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北师大版高中数学选择性必修第一册第5章计数原理2排列问题课件
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这是一份北师大版高中数学选择性必修第一册第5章计数原理2排列问题课件，共13页。
§2 排列问题1.从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]种,所 以 =n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].这个公式叫作排列数公式.2.当m=n时, =n(n-1)(n-2)·…·2·1,记作n!,读作:n的阶乘.3.阶乘的相关结论(1)规定: =1,0!=1.(2)排列数公式的另一种形式: = (m≤n,且m,n∈N+).知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的. ( ) 2.(n+1)!-n!=n·n!. ( ) 3.4×5×6×…×(n-1)×n= ,其中n≥4,n∈N. ( )4.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法可列式为 - . ( ) ✕√√√ 组成两个排列的元素的排列顺序不相同时,这两个排列是不相同的. (n+1)!-n!=(n+1)·n!-n!=n·n!.1.“在”与“不在”的问题 解决“在”与“不在”的问题,常用的方法有特殊位置分析法、特殊元素分析法.若以 位置为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若有两个及两个以上的约束条件,则 在考虑一个约束条件的同时也要兼顾其他条件;若以元素为主,则需先满足特殊元素的要求, 再处理其他元素.当直接求解困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列 总数,再减去不符合要求的排列数.2.“相邻”与“不相邻”问题(1)“捆绑法”解决相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法种数的方法如讲解分析下:①将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;②把这个整体当成一个元素与其他元素一 起排列,有 种排法;③“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,其排列方法有 种;④由分步乘法计数原理知,符合条件的排法有 种.(2)“插空法”解决不相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k 个元素互不相邻,求不同排法种数的方法如下:①将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排,其排列方法有 种;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素,其排列方法有 种;③根据分步乘法计数原理知,符合条件的排法有 种.(3)“定序”问题 在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素 的顺序固定,则满足题意的排法有 种.典例 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人,女学生2人.分别求满足下列情况的 不同站法的种数.(1)老师必须站在中间或两端;(2)2名女学生必须相邻而站;(3)4名男学生互不相邻;(4)若4名男学生身高都不等,按从高到低的顺序站. 数字排列问题的本质是“元素”占“位置”,有限制条件的排列问题的限制条件主要表 现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类排列问题的主要方法是按 照“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置,若一个位置安排的元素影响另一 个位置的元素个数,则应分类讨论. 含有数字“0”的排列问题中,有些隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将其视为有 限制条件的元素优先进行排列.若在一个题目中,除了数字“0”以外还有其他受限制的数字, 则应考虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择,若有影响,则应分 类讨论.讲解分析典例 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:(1)无重复数字且个位数字不是5的六位数?(2)无重复数字且比1 325大的四位数?(3)无重复数字的六位数?若这些六位数按从小到大的顺序排成一列,则240 135是该列数的第 几项?
§2 排列问题1.从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]种,所 以 =n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].这个公式叫作排列数公式.2.当m=n时, =n(n-1)(n-2)·…·2·1,记作n!,读作:n的阶乘.3.阶乘的相关结论(1)规定: =1,0!=1.(2)排列数公式的另一种形式: = (m≤n,且m,n∈N+).知识辨析判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的. ( ) 2.(n+1)!-n!=n·n!. ( ) 3.4×5×6×…×(n-1)×n= ,其中n≥4,n∈N. ( )4.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法可列式为 - . ( ) ✕√√√ 组成两个排列的元素的排列顺序不相同时,这两个排列是不相同的. (n+1)!-n!=(n+1)·n!-n!=n·n!.1.“在”与“不在”的问题 解决“在”与“不在”的问题,常用的方法有特殊位置分析法、特殊元素分析法.若以 位置为主,则需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置,若有两个及两个以上的约束条件,则 在考虑一个约束条件的同时也要兼顾其他条件;若以元素为主,则需先满足特殊元素的要求, 再处理其他元素.当直接求解困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列 总数,再减去不符合要求的排列数.2.“相邻”与“不相邻”问题(1)“捆绑法”解决相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k(k≤n)个元素排在相邻的位置上,求不同排法种数的方法如讲解分析下:①将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;②把这个整体当成一个元素与其他元素一 起排列,有 种排法;③“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,其排列方法有 种;④由分步乘法计数原理知,符合条件的排法有 种.(2)“插空法”解决不相邻问题 将n个不同的元素排成一列,其中k 个元素互不相邻,求不同排法种数的方法如下:①将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排,其排列方法有 种;②将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素,其排列方法有 种;③根据分步乘法计数原理知,符合条件的排法有 种.(3)“定序”问题 在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺序.在具体的计算过程中,可采用“除阶乘法”解决,即n个元素的全排列中有m(m≤n)个元素 的顺序固定,则满足题意的排法有 种.典例 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男学生4人,女学生2人.分别求满足下列情况的 不同站法的种数.(1)老师必须站在中间或两端;(2)2名女学生必须相邻而站;(3)4名男学生互不相邻;(4)若4名男学生身高都不等,按从高到低的顺序站. 数字排列问题的本质是“元素”占“位置”,有限制条件的排列问题的限制条件主要表 现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素,解决该类排列问题的主要方法是按 照“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置,若一个位置安排的元素影响另一 个位置的元素个数,则应分类讨论. 含有数字“0”的排列问题中,有些隐含了数字“0”不能在首位的条件,应将其视为有 限制条件的元素优先进行排列.若在一个题目中,除了数字“0”以外还有其他受限制的数字, 则应考虑受限制的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择,若有影响,则应分 类讨论.讲解分析典例 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:(1)无重复数字且个位数字不是5的六位数?(2)无重复数字且比1 325大的四位数?(3)无重复数字的六位数?若这些六位数按从小到大的顺序排成一列,则240 135是该列数的第 几项?
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