北师大版高中数学选择性必修第一册第3章空间向量与立体几何第1课时空间中的角练习含答案

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4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时　空间中的角基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　两条直线的夹角1.(2022安徽合肥瑶海月考)已知两条异面直线的方向向量分别是μ=(3,1,-2),v=(3,2,1),则这两条异面直线的夹角θ满足(　　)A.sin θ=914　　　　　　B.sin θ=14C.cos θ=914　　　　　　D.cos θ=142.(2023河南濮阳南乐第一高级中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,AD=4,E为PC的中点,则异面直线PD与BE夹角的余弦值为　　(　　)A.35　　　B.3010　　　C.1010　　　D.310103.(2024东北师范大学附属中学质量监测)已知动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1(不含端点)上,设D1PD1B=λ,若∠APC为钝角,则实数λ的取值范围是(　　)A.0,13　　　　　　B.0,12C.13,1　　　　　　D.12,14.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2.(1)求证:A1C⊥BC;(2)求直线AC1和A1B1夹角的大小.题组二　直线与平面的夹角5.(2024河北保定六校联考期中)若直线l的一个方向向量是m=(1,0,1),平面α的一个法向量是n=(-3,1,3),则直线l与平面α的夹角为(　　)A.0°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB,A1D1的中点分别为E,F,则直线EF与平面AA1D1D夹角的正弦值为(　　)A.306　　　B.255　　　C.66　　　D.557.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=2,PA=4,则直线PA与平面DEF夹角的正弦值为(　　)A.15　　　B.255　　　C.55　　　D.258.(2024上海中学期中)在正三棱柱ABC-A'B'C'中,AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'夹角的正弦值为　　　　. 题组三　平面与平面的夹角9.(2024山东济南月考)已知两个平面的法向量分别为m=(0,1,1),n=(1,-1,0),则这两个平面的夹角为(　　)A.30°　　　　　　B.60°C.60°或120°　　 D.120°10.(2024北京师范大学良乡附属中学月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ACD所成的锐二面角的余弦值为(　　)A.23　　　B.13　　　C.63　　　D.3311.(2023辽宁沈阳第一二〇中学第一次质检)在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和点(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与xOy平面的夹角为45°,则a=　　　　. 12.(2023山东青岛第十九中学期中)《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究成果比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则二面角A-PC-B的余弦值为　　　　. 13.(2024广东华南师范大学附属中学期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AC=A1C=2,平面ACC1A1⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)求证:A1C⊥AB;(2)若BC=3,求二面角C-A1B-B1的正弦值.能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　两条直线的夹角1.(2023山东聊城莘县第一中学月考)在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被两条半径截得的部分).现有一个如图所示的曲池,它的高为2,AA1,BB1,CC1,DD1均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90°,则异面直线AB1与CD1夹角的余弦值为(　　)A.45　　　B.35　　　C.34　　　D.232.(2023辽宁沈阳第十中学月考)在矩形ABCD中,O为BD的中点且AD=2AB,将△ABD沿对角线BD翻折,使二面角A-BD-C的大小为90°,则直线AO与CD夹角的余弦值为(　　)A.55　　　B.54　　　C.3525　　　D.42253.已知四棱锥P-ABCD,底面是边长为2的正方形,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,AB⊥平面PAD,E是线段PD上的动点(不含端点).若线段AB上存在点F(不含端点),使得异面直线PA与EF的夹角为30°,则线段PE的长的取值范围是(　　)A.0,22　　　　　　B.0,63C.22,2　　　　　 D.63,2题组二　直线与平面的夹角4.(2024广东东莞中学第一次段考)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AA1=4,P是侧面BCC1B1内的动点,且AP⊥BD1,记AP与平面BCC1B1的夹角为θ,则tan θ的最大值为(　　)A.43　　　B.53　　　C.54　　　D.815155.如图1,在等腰三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=2,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A'-BCDE.若A'O⊥平面BCDE,则直线A'D与平面A'BC夹角的正弦值等于(　　)A.23　　　B.33　　　C.22　　　D.246.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足 A1P=λA1B1,当直线PN与平面ABC的夹角最大时,λ的值为(　　)A.12　　　B.22　　　C.32　　　D.2557.(2024辽宁协作校期中)如图1,故宫太和殿是中国形制最高的宫殿,其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式,庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式,由一条正脊和四条垂脊组成,因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡,故又称四阿顶.如图2,五面体EFABCD的底面ABCD为矩形,AB=2EF=8,AD=6,EF∥AB,EA=ED=FB=FC=5,M,N分别是AD,BC的中点,则直线BF与平面EFCD夹角的正弦值为(　　)　　　A.23　　　B.63　　　C.12735　　　D.1010题组三　平面与平面的夹角8.(2024陕西咸阳实验中学月考)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将其沿对角线AC折叠到平面B'AC之后,使得平面B'AC⊥平面ACD(如图),则平面B'CD与平面ACD夹角的正弦值为　　　　. 9.如图所示,四边形AEFB为矩形,AE⊥平面ABCD,BC∥AD,BA⊥AD,AE=AD=2AB=2BC=4.(1)求证:CF∥平面ADE;(2)求平面CDF与平面AEFB的夹角的余弦值.10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=AC=AA1,AB⊥AC,P为线段BC1上一点.(1)若BP=PC1,求PC与AA1夹角的余弦值;(2)若BP=2PC1,求PC与平面ABB1A1的夹角;(3)若平面A1ACC1与平面ACP的夹角为45°,求BPPC1的值.答案与分层梯度式解析4.3　用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时　空间中的角基础过关练1.C　由已知得μ·ν=3×3+1×2+(-2)×1=9,|μ|=32+12+(-2)2=14,|ν|=32+22+12=14,所以cos θ=|cos|=|μ·ν||μ||ν|=914.故选C.2.B　以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示:则B(2,0,0),E(1,2,1),P(0,0,2),D(0,4,0),∴BE=(−1,2,1),PD=(0,4,-2),设异面直线PD与BE的夹角为θ,则cos θ=|PD·BE||PD||BE|=625×6=3010.故选B.3.C　建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),设P(x,y,z),x,y,z∈(0,1).因为D1PD1B=λ,所以D1P=λD1B,即(x,y,z-1)=λ(1,1,-1),故P(λ,λ,1-λ),则AP·CP=(λ-1,λ,1-λ)·(λ,λ-1,1-λ)=3λ2-4λ+1