高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质随堂练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质随堂练习题，共13页。试卷主要包含了阅读材料,完成相应任务，给出下列条件等内容，欢迎下载使用。

题组一 杨辉三角
1.如图所示的表是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b依次是某行的前两个数,则当a=7时,b= ( )
A.20 B.21 C.22 D.23
2.(多选题)(2024湖南长沙第一中学月考)如图所示,在“杨辉三角”中,下列命题正确的是( )
A.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和”猜想:Cn+1r=Cnr-1+Cnr
B.由“第n行所有数之和为2n”猜想:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
C.第20行中,第10个数最大
D.第15行中从左到右第7个数与第8个数的比为7∶9
3.(2024湖南岳阳第十三中学入学考试)阅读材料,完成相应任务:“贾宪三角”又称“杨辉三角”,在欧洲则称为“帕斯卡三角”(如下表),它揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的规律.
根据上述规律,完成下列问题:
(1)直接写出:(a+b)5= ;
(2)(a+1)8的展开式中a项的系数是 .
题组二 二项式系数的性质
4.(2022陕西渭南华州咸林中学期中)一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有20个灯泡,只要有一个灯泡坏了,整串彩灯就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为( )
A.20 B.219 C.220 D.220-1
5.在(2-3x)15的展开式中,二项式系数的最大值为 ( )
A.C159 B.C158 C.-C159 D.-C158
6.在(a-b)20的展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A.第15项 B.第16项
C.第17项 D.第18项
7.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数是( )
A.60 B.80 C.84 D.120
8.(2024广西贵港、百色、河池联考)在3x-2xn的展开式中,所有的二项式系数之和为64,则各项的系数的绝对值之和为 .
9.(2023江苏泗阳期中)给出下列条件:①展开式中的所有项的系数之和与二项式系数之和的比为243∶32;②展开式中的前三项的二项式系数之和为16.从这两个条件中任选一个补充在下面问题中的横线上,并完成解答.
问题:已知2x2+1xn, .
(1)求展开式中的二项式系数最大的项;
(2)求展开式中的系数最大的项.
能力提升练
题组一 二项式系数与杨辉三角
1.(多选题)(2022重庆巴蜀中学月考)下列各式正确的是( )
A.1×2+2×3+3×4+…+99×100=2C1013
B.C1000+3C1001+5C1002+…+201C100100=100×2100
C.C1001+2C1002+3C1003+…+50C10050=25×2100
D.C9020C100+C9019C101+C9018C102+…+C9010C1010=C10020
2.(多选题)(2024广东广州荔湾月考)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了杨辉三角,如图所示,这是数学史上的一个伟大成就.该图中的表蕴含着许多的数学规律,下列结论正确的是( )
A.C33+C43+C53+…+C2 0233=C2 0244
B.111=11,112=121,……,115=15 101 051
C.从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个
D.第5行到第10行的所有数字之和为2 024
题组二 二项式系数的性质
3.(多选题)(2024重庆第一中学校月考)对于x+mx10(m为常数,且m≠0),下列说法正确的是( )
A.展开式有常数项
B.展开式的第6项的二项式系数最大
C.若m=2,则展开式的各二项式系数和为310
D.x+mx10≥1在x∈[1,3]上恒成立,则m≥0
4.(2022浙江模拟)杨辉三角在我国最早由贾宪在《释锁算术》中提出,后来南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》中进行了详细说明.杨辉三角中的三角形数表,是自然界和谐统一的体现.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,其中蕴含着二项式系数的性质,例如递推性质Cn+1i=Cni-1+Cni.在x-2x6的展开式中,第三项和第四项的二项式系数之和为 ,常数项为 .
5.已知n为满足S=a+C271+C272+C273+…+C2727(a≥3)能被9整除的正整数a的最小值,则在x-1xn的展开式中,二项式系数最大的项为第 项.
6.(2022陕西西安鄠邑第一中学月考)已知(3x+x2)2n(n∈N+)的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求2x-1x20n的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
答案与分层梯度式解析
4.2 二项式系数的性质
基础过关练
1.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其两肩上相邻两个数的和,当a=7时,b的两肩上的两个数分别为6,16,所以b=6+16=22.
2.ABD 易知A,B正确;对于C,第20行的数是C20i(i=0,1,2,…,20),最大的数是C2010,即C2010是第11个数,故C错误;
对于D,易知第n行从左到右第k个数是Cnk-1,则第15行中从左到右第7个数与第8个数分别是C156和C157,则C156C157=A1566!A1577!=79,故D正确.
故选ABD.
3.答案 (1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (2)8
解析 (1)由题图可得(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)由杨辉三角的性质可得(a+1)8的展开式中a项的系数为C87=8.
4.D 因为只要有一个灯泡坏了,整串彩灯就不亮,所以因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为C201+C202+C203+…+C2020=220−C200=220-1,故选D.
5.B (2-3x)15的展开式中共有16项,中间的两项为第8项和第9项,这两项的二项式系数相等且最大,为C157=C158,故选B.
6.B 第6项的二项式系数为C205,因为C2015=C205,所以第6项与第16项的二项式系数相同,故选B.
7.D (1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x2的系数为C22+C32+…+C92=C33+C32+…+C92=C103=120.故选D.
8.答案 729
解析 由题意得2n=64,∴n=6,
设3x-2x6的展开式中各项的系数为a0,a1,a2,…,a6,则各项的系数的绝对值之和为|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|,即为3x+2x6的展开式中各项的系数之和,
令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=(1+2)6=36,
故各项的系数的绝对值之和为36=729.
