北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理4 二项式定理4.1 二项式定理的推导练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理4 二项式定理4.1 二项式定理的推导练习题，共16页。试卷主要包含了1　二项式定理的推导，6的展开式中共有等内容，欢迎下载使用。
基础过关练
题组一 二项式定理的理解
1.(2022吉林通化期中)(a+b)6的展开式中共有( )
A.5项 B.6项 C.7项 D.8项
2.(2022安徽亳州第一中学期末)设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129 C.47 D.0
3.(2024河北东光等三县部分学校联考)若对∀x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,则a-b=( )
A.3 B.2 C.0 D.-1
4.用二项式定理展开1+1x4= .
题组二 求二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
5.(2024山东济南第一次模拟)x-1x12的展开式中,含x2项的系数是( )
A.-462 B.462 C.792 D.-792
6.(2024陕西宝鸡实验高级中学联考)若3x2-12x3n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的可能取值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(2022湖南株洲一模)在32x-1220的展开式中,系数是有理数的项共有( )
A.6项 B.5项 C.4项 D.3项
8.(2024重庆八中月考)x-13x6的展开式的第4项是 .
9.(2022河南一模)12x+2y6的展开式中x2y4的系数为 .
10.(2022江苏泰州期末)在下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并对其求解.条件①:前三项的二项式系数之和为16;条件②:第三项与第四项的二项式系数相等;条件③:所有项的系数之和为1 024.
问题:在(x23+3x2)n的展开式中, .
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
题组三 赋值法求系数和
11.(多选题)(2024浙江宁波模拟)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则下列说法正确的是( )
A.a0=1
B.a0+a12+a222+a323+a424+a525=0
C.a1+a2+a3+a4+a5=-1
D.a0+a2+a4=121
12.(2022天津西青阶段考试)设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
13.(2023四川崇州怀远中学开学考试)已知(2x+y)n的展开式中各项系数之和为243,则展开式中的第3项为 .
能力提升练
题组一 多项式展开式中的特定项及项的系数
1.(2023浙江金华第一中学领军班月考)(x-y)·(x+y)8的展开式中x3y6的系数为( )
A.28 B.-28
C.56 D.-56
2.(2024云南曲靖会泽实验高级中学月考)x+1x+18的展开式中的常数项为( )
A.588 B.589
C.798 D.799
3.(2023广东深圳大联考)下列各式中,不是(a2+2a-b)4的展开式中的项的是( )
A.8a7 B.6a4b2
C.-32a3b D.-24a3b2
4.(2024江苏南通如皋中学阶段考试)已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a= .
题组二 赋值法求与系数有关的问题
5.(2022四川成都第七中学模拟)已知1+ax2x-1x5的展开式中各项系数的和为2,则展开式中的常数项为( )
A.-80 B.-40
C.40 D.80
6.(2022广西钦州浦北期中)设(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10·(2x-1)10,则a1+a2+…+a10= .
7.(2024山东菏泽一中月考)若(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+
a2 023(x+1)2 023,且(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2=32 023,则实数m的值为 .
8.3x-4y+28的展开式中,不含x的各项系数之和为 .
9.已知An5=56Cn7,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求a12+a222+…+an2n的值.
题组三 二项式定理的应用
10.(2022吉林长春期末)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
(2022广东佛山南海中学月考)设n为奇数,那么11n+
Cn1·11n-1+Cn2·11n-2+…+Cnn-1·11-1除以13的余数是( )
A.-3 B.2 C.10 D.11
12.(2023江苏南京师范大学苏州实验学校月考)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m同余,记为a≡
b(md m).若a=C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320,a≡b(md 5),则b的值可以是( )
A.2 004 B.2 005 C.2 025 D.2 026
答案与分层梯度式解析
§4 二项式定理
4.1 二项式定理的推导
基础过关练
1.C (a+b)n的展开式的项数为n+1,题中n=6,所以共有6+1=7项.故选C.
2.A A-B=C70×37−C71×36+C72×35−C73×34+C74×33−C75×32+C76×31−C77×30=(3-1)7=27=128.
3.C 由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以a-b=0.
故选C.
4.答案 1+4x+6x2+4x3+1x4
解析 解法一:1+1x4=C401x0+C411x1+C42×1x2+C431x3+C441x4=1+4x+6x2+4x3+1x4.
解法二:1+1x4=1x4(x+1)4
=1x4(C40x4+C41x3+C42x2+C43x1+C44x0)
=1+4x+6x2+4x3+1x4.
