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北师大版高中数学选择性必修第一册第3章空间向量与立体几何4-1 4-2 课件
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这是一份北师大版高中数学选择性必修第一册第3章空间向量与立体几何4-1 4-2 课件，共22页。
§４ 向量在立体几何中的应用4.1 直线的方向向量与平面的法向量4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系2.平面的法向量 如图,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量, 则n⊥α. 设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P, 必有 ·n=0.反过来,满足此式的点P都在平面α内,所以把此式称为平面α的一个向量表示式. 三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也 和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线 在这个平面内的投影垂直.知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. ( ) 2.一个平面的法向量有无数个,任意两个都是共线向量.( )3.要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量垂直即可. ( ) 4.要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.( ) 5.若直线a是平面α外的一条直线,直线b垂直于直线a在平面α内的投影,则a⊥b. ( ) ✕✕✕✕√ 此命题成立的前提条件是k≠0. 要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量平行即可. 要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可. 若直线b不在平面α内,则命题不成立.平面法向量的确定的两种常用方法(1)若几何体中已经给出有向线段,则只需证明线面垂直;(2)若几何体中没有具体的直线,则此时可以采用待定系数法求解平面的法向量. 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求 解,一般步骤:讲解分析 提醒 (1)求平面的法向量n=(x,y,z)时,一般将x,y,z中的一个视为“已知数”,表示出另外两个, 再令这个“已知数”为1(或其他非零常数),即可求得n.(2)从简化运算的角度出发,应尽量避免法向量的坐标中含有分数.(3)(0,0,0)不能作为平面的一个法向量,当x=y=z时,不能给其中一个赋值为0.典例 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,|AB| =|AA1|= ,建立空间直角坐标系,则平面OCB1的一个法向量的坐标为 . (1,0,-1)(答案不唯一)取x=1,得y=0,z=-1,∴n=(1,0,-1),∴平面OCB1的一个法向量为n=(1,0,-1).(答案不唯一)1.证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2.证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;(2)在平面内找一个直线的方向向量的共线向量;(3)利用平面向量基本定理,即证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线的向量线性表 示.3.证明面面平行的方法(1)证明两个平面的法向量平行;(2)转化为线面平行、线线平行来证明.讲解分析典例 如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA= AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:(1)PB∥平面EFG;(2)平面EFG∥平面PBC. 证明 因为△PAD是直角三角形,所以PA⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,所以平面EFG∥平面PBC.1.基向量法(1)取三个不共面的已知向量(通常已知它们的模及两两之间的夹角)为空间向量的一组基;(2)把两直线的方向向量用基表示;(3)利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.2.坐标法(1)根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确写出各点的坐标;(2)根据各点坐标求出两直线方向向量的坐标;(3)计算出两直线方向向量的数量积为0;(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.讲解分析典例 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,CC1=2,D,E分别是线段AC, CC1的中点,C1在平面ABC内的射影为D.求证:A1C⊥平面BDE. 证明 证法一:连接C1D,∵C1在平面ABC内的射影为D,∴C1D⊥平面ABC,又BD,AC⊂平面ABC,∴C1D⊥BD,C1D⊥AC,∵△ABC为等边三角形,D为AC的中点,∴BD⊥AC,故AC,BD,C1D两两垂直.
§４ 向量在立体几何中的应用4.1 直线的方向向量与平面的法向量4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系2.平面的法向量 如图,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量, 则n⊥α. 设点M是平面α内给定的一点,向量n是平面α的一个法向量,那么对于平面α内任意一点P, 必有 ·n=0.反过来,满足此式的点P都在平面α内,所以把此式称为平面α的一个向量表示式. 三垂线定理:若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也 和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理:若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线 在这个平面内的投影垂直.知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量. ( ) 2.一个平面的法向量有无数个,任意两个都是共线向量.( )3.要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量垂直即可. ( ) 4.要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可.( ) 5.若直线a是平面α外的一条直线,直线b垂直于直线a在平面α内的投影,则a⊥b. ( ) ✕✕✕✕√ 此命题成立的前提条件是k≠0. 要证明两平面平行,只需证明两平面的法向量平行即可. 要证明直线与平面垂直,只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可. 若直线b不在平面α内,则命题不成立.平面法向量的确定的两种常用方法(1)若几何体中已经给出有向线段,则只需证明线面垂直;(2)若几何体中没有具体的直线,则此时可以采用待定系数法求解平面的法向量. 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求 解,一般步骤:讲解分析 提醒 (1)求平面的法向量n=(x,y,z)时,一般将x,y,z中的一个视为“已知数”,表示出另外两个, 再令这个“已知数”为1(或其他非零常数),即可求得n.(2)从简化运算的角度出发,应尽量避免法向量的坐标中含有分数.(3)(0,0,0)不能作为平面的一个法向量,当x=y=z时,不能给其中一个赋值为0.典例 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,|AB| =|AA1|= ,建立空间直角坐标系,则平面OCB1的一个法向量的坐标为 . (1,0,-1)(答案不唯一)取x=1,得y=0,z=-1,∴n=(1,0,-1),∴平面OCB1的一个法向量为n=(1,0,-1).(答案不唯一)1.证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.2.证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;(2)在平面内找一个直线的方向向量的共线向量;(3)利用平面向量基本定理,即证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线的向量线性表 示.3.证明面面平行的方法(1)证明两个平面的法向量平行;(2)转化为线面平行、线线平行来证明.讲解分析典例 如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA= AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点.求证:(1)PB∥平面EFG;(2)平面EFG∥平面PBC. 证明 因为△PAD是直角三角形,所以PA⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,所以平面EFG∥平面PBC.1.基向量法(1)取三个不共面的已知向量(通常已知它们的模及两两之间的夹角)为空间向量的一组基;(2)把两直线的方向向量用基表示;(3)利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.2.坐标法(1)根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确写出各点的坐标;(2)根据各点坐标求出两直线方向向量的坐标;(3)计算出两直线方向向量的数量积为0;(4)由方向向量垂直得到两直线垂直.讲解分析典例 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的等边三角形,CC1=2,D,E分别是线段AC, CC1的中点,C1在平面ABC内的射影为D.求证:A1C⊥平面BDE. 证明 证法一:连接C1D,∵C1在平面ABC内的射影为D,∴C1D⊥平面ABC,又BD,AC⊂平面ABC,∴C1D⊥BD,C1D⊥AC,∵△ABC为等边三角形,D为AC的中点,∴BD⊥AC,故AC,BD,C1D两两垂直.
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