9.解析 (1)选条件①:令x=1,得所有项的系数之和为3n,因为二项式系数之和为2n,所以3n∶2n=243∶32,解得n=5.
选条件②:由题意得Cn0+Cn1+Cn2=16,化简得n2+n-30=0,所以n=5,
故展开式中的二项式系数最大的项为第3项和第4项,
2x2+1x5的二项式通项为Tr+1=C5r(2x2)5−r1xr=25−rC5rx10-3r,
则T3=25-2C52x10−6=80x4,T4=25−3C53x10-9=40x.
(2)由(1)知Tr+1=25-rC5rx10-3r,
由25-rC5r≥25-(r+1)C5r+1,25-rC5r≥25-(r-1)C5r-1得1≤r≤2且r∈N+,
所以r=1或2,所以系数最大的项为第2项和第3项,所以T2=24C51x7=80x7,T3=25−2C52x10-6=80x4.
能力提升练
1.ACD 对于A,根据组合数的性质Cnm+Cnm-1=Cn+1m,得左边=A22×(C22+C32+C42+…+C1002)=A22×(C33+C32+C42+…+C1002)=2C1013,故A正确;
对于B,设S=C1000+3C1001+5C1002+…+201C100100,
则S=201C100100+199C10099+197C10098+…+1·C1000,
两式相加得2S=202(C1000+C1001+C1002+…+C100100),
所以S=101×2100,故B错误;
对于C,由于mCnm=nCn-1m-1,
所以C1001+2C1002+3C1003+…+50C10050=100C990+100C991+100C992+…+
100C9949=50(C990+C991+C992+…+C9949+C9950+…+C9999)=50×299=25×2100,故C正确;
对于D,因为(1+x)100=(1+x)90(1+x)10,
所以展开式中含x20项的系数为C9020C100+C9019C101+C9018·C102+…+C9010C1010=C10020,故D正确.
故选ACD.
2.AC 对于A,已知Cnm-1+Cnm=Cn+1m(m,n∈N+,m则C33+C43+C53+…+C2 0233=C44+C43+C53+…+C2 0233
=C54+C53+…+C2 0233=…=C2 0234+C2 0233=C2 0244,故A正确;
对 于B,115=(1+10)5=15+C51×10+C52×102+C53×103+C54×104+105
=1+50+1 000+10 000+50 000+100 000=161 051,故B错误;
对于C,第n(n∈N)行共有(n+1)项,
从左往右逐行数,第n行最后一项对应的项数为1+2+3+…+n+(n+1)=(n+1)(n+2)2,
因为(62+1)(62+2)2=2 016,且2 024=2 016+8,
所以从左往右逐行数,第2 024项在第63行第8个,故C正确;
对于D,第n(n∈N+)行所有项之和为Cn0+Cn1+…+Cnn=2n,
所以第5行到第10行的所有数字之和为25+26+…+210=32+64+…+
1 024=2 016,故D错误.
故选AC.
AB 对于A,x+mx10的二项式通项为Tr+1=
C10rx10-r·mxr=mrC10rx10-2r,
令10-2r=0,可得r=5,因此展开式的第6项为常数项,故A正确;
对于B,由x+mx10的展开式,结合二项式系数的性质,可得展开式的第6项的二项式系数最大,故B正确;
对于C,当m=2时,展开式的各二项式系数和为210,故C错误;
对于D,由x+mx10≥1在x∈[1,3]上恒成立,可得x+mx≥1或x+mx≤-1在x∈[1,3]上恒成立,
即m≥x-x2或m≤-x-x2在x∈[1,3]上恒成立,
令g(x)=x-x2,则g(x)在[1,3]上单调递减,所以g(x)max=g(1)=0,
令h(x)=-x-x2,则h(x)在[1,3]上单调递减,所以h(x)min=h(3)=-12,
所以m≥0或m≤-12,故D错误.
故选AB.
4.答案 35;60
解析 在x-2x6的展开式中,第三项的二项式系数为C62,第四项的二项式系数为C63,所以第三项和第四项的二项式系数之和为C62+C63=C73=35.
x-2x6的二项式通项为Tr+1=C6r(x)6−r-2xr=(−2)rC6rx3-32r,
r=0,1,…,6,
令3-32r=0,得r=2,
所以展开式中的常数项为(-2)2C62x0=4×15=60.
5.答案 6和7
解析 S=a+C271+C272+C273+…+C2727=a+C270+C271+C272+…+C2727−1=a+227−1=(9−1)9+a−1=C9099−C9198+C9297−C9396+C9495−C9594+C9693−C9792+C989−C99+a−1=9(98−C9197+…+C98)+a-2,
∵a≥3,∴使S能被9整除的正整数a的最小值满足amin-2=9,∴amin=11,
∴n=11,
∴x-1xn=x-1x11,其展开式的二项式系数最大的项为第6项、第7项.
6.解析 (3x+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,
(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以2x-1x20n=2x-1x100.
(1)2x-1x100的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即C10050(2x)50-1x50=250C10050.
(2)2x-1x100的二项式通项为Tr+1=C100r(2x)100-r·-1xr=C100r·2100-r·
(-1)r·x100-2r,0≤r≤100,r∈N,其系数的绝对值为C100r·2100-r,设系数的绝对值最大的项是第(k+1)项,
则C100k·2100-k≥C100k+1·2100-(k+1),C100k·2100-k≥C100k-1·2100-(k-1),
解得983≤k≤1013,
∵k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,
即T34=C10033·(2x)67·-1x33=−C10033267x34.