D x-1x12的二项式通项为Tk+1=C12kx12−k(−1)kx−k=
(−1)kC12kx12-2k,k=0,1,2,…,12,令12-2k=2,解得k=5,
所以含x2项的系数是(-1)5C125=-792.故选D.
C 3x2-12x3n的二项式通项为Tr+1=Cnr(3x2)n-r·-12x3r=
Cnr·3n-r·-12r·x2n-5r,
因为3x2-12x3n的展开式中含有非零常数项,
所以存在n,r∈N+,使得2n=5r,
所以n=5r2,结合选项可知,当r=2时,n=5.
故选C.
C 32x-1220的二项式通项为Tr+1=C20r·(32x)20-r · -12r=
(-1)r·240-5r6·C20r·x20-r3(0≤r≤20,r∈N).
令k=40-5r6,只有当r=2,8,14,20时,k为整数.
故系数是有理数的项共有4项.故选C.
易错警示 解决二项展开式中的特定项问题时,要注意问题的形式,分清是项、项的系数,还是二项式系数,如本题的问题是“系数是有理数的项”,而不是“有理项”,系数是有理数的项指系数的指数为整数的项,有理项是该项字母的指数为整数的项.
8.答案 -20x2
解析 x-13x6的二项式通项为Tr+1=C6rx6−r-13xr=(−1)r×C6rx6-4r3,r=0,1,…,6,
则第4项是T4=(-1)3×C63x6-4×33=-20x2.
9.答案 60
解析 12x+2y6的二项式通项为Tr+1=C6r·12x6-r(2y)r=22r−6C6rx6-ryr.
令r=4,得T5=60x2y4.
故x2y4的系数为60.
10.解析 (1)选条件①:前三项的二项式系数之和为Cn0+Cn1+Cn2=16,即1+n+n(n-1)2=16,
化简得n2+n-30=0,解得n=5或n=-6(舍负),
故n=5.
选条件②:因为第三项与第四项的二项式系数相等,所以Cn2=Cn3,即n(n-1)2=n(n-1)(n-2)3×2×1,n≥3,n∈N,化简得1=n-23,解得n=5.
选条件③:令x=1,有4n=1 024,解得n=5.
(2)(x23+3x2)5的二项式通项为Tr+1=C5r(x23)5-r·(3x2)r=3rC5r·x10+4r3,
所以当r=2,5时为有理项,对应的项分别为T3=32C52x6=90x6,T6=35C55x10=243x10,
故展开式中的有理项为90x6与243x10.
11.ABD 对于A,取x=0,则a0=1,故A正确;
对于B,取x=12,则a0+a12+a222+a323+a424+a525=0,故B正确;
对于C,取x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,①
则a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故C错误;
对于D,取x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,②
①+②,得2(a0+a2+a4)=242,
所以a0+a2+a4=121,故D正确.故选ABD.
12.B 易得(1-3x)9的二项式通项为Tr+1=C9r(-3)rxr,∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
13.答案 80x3y2
解析 令x=y=1,得(2+1)n=243,解得n=5,即(2x+y)n=(2x+y)5,其二项式通项为Tk+1=C5k(2x)5−kyk=25−kC5kx5-kyk,则展开式中的第3项为T3=23C52x3y2=80x3y2.
能力提升练
1.B 由二项式定理得(x-y)(x+y)8=(x-y)(C80x8y0+C81x7y1+…+C88x0y8)
=x(C80x8y0+C81x7y1+…+C88x0y8)−y(C80x8y0+C81x7y1+…+C88x0y8)
=(C80x9y0+C81x8y1+…+C88x1y8)−(C80x8y1+C81x7y2+…+C88x0y9),
因此x3y6的系数为C86−C85=C82−C83=8×72×1−8×7×63×2×1=-28.故选B.
2.B 解法一:x+1x+18的二项式通项为Tr+1=C8r·x+1x8-r,r=0,1,…,8,
x+1x8-r的二项式通项为Tk+1=C8-rk(x)8-r-k·1xk=C8-rkx8-r-3k2,0≤k≤r,
令8-r-3k=0,可得r=8,k=0或r=5,k=1或r=2,k=2,所以展开式中的常数项为C88+C85×C31+C82×C62=589.
故选B.
解法二:因为x+1x+18的展开式中的项可以看成8个含有三个单项式x,1x,1中各取一个相乘而得,
若得到常数项,则有以下情况:①8个1;②2个x,1个1x,5个1;③4个x,2个1x,2个1.
