北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系集体备课课件ppt

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1.点到平面的距离点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ,在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=| ·n0|. 
2.点到直线的距离若点P是直线l外一点,l0是直线l的单位方向向量,点A是直线l上任意一点,则点P到直线l的距离为d= . 
知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.直线与平面的夹角α和该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余. (　    ) 2.若一条直线在某一平面外,则该直线上任一点到平面的距离d必为一个正数.(　    ) 3.与平面相交的斜线与该平面的夹角是锐角. (　    )4.若两个平面的法向量分别为n1,n2,则这两个平面的夹角与两个法向量的夹角一定相 等. (　    )
当直线的方向向量与平面的法向量的夹角β是锐角时,直线与平面的夹角α和β互余.
直线在平面外包含直线与平面相交的情况.当直线与平面相交时,该说法不成立.
也可能互补.
5.设n是平面α的法向量,AB是平面α的一条斜线,则点B到平面α的距离d= . (　    )
当点A在平面内,点B在平面外时结论才正确.
1.两异面直线的夹角的向量求法(1)在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基的方法.在由公式cs=  求向量a与b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用一组基表示出来,再求有关的量.(2)用坐标法求异面直线的夹角:①建立恰当的空间直角坐标系;②找到两条异面直线的方向向量并写出其坐标形式;③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角;④结合异面直线的夹角的范围得到异面直线的夹角.
2.求直线与平面的夹角的方法与步骤　　方法一:求出直线在平面内的投影的方向向量,将直线与平面的夹角转化为两向量的夹 角进行计算.　　方法二:利用平面的法向量求直线与平面的夹角,基本步骤:(1)建立空间直角坐标系;(2)求直线的方向向量 ;(3)求平面的法向量n;(4)计算:设直线与平面的夹角为θ,则sin θ= .3.两个平面夹角的向量求法设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角.坐标法
的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系;(2)求法向量:在建立的坐标系中求两个平面的法向量n1,n2;(3)计算:设两个平面的夹角为θ,则|cs θ|= .
典例 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AB=AP,E为棱PB的中 点. (1)求直线PD与CE的夹角的余弦值;(2)求直线CD与平面ACE的夹角的正弦值;(3)求二面角E-AC-P的平面角的余弦值.
1.点面距的求解方法(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面 的距离.　　平行于平面的直线到该平面的距离、相互平行的两个平面间的距离,都可以转化为点到 平面的距离.
2.用向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然后求出向量的模,这是求各种距离的通法.(2)直接套用点到直线的距离公式求解.　　注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
典例 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,M,N分别是A1B1,AC的中点.(1)求点B到直线A1C1的距离;(2)求点B1到平面C1MN的距离.
(1)对于存在探究型问题,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列出方程或方程组,把 “是否存在”转化为“是否有规定范围内的解”等.(2)对于位置探究型问题,通常是借助向量,引入参数,综合条件和结论列方程或方程组,解出参 数,从而确定位置.
典例 如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为平行四边形,DD'=CD=4,AD=2,∠BAD= ,且D'在底面上的投影H恰为CD的中点. (1)过D'H作与BC垂直的平面α,交棱BC于点N,试确定点N的位置,并说明理由;(2)在线段D'C'上是否存在点P,使二面角P-BH-A的平面角为 ?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.