AF|=2|BF|,则k=( )
A.1 B.2 C.24 D.22
15.(2023河南平顶山湛河月考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为π6的直线,交抛物线于A,B两点,若1|AF|+1|BF|=2,则实数p的值为( )
A.12 B.1 C.32 D.3
16.(2024江苏泰州中学期中)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A与抛物线C的焦点F之间的距离为12,点A到y轴的距离为9.
(1)求p的值;
(2)若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C相交于M,N两点.求线段MN的长.
能力提升练
题组 抛物线的几何性质及其应用
1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(3,y0),若点M与该抛物线的焦点F之间的距离为6,则|OM|=( )
A.5 B.35 C.6 D.62
2.(2024河南通许第一高级中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x,P为x轴正半轴上一点,线段OP的垂直平分线l交C于A,B两点,若∠OAP=120°,则四边形OAPB的周长为( )
A.643 B.64 C.803 D.80
3.(多选题)(2022湖南大联考期末)已知P(x,y)为曲线x=2y上一动点,则( )
A.x2+(y-1)2的最小值为12
B.存在一个定点和一条定直线,使得P到定点的距离等于P到定直线的距离
C.P到直线y=-x-2的距离的最小值小于2
D.x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2的最小值为6
4.(2023辽宁省实验中学段考)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且AF=2FB,抛物线的准线l与x轴交于点C,AA1⊥l于点A1,若四边形AA1CF的面积为52,则准线l的方程为( )
A.x=-2 B.x=−22
C.x=-2 D.x=-1
5.(多选题)(2023浙江宁波镇海中学期中)已知抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线AB,CD过焦点F,分别交抛物线Γ于点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中A,C位于x轴同侧,且直线BC经过点p4,0,记直线BC,AD的斜率分别为kBC,kAD,则下列结论正确的有 ( )
A.y1y2=-p2
B.直线AD过定点
C.kBCkAD=4
D.|AD|的最小值为22p
6.(2024江西师大附中期中)一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体),要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部,则清洁钢球的最大半径为( )
A.12 B.1 C.2 D.52
7.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B.过B作l的垂线,垂足为M,若AM⊥MF,则△AFM的面积S= .
8.已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,定点A(1,2)和动点P都在抛物线C上,点B(2,0),则|PF|-1|PB|2的最大值为 .
9.(2024山东德州期中)已知抛物线C:y2=2px(0(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,求证:AB过定点.
答案与分层梯度式解析
3.2 抛物线的简单几何性质
基础过关练
1.B 由抛物线方程可知其关于x轴对称,故点(m,-n)一定在该抛物线上.故选B.
2.A 由题意,可设另外两个顶点的坐标分别为m24,m,m24,-m(m>0),则tan 30°=33=mm24,解得m=43,故这个等边三角形的边长为2m=83.故选A.
3.AB 由抛物线的定义知,曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其关于y轴对称,方程为x2=4y,所以A,B正确;由x2=4y知y≥0,点P到直线l的距离d≥1,所以C,D错误.故选AB.
4.答案 22
解析 ∵点M(1,m)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F为焦点),∴1--p2=2,解得p=2,
∴抛物线C:y2=4x.
设P(x0,y0)(x0≥0),则y02=4x0,
则|PQ|2=(x0-3)2+y02=(x0-3)2+4x0=(x0-1)2+8,
当x0=1时,|PQ|2取得最小值8,
∴|PQ|的最小值为22.
5.C 依题意设抛物线的方程为y2=±2px(p>0).因为焦点与原点之间的距离为2,所以p2=2,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.
6.B 在y2=2px(p>0)中,令x=2,得y2=4p,解得y=±2p,
不妨设D(2,2p),E(2,−2p),如图,
因为OD⊥OE,所以OD·OE=2×2-4p=0,解得p=1,
故C的标准方程为y2=2x.故选B.
7.BC 设M(0,y0),易知Fp2,0,则Bp4,y02,过点B作准线的垂线,垂足为B1,如图所示:
则|BB1|=p4+p2=324,解得p=2,
∴抛物线方程为y2=22x,且B24,y02,
又点B在抛物线上,
∴14y02=22×24,解得y0=±2.
∴点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.
8.A 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为p2,0,则直线l的方程为y=3x-p2,即3x−y−32p=0.因为l与圆M:(x-2)2+y2=12相切,所以圆心(2,0)到l的距离d=23-32p2=23,解得p=12(负值舍去).故选A.
