数学北师大版 (2019)第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理同步测试题

这是一份数学北师大版 (2019)第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.1 空间向量基本定理同步测试题，共7页。试卷主要包含了1　空间向量基本定理等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 空间向量基本定理及相关概念的理解
1.(多选题)(2024广东广州石北中学、石楼中学、洛溪中学等期中联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,能构成空间向量的一组基的是( )
A.AA1,AB,AC B.BA,BC,BD
C.AC1,BD1,CB1 D.AD1,BA1,AC
2.(多选题)(2023河北邯郸大名第一中学月考)已知a,b,c是空间中的三个单位向量,下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a,b,c两两共面,则a,b,c共面
C.若{a,b,c}是空间向量的一组基,则{a+b,b+c,c+a}也是空间向量的一组基
D.对于空间中的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc
题组二 空间向量基本定理的应用
3.(2024辽宁大连第八中学月考)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,若BE=xAA1+yAB+zAD,则( )
A.x=1,y=12,z=−12
B.x=1,y=-12,z=12
C.x=12,y=1,z=−12
D.x=-12,y=1,z=12
4.(2024广东惠来第一中学第一次阶段考试)O为空间任意一点,若AP=−14OA+18OB+tOC,A,B,C,P四点共面,则t=( )
A.1 B.12 C.18 D.14
5.(多选题)(2023辽宁沈阳十中月考)如图所示,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且|AP|=3|PN|,ON=23OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列等式成立的是( )
A.OM=12b−12c B.AN=13b+13c-a
C.AP=14b−14c−34a D.OP=14a+14b+14c
6.(2022福建厦门国祺中学期中)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:BD∥平面EFGH;
(2)求证:E,F,G,H四点共面;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任意一点O,有OM=14(OA+OB+OC+OD).
答案与分层梯度式解析
§3 空间向量基本定理及空间
向量运算的坐标表示
3.1 空间向量基本定理
基础过关练
1.AC 如图所示,
对于A,AA1,AB,AC不共面,能构成空间向量的一组基,故A正确;
对于B,BD=BA+BC,所以BA,BC,BD共面,不能构成空间向量的一组基,故B错误;
对于C,AC1,BD1,CB1不共面,能构成空间向量的一组基,故C正确;
对于D,BA1+AC=(BA+AA1)+(AB+BC)=AA1+BC=AA1+AD=AD1,所以AD1,BA1,AC共面,不能构成空间向量的一组基,故D错误.
故选AC.
2.AC 因为a,b,c都是非零向量,所以当a∥b且b∥c时,一定有a∥c,故A正确;
易知B错误;
若a,b,c是空间向量的一组基,则a+b,b+c,c+a不共面,也可以构成空间向量的一组基,故C正确;
对于空间中的任意一个向量p,总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc,当且仅当a,b,c不共面时成立,故D错误.故选AC.
3.B 由题意得,BE=A1E−A1B=12A1C1−A1B=12(A1B1+B1C1)−(AB−AA1)=12(AB+AD)−(AB−AA1)=AA1−12AB+12AD,
因为BE=xAA1+yAB+zAD,所以x=1,y=-12,z=12.
故选B.
4.C 若A,B,C,P四点共面,则存在有序实数对(x,y),使AP=xAB+yAC,所以AP=xOB−xOA+yOC−yOA,整理,得AP=−(x+y)OA+xOB+yOC,
又AP=−14OA+18OB+tOC,
所以-(x+y)=-14,x=18, y=t,解得x=18,y=18,t=18,故选C.
5.BD 对于A,利用向量加法的运算法则,得OM=12OB+12OC=12b+12c,A错误;
对于B,利用向量减法的运算法则,得AN=ON−OA=23OM−OA=13b+13c-a,B正确;
对于C,因为|AP|=3|PN|,所以AP=34AN=3413b+13c-a=14b+14c-34a,C错误;
对于D,OP=OA+AP=a+14b+14c-34a=14a+14b+14c,D正确.故选BD.
6.证明 (1)∵E,H分别是AB,DA的中点,即EH为△ABD的中位线,∴EH∥BD,
又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH.
(2)连接BG,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,
由平面向量基本定理,知E,F,G,H四点共面.
(3)易知EH=12BD,FG=12BD,
∴EH=FG,因此四边形EFGH是平行四边形,
∴M为EG,FH的中点.
在空间中任取一点O,连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如图所示:
则OM=12(OE+OG)=12OE+12OG,
OE=12(OA+OB),OG=12(OC+OD),
∴OM=12×12(OA+OB)+12×12(OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).