北师大版高中数学选择性必修第一册第3章空间向量与立体几何2空间向量与向量运算课件

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1.空间向量的有关概念§2 空间向量与向量运算提醒    (1)数学中所研究的向量,它的起点和终点可以任意平行移动,被称为自由向量;(2)零向量的方向是任意的,规定零向量与任意向量平行;(3)单位向量不一定相等,但单位向量的模一定相等;(4)方向相同且模相等的向量称为相等向量,因此,在空间中,可用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量;(5)空间任意两个向量都为共面向量;(6)一般来说,向量不能比较大小.2.空间向量的表示(1)用有向线段表示,如 ,点A叫作向量 的起点,点B叫作向量 的终点.(2)印刷时用a,b,c,…表示,书写时用 , , ,…表示.　　空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”)1.两个向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间中任取一点O,作 =a, =b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角,记作.通常规定0≤≤π. 2.两个向量的数量积(1)定义　　已知两个空间向量a,b,把|a||b|·cos叫作a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos.(2)结论(i)cos= (a≠0,b≠0);(ii)|a|= ;(iii)a⊥b⇔a·b=0.(3)运算律(i)交换律:a·b=b·a;(ii)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;(iii)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).3.投影向量与投影数量　　已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,过点B作直线OA的垂线,垂足为B1,称向量 为向量b在向量a方向上的投影向量,其长度等于||b|cos|.若用a0表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量,则向量b在向量a方向上的投影向量为 =|b|cosa0,向量b在向量a方向上的投影数量为|b|cos= =a0·b.知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.空间中任意两个单位向量必相等. (　    ) 2. - =0. (　    ) 3.a∥b⇔存在实数λ∈R,使得a=λb. (　    ) 4.若两个非零向量a∥b,则=0.(　    ) ✕✕✕✕ 任意两个单位向量的模相等,方向不一定相同. b≠0时才成立. =0或=π.5.若a,b均为非零向量,则a·b=|a||b|是a,b共线的必要不充分条件. (　    ) 6.(a·b)c=a(b·c). (　    )7.向量b在向量a方向上的投影数量非负. (　    ) ✕✕✕ a·b=|a||b|是a,b共线的充分不必要条件. 向量b在向量a方向上的投影数量是实数,可正,可负,可为0.讲解分析4.拓展认识共面向量:(1)定义:平行于同一平面的向量叫作共面向量.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件:存在唯一有序实数对(x,y),使 =x +y 或对空间任意一点O,有 = +x +y .(4)空间四点P,A,B,C共面的充要条件: =x +y +z ,其中x+y+z=1,O为空间中的任意一点.典例 如图所示,已知空间四边形ABCD,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且 =2 , =2 .用向量法证明四边形EFGH是梯形. 1.求两个向量的夹角的方法(1)结合图形,平移向量,利用向量夹角的定义来求,但要注意夹角的范围;(2)先求a·b,再利用公式cos= 求cos,最后确定.讲解分析2.求两条异面直线的夹角的步骤3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线的夹角的取值范围为 ,因此利用向量的数量积求异面直线的夹角时,要注意二者之间的关系,当∈ 时,它们相等;当典例 如图,空间四边形OABC的各边及对角线长都为2,E是AB的中点,F在OC上,且 =2 .求向量 与向量 的夹角的余弦值.  1.求两点间距离的步骤(1)用向量的模|a|表示此距离;(2)用已知模和夹角的向量表示向量a;(3)用公式a·a=|a|2求|a|;(4)|a|即为所求距离.2.求模公式的推广　　公式|a|= 可以推广为|a±b|= = .讲解分析典例 如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,则B,D间的距离为　　　    .  利用空间向量的数量积判断或证明线线、线面垂直的思路(1)由结论a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可.　　用向量法证明垂直关系的步骤:①把几何问题转化为向量问题;②用已知向量表示所证向量;③结合数量积公式和运算律证数量积为0;④将向量问题回归到几何问题.讲解分析典例 已知在四面体OABC中(如图所示),OA⊥BC,OB⊥AC,求证:OC⊥AB.