9.答案 x2=4y(答案不唯一)
解析 因为椭圆y22+x2=1的焦点在y轴上,且c=2-1=1,所以椭圆的上焦点为(0,1),下焦点为(0,-1),不妨以椭圆的上焦点为抛物线的焦点,设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则p2=1,即p=2,所以x2=4y.(答案不唯一)
10.答案 y2=2x
解析 由所经过的点所在象限及对称性,结合抛物线的对称性可知,点(-1,1)和点(1,2)不可能同时在抛物线C上,点(-1,1)和点(-1,-2)不可能同时在抛物线C上,点(2,-2)和点(-1,-2)不可能同时在抛物线C上,点(1,2)和点(-1,-2)也不可能同时在抛物线C上,(-1,1),(2,-2)两点分别位于第二、四象限,这样的抛物线不存在,所以抛物线C只能过点(1,2),点(2,-2),根据两点位置可设C:y2=2px(p>0),代入(1,2),得2=2p,即p=1,所以y2=2x,此抛物线过点(2,-2),满足题意.
综上,抛物线C的方程为y2=2x.
11.解析 设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M0,-p2.
因为|AF|=3,所以y0+p2=3.
因为|AM|=17,所以x02+y0+p22=17,
所以x02=8,代入方程x02=2py0,得8=2p·3-p2,解得p=2或p=4.
故所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
12.解析 因为△FPM为等边三角形,所以|PM|=|PF|,由抛物线的定义可得PM垂直于抛物线的准线.
设P(m,am2),则Mm,-14a,又F0,14a,
所以有am2+14a=2,m2+-14a-14a2=2,解得m2=3,a=12,
所以抛物线的标准方程为x2=2y.
13.C 如图所示,设MN的中点为D,分别作MA,NB,DC垂直于准线于A,B,C三点,设CD交y轴于点E,易得CD为直角梯形ABNM的中位线,所以|CD|=|MA|+|NB|2,由抛物线的定义易得,|MA|+|NB|=|MN|=10,所以|CD|=5,又抛物线的准线方程为x=-1,所以|CE|=1,故线段MN的中点到y轴的距离为|DE|=|CD|-|CE|=4,故选C.
14.D 由椭圆方程可知F(3,0),则C:y2=12x,由题意可设直线l的方程为x=1ky+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由x=1ky+3, y2=12x,消去x,得y2-12ky-36=0,即y1y2=-36,又|AF|=2|BF|,所以y1=-2y2,所以y2=-32,y1=62,所以x1=6,x2=32,则k=62-(-32)6-32=22.故选D.
15.B 易得Fp2,0,设直线AB的方程为y=33x-p2,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=33x-p2, y2=2px,消去y,得x2-7px+p24=0,∴x1+x2=7p,x1x2=p24,又|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,∴1|AF|+1|BF|=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=2p=2⇒p=1.
16.解析 (1)设A(x,y),由题意得|AF|=9+p2=12,∴p=6.
(2)由(1)知抛物线C:y2=12x,则焦点F(3,0),
根据题意,得直线l:y=x-3.
联立y2=12x,y=x-3,消去y,得x2-18x+9=0,
Δ=182-4×9>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=18,
∴|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+p=18+6=24.
能力提升练
1.B 由题意设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),因为点M(3,y0)到焦点F的距离为6,所以|MF|=3+p2=6,则p=6,所以抛物线的方程为y2=12x,令x=3,可得y02=36,所以|OM|=32+y02=35.故选B.
2.A 由题意得,线段AB与OP互相垂直平分,则四边形OAPB为菱形.设点P(2t,0),t>0,则线段OP的垂直平分线l的方程为x=t,令l与x轴交于点H,如图,
因为∠OAP=120°,所以∠OAH=12∠OAP=60°,所以|AH|=|OH|3=3t3,所以点A的坐标为t,3t3,将其代入抛物线C:y2=8x,得t23=8t,所以t=24,在直角三角形OAH中,|OA|=2|AH|=2×33×24=163,所以四边形OAPB的周长为4|OA|=643.故选A.
BD 由x=2y,得x2=4y(x≥0),则曲线x=2y为抛物线x2=4y的右半部分(包括原点).抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),准线l:y=
-1,x2+(y-1)2=|PF|≥1,故A错误.由抛物线的定义易知B正确.原点到直线y=-x-2的距离为2,其为点P到直线y=-x-2的距离的最小值,故C错误.设点A(1,5)到准线l:y=-1的距离为d,则x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-5)2=|PF|+|PA|≥d=5+1=6,故D正确.故选BD.
4.D 解法一:由题意知Fp2,0,准线l的方程为x=-p2,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AF=p2-x1,-y1,FB=x2-p2,y2,由AF=2FB,得p2−x1=2x2-p2,即x2=14(3p-2x1)①.由题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx-p2(k≠0),代入抛物线方程并整理,得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,所以x1x2=p24②.联立①②,消去x2得2x12-3px1+p2=0,解得x1=p或x1=p2(舍去),所以|y1|=2p,因为S四边形AA1CF=12x1+p2+p·|y1|=52,所以12p+p2+p·2p=52,所以p=2,所以准线l的方程为x=-1,故选D.
