北师大版高中数学选择性必修第一册第3章空间向量与立体几何第2课时空间中的距离问题练习含答案

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第2课时　空间中的距离问题基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　 题组一　点到平面的距离1.(2023广东惠州龙门高级中学月考)已知向量n=(2,0,1)为平面α的一个法向量,点A(-1,2,1)在平面α内,则点P(1,2,2)到平面α的距离为(　　)A.55　　　B.5　　　C.25　　　D.5102.(2023山东潍坊五县(市)期中)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N分别是A1B1,AD,CC1的中点,则直线AC到平面EMN的距离为(　　)A.0　　　B.33　　　C.32　　　D.33.(2023山东枣庄月考)在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,A2+B2+C2≠0),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2,则在底面边长与高都为2的正四棱锥中,底面中心O到侧面的距离等于　　　　　. 4.(2024河北示范性高中期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,M,N分别为AP,BC的中点.(1)证明:直线MN∥平面PCD;(2)求点B到平面MND的距离.题组二　点到直线的距离5.(2023河南商丘名校联盟期中联考)已知直线l过定点A(2,3,1),且直线l的一个方向向量为s=(0,1,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　)A.322　　　B.22　　　C.102　　　D.26.(2024安徽六安新安中学期中)如图,几何体ABCD-EFGH是棱长为6的正方体,若AP=16AB+13AD+56AE,则点P到直线CH的距离为(　　)A.4　　　B.3　　　C.2　　　D.17.(2024四川凉山彝族自治州安宁河联盟期中)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=(0,2,−3),AC=(2,0,3),AA1=(−2,0,3),则该三棱柱的体积为(　　)A.23　　　B.3　　　C.4　　　D.43答案与分层梯度式解析第2课时　空间中的距离问题基础过关练1.B　因为A(-1,2,1),P(1,2,2),所以PA=(-2,0,-1),因为平面α的一个法向量为n=(2,0,1),所以点P到平面α的距离d=|PA·n||n|=|-4-1|5=5.故选B.2.B　如图所示,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(1,0,0),N(0,2,1),所以ME=(1,1,2),MN=(−1,2,1),AC=(-2,2,0),设平面EMN的一个法向量为m=(x,y,z),则m·ME=x+y+2z=0,m·MN=-x+2y+z=0,令x=1,可得m=(1,1,-1),所以AC·m=0,即AC⊥m,又AC⊄平面EMN,所以AC∥平面EMN,故点A到平面EMN的距离即为直线AC到平面EMN的距离,又MA=(1,0,0),所以点A到平面EMN的距离为MA·m|m|=13=33,即直线AC到平面EMN的距离为33.故选B.3.答案　255解析　如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2),设平面PAB的方程为ax+by+cz+d=0,则a+b+d=0,-a+b+d=0,2c+d=0,∴a=0,b=-d,c=-d2,则平面PAB的方程为-dy-d2z+d=0,即2y+z-2=0,∴底面中心O到侧面的距离为|2×0+0-2|4+1=255.4.解析　(1)证明:取PD的中点Q,连接MQ,CQ,如图1,∵M,Q分别为PA,PD的中点,∴MQ∥AD,MQ=12AD=1,又底面ABCD为正方形,N为BC的中点,∴NC∥AD,NC=12AD=1,∴MQ∥NC,MQ=NC,∴四边形MQCN为平行四边形,∴MN∥CQ,∵MN⊄平面PCD,CQ⊂平面PCD,∴直线MN∥平面PCD.(2)∵底面ABCD为正方形,且PA⊥底面ABCD,∴AB,AD,AP两两互相垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图2,则M(0,0,1),B(2,0,0),D(0,2,0),N(2,1,0),∴MD=(0,2,−1),DN=(2,−1,0),BN=(0,1,0),设平面MND的一个法向量为n=(x,y,z),则n·MD=0,n·DN=0,即2y-z=0,2x-y=0,令x=1,得n=(1,2,4),∴点B到平面MND的距离d=|BN·n||n|=221=22121.5.A　因为A(2,3,1),P(4,3,2),所以AP=(2,0,1),则|AP|=5,AP·s|s|=22,所以点P到直线l的距离d=|AP|2-AP·s|s|2=322,故选A.6.A　如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(6,6,0),H(0,6,6),B(6,0,0),D(0,6,0),E(0,0,6),所以AB=(6,0,0),AD=(0,6,0),AE=(0,0,6),CH=(-6,0,6),因为AP=16AB+13AD+56AE=(1,2,5),所以P(1,2,5),所以CP=(-5,-4,5),所以CP在CH方向上的投影向量的长度为CH·CP|CH|=6062=52,所以点P到直线CH的距离为|CP|2-(52)2=66-50=16=4.故选A.7.D　设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则n·AB=2y-3z=0,n·AC=2x+3z=0,令z=2,得y=3,x=-3,所以n=(-3,3,2),故点A1到平面ABC的距离d=AA1·n|n|=434=3,点C到直线AB的距离h=|AC|2-AC·AB|AB|2=7-2713=81313,又|AB|=13,所以△ABC的面积S=12×13×81313=4,故三棱柱的体积V=4×3=43.故选D.