北师大版高中数学选择性必修第一册第3章空间向量与立体几何3-2空间向量运算的坐标表示及应用练习含答案

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3.2　空间向量运算的坐标表示及应用基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　空间向量运算的坐标表示1.若向量a,b满足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),则a·b等于(　　)A.-1　　　　　　B.-5C.5　　　　　　 D.72.已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在a方向上的投影向量为(　　)A.-29,-49,-49B.29,49,49C.-23,13,13D.23,-13,-133.(2022安徽无为华星学校月考)已知{a,b,c}是空间向量的一组基,{a,b+c,b-c}是空间向量的另一组基,若向量ρ在基{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),则向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(　　)A.(2,-1,-2)　　　　　　B.(2,-1,2)C.(2,1,-2)　　　　　　 D.(2,1,2)4.(2023山西大学附属中学校月考)以下四组向量在同一平面内的是(　　)A.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)B.(3,0,0),(1,1,2),(2,2,4)C.(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1)D.(1,0,0),(0,0,2),(0,3,0)5.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为　　　　. 6.(2024山东临清实验中学月考)已知直线l经过A(-2,1,1),B(1,0,-3)两点,直线l上有一点P,使得AP=−AB,则点P的坐标为　　　　. 题组二　空间向量的平行与垂直7.(2022安徽芜湖一中月考)已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,则λ和μ的值分别为(　　)A.15,12　　　　　　B.5,2C.-15,12　　　　　 D.-5,-28.已知a=(1,5,-2),b=(m,2,m+1),若a⊥b,则m的值为(　　)A.-6　　　　　　B.-8C.6　　　　　　 D.89.(2023广东广州玉岩中学期中)已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a-2b互相平行,则k=(　　)A.-114　　　　　　B.15C.35　　　　　　 D.-1210.(2024福建福州八县(市)协作校期中联考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,若棱AD上存在点M,使得B1M⊥MC,则AB长度的取值范围是(　　)A.0,14　　　　　　B.14,1C.0,12　　　　　　D.12,111.(2024浙江余姚中学期中)点A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若点D在线段AB上,且满足CD⊥AB,则点D的坐标为　　　　. 12.(2024广东东莞第一中学期中)已知BA=(−1,−2,2),BC=(−2,2,1),AC=(-1,4,-1),设a=BA,b=BC,c=AC.(1)证明:△ABC是直角三角形;(2)若(-2a+kb)∥c,求k的值.题组三　空间向量的长度和夹角13.(2023湖南长沙中南博才高级中学月考)若a=(3x,-5,4)与b=(x,2x,-2)(x≠0)的夹角为钝角,则x的取值不可能为(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.414.(2023河南洛阳一高月考)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是(　　)A.23　　　B.33　　　C.23　　　D.5315.(2024辽宁辽东教学共同体联考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是线段AD,BC上的动点,且AE=BF,AC与EF交于点G,EF在AB与CD之间滑动,但与AB和CD均不重合.现将四边形EFCD沿直线EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,在EF从AB滑动到CD的过程中,∠AGC的大小(　　)A.先变小后变大　　　　　B.先变大后变小C.不发生变化　　　　　　D.由小变大16.已知点A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).(1)若D为线段BC的中点,求线段AD的长;(2)若AD=(2,a,1),且AB·AD=1,求a的值,并求此时向量AB与AD夹角的余弦值.17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,O,O1分别是AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求正三棱柱的侧棱长;(2)求异面直线AB1与BC夹角的余弦值.