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,则|AF|=p1-csθ,|BF|=p1+csθ,因为AF=2FB,所以|AF|=2|FB|,即p1-csθ=2×p1+csθ,解得cs θ=13,
则sin θ=223,因为四边形AA1CF是直角梯形,其中|CF|=p,|AA1|=|AF|=32p,高为|AF|sin θ=32p·223=2p,所以四边形AA1CF的面积为12p+32p·2p=524p2=52,所以p=2,所以准线l的方程为x=-1,故选D.
5.ABD 由抛物线Γ:y2=2px可得Fp2,0.
设直线AB的方程为x=ty+p2,
由x=ty+p2, y2=2px,得y2-2pty-p2=0,
∴y1y2=-p2,
同理可得y3y4=-p2,故A正确.
由对称性可知,若直线AD过定点,则定点在x轴上,假设定点为M(m,0),
由直线BC经过点Np4,0,可得NC∥NB,
∴x2-p4y3=x3-p4y2,∴y222p-p4y3=y322p-p4y2,
∴y2y32p(y2−y3)=p4(y3−y2),∴y3y2=−12p2,
∵y1y2=-p2,y3y4=-p2,∴y1y4=-2p2,
由A,M,D三点共线得MA∥MD,
∴(x1-m)y4=(x4-m)y1,∴y122p-my4=y422p-my1,
∴y1y42p(y1−y4)=m(y4−y1),∴m=−y1y42p=p,
∴直线AD过定点(p,0),故B正确.
kBC=y3-y2x3-x2=y3-y2y322p-y222p=2py2+y3,同理kAD=2py1+y4,∴kBCkAD=y1+y4y2+y3,不为常数,故C错误.
设直线AD的方程为x=ny+p,
由x=ny+p,y2=2px,得y2-2pny-2p2=0,
∴y1+y4=2pn,y1y4=-2p2,
∴|AD|=1+n2·|y1-y4|=1+n2·(y1+y4)2-4y1y4=1+n2·4p2n2+8p2=2p1+n2·n2+2,
当n=0时,|AD|的值最小,最小值为22p,故D正确.
故选ABD.
6.答案 B
信息提取 ①凹槽的截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10];②清洁钢球的截面为圆;③求球的最大半径.
数学建模 建立抛物线与圆的位置关系求解实际问题.根据所给抛物线方程作出相应的平面直角坐标系,设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0),表示出抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方,结合钢球需触及凹槽的最底部这一条件,根据二次函数的性质求出y0的取值范围,即可确定清洁钢球的最大半径.
解析 如图所示:
设钢球的圆心为(0,y0)(y0>0),若钢球触及凹槽的最底部,则钢球的半径r=y0,抛物线上的点(x,y)与圆心之间的距离的平方为d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+y02,
若d2的最小值在(0,0)时取到,则钢球触及凹槽的最底部,
故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧,所以1-y0≥0,所以y0≤1,
所以0所以清洁钢球的最大半径为1.
7.答案 324
解析 如图所示:
由抛物线的定义可知|BF|=|BM|,Fp2,0.
∵AM⊥MF,∴由直角三角形的性质可知B为线段AF的中点,
∴Bp4,1,
把点B的坐标代入抛物线方程,得1=2p×p4,解得p=2(负值舍去),
∴B24,1,
∴S△AFM=2S△BFM=2×12×24+22×1=324.
8.答案 14
解析 因为点A(1,2)在抛物线上,所以4=2p,解得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0).
设动点P(x,y)(x≥0),则y=±2x,不妨令P(x,2x),结合抛物线的定义可知x=|PF|-1,
当x=0时,P(0,0),|PF|-1|PB|2=0;
当x>0时,|PF|-1|PB|2=x(x-2)2+4x=xx2+4=1x+4x≤12x·4x=14,当且仅当x=2时取“=”.
综上可知,|PF|-1|PB|2的最大值为14.
9.解析 (1)由题可知|y0|=4p,|DE|=4p,|DF|=8+p2,
∵|DE|=45|DF|,∴4p=458+p2,
整理,得p2-68p+256=0,
解得p=4或p=64,
∵0∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明:当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线交于一点,不符合题意,
∴直线l的斜率不为0,
可设直线l的方程为x=my+n(n≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x=my+n,y2=8x,消去x并整理,得y2-8my-8n=0,
则Δ=64m2+32n,y1+y2=8m,y1y2=-8n,
∴x1·x2=y128·y228=n2,
∵OA⊥OB,∴OA·OB=x1x2+y1y2=n2-8n=0,
∴n=8,此时满足Δ>0,
∴AB过定点(8,0).