所以展开式中的常数项为C88×18+C82×(x)2×C61×1x×C55×15+C84×(x)4×C42×1x2×C22×12=589.
故选B.
3.D (a2+2a-b)4表示4个因式a2+2a-b的乘积,在这4个因式中,有一个因式选2a,其余的3个因式选a2,所得的项为C41×2aC33×(a2)3=8a7,
所以8a7是(a2+2a-b)4的展开式中的项;
在这4个因式中,有2个因式选-b,其余的2个因式选a2,
所得的项为C42×(−b)2×C22×(a2)2=6a4b2,
所以6a4b2是(a2+2a-b)4的展开式中的项;
在这4个因式中,有1个因式选-b,剩下的3个因式选2a,
所得的项为C41×(−b)×C33(2a)3=-32a3b,
所以-32a3b是(a2+2a-b)4的展开式中的项;
在这4个因式中,有2个因式选-b,其余的2个因式中有一个因式选a2,剩下的一个因式选2a,
所得的项为C42×(−b)2×C21×a2×C11×(2a)=24a3b2,
所以-24a3b2不是(a2+2a-b)4的展开式中的项.
故选D.
4.答案 1
解析 (ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因为(x+1)4中含x2的项为C42x2,含x3的项为C41x3,
所以(ax-2)(x+1)4中含x3的项为axC42x2−2C41x3,
故aC42−2C41=-2,解得a=1.
5.D 令x=1,得展开式中各项系数的和为1+a,
∴1+a=2,∴a=1,
∴1+ax2x-1x5=1+1x2x-1x5
=2x-1x5+1x2x-1x5,
2x-1x5的二项式通项为Tr+1=(-1)r25-rC5rx5-2r,
令5-2r=1,得r=2;
令5-2r=0,无整数解,
所以展开式中的常数项为8C52=80,
故选D.
6.答案 512
解析 ∵(x2+1)(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,
∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a0+a1+a2+…+a10=29,令x=12,得14+1×4×12-28=a0=0,
∴a1+a2+…+a10=29-0=512.
7.答案 2或-2
解析 在(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023中,
令x=0,得(1+m)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023,
令x=-2,得(-1+m)2 023=a0-a1+a2-a3+…-a2 023,
所以(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2
=(a0-a1+a2-a3+…-a2 023)(a0+a1+a2+a3+…+a2 023)
=(-1+m)2 023(1+m)2 023=(m2-1)2 023=32 023,
所以m2-1=3,解得m=±2.
8.答案 256
解析 3x-4y+28=3x+(-4y+2)8的二项式通项为Tr+1=C8r3x8-r·(-4y+2)r,易知r=8时的项不含x,此时T8+1=C883x8-8·
(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各项系数之和为256.
9.解析 (1)易知n≥7,n∈N.∵An5=56Cn7,
∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
=56n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)7×6×5×4×3×2×1,
整理可得(n-5)(n-6)90=1,
即n2-11n-60=0,解得n=15或n=-4(舍去).
故n的值为15.
(2)由(1)得n=15,
∴(1-2x)n=(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15,
令x=0,可得a0=1,
令x=12,可得1-2×1215=a0+a12+a222+…+a15215=0,
∴a12+a222+…+a15215=-1.
10.B 1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-…-0.057≈27-C71×26×0.05+C72×25×0.052=107.28≈107.故选B.
11.C 11n+Cn1·11n-1+Cn2·11n-2+…+Cnn-1·11-1
=Cn0·11n+Cn1·11n-1+Cn2·11n-2+…+Cnn-1·11+Cnn-2
=(11+1)n-2=12n-2=(13-1)n-2=Cn0·13n-Cn1·13n-1+…+(-1)n-1·Cnn-1·13+
(-1)n·Cnn-2.
因为n为奇数,所以上式=Cn0·13n-Cn1·13n-1+…+(-1)n-1·Cnn-1·13-3=[Cn0·13n-Cn1·13n-1+…+(-1)n-1·Cnn-1·13-13]+10.
所以11n+Cn1·11n-1+Cn2·11n-2+…+Cnn-1·11-1除以13的余数是10.故选C.
12.D a≡b(md 5)的意思是a和b被5除得的余数相同,已知a=C200+C201×3+C202×32+…+C2020×320,
则由二项式定理得a=(1+3)20=420=(5-1)20=C200×520−C201×519+…-C2019×5+C2020,
因为C200×520−C201×519+…-C2019×5能被5整除,
所以a除以5余C2020=1,所以b除以5余1.
结合选项知2 026除以5余1.故选D.