答案与分层梯度式解析3.2　空间向量运算的坐标表示及应用基础过关练1.B　由已知得,a=12[(a+b)+(a-b)]=12[(-2,-1,2)+(4,-3,-2)]=(1,-2,0),b=12[(a+b)-(a-b)]=12[(-2,-1,2)-(4,-3,-2)]=(-3,1,2),∴a·b=1×(-3)-2×1+0=-5.故选B.2.B　∵a=(1,2,2),b=(-2,1,1),∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2,向量a方向上的单位向量e=a|a|=13,23,23,∴向量b在a方向上的投影向量为a·b|a|e=212+22+22·13,23,23=29,49,49.故选B.3.D　因为向量ρ在基{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),所以ρ=2a+3b-c.设向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(x,y,z),则ρ=xa+y(b+c)+z(b-c)=xa+(y+z)b+(y-z)c,所以x=2,y+z=3,y-z=-1,解得x=2,y=1,所以向量ρz=2.在基{a,b+c,b-c}下的坐标是(2,1,2).故选D.4.B　对于A,设(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1),则n=1,m=1,m+n=0,无解,故A中三个向量不共面;对于B,因为(2,2,4)=0(3,0,0)+2(1,1,2),故B中三个向量共面;对于C,设(1,2,3)=p(1,3,2)+q(2,3,1),则p+2q=1,3p+3q=2,2p+q=3,无解,故C中三个向量不共面;对于D,设(1,0,0)=a(0,0,2)+b(0,3,0),则0=1,3b=0,2a=0,无解,故D中三个向量不共面.故选B.5.答案　5解析　因为b=(2,0,3),c=(0,2,2),所以b+c=(2,2,5),又因为a=(2,3,-1),所以a·(b+c)=2×2+3×2+(-1)×5=5.6.答案　(-5,2,5)解析　设P(x,y,z),则AP=(x+2,y-1,z-1),又AB=(3,−1,−4),AP=−AB,∴(x+2,y-1,z-1)=-(3,-1,-4)=(-3,1,4),∴x+2=-3,y-1=1,z-1=4,解得x=-5,y=2,z=5,∴点P的坐标为(-5,2,5).7.A　因为a∥b,所以b=ma(m∈R),即6=m(λ+1),2μ-1=m×0,2=m×2λ,解得m=5,λ=15,μ=12,故选A.8.D　因为a⊥b,所以a·b=0,即m+10-2(m+1)=0,解得m=8,故选D.9.D　ka+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4),因为ka+b与a-2b互相平行,所以-k+1-3=k1=2-4,解得k=-12,故选D.10.C　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AM=x(0≤x≤1),AB=a(a>0),则M(0,x,0),B1(a,0,1),C(a,1,0),所以B1M=(−a,x,−1),MC=(a,1-x,0),因为B1M⊥MC,所以B1M⊥MC,所以B1M·MC=-a2+x(1-x)=0,即a=-x2+x=-x-122+14,当0≤x≤1,a>0时,a∈0,12,所以AB长度的取值范围是0,12,故选C.11.答案　73,83,53解析　设点D的坐标为(x,y,z),则CD=(x−1,y−4,z−3),AB=(2,1,1),AD=(x-1,y-2,z-1),因为点D在线段AB上,且满足CD⊥AB,所以CD⊥AB,AD∥AB,即2(x-1)+(y-4)+(z-3)=0,x-12=y-21=z-11,解得x=73,y=83,z=53,所以点D的坐标为73,83,53.12.解析　(1)证明:∵BA=(−1,−2,2),BC=(-2,2,1),∴BA·BC=(-1,-2,2)·(-2,2,1)=(-1)×(-2)+(-2)×2+2×1=0,∴BA⊥BC,即BA⊥BC,∴△ABC是直角三角形.(2)∵-2a+kb=(2-2k,4+2k,k-4),(-2a+kb)∥c,∴2-2k-1=4+2k4=-4+k-1,解得k=2.13.D　由题意得a·b=3x2-10x-8<0,解得-23=AB·AD|AB||AD|=16×6=16,即向量AB与AD夹角的余弦值为16.17.解析　(1)设正三棱柱的侧棱长为h.由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B1(3,0,h),C1(0,1,h),则AB1=(3,1,h),BC1=(−3,1,h).因为AB1⊥BC1,所以AB1·BC1=-3+1+h2=0,所以h=2(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为2.(2)由(1)可知AB1=(3,1,2),BC=(−3,1,0),所以AB1·BC=−3+1=−2,|AB1|=6,|BC|=2,所以cos=-26×2=−66.所以异面直线AB1与BC夹角的余弦值为66.