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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理3 组合问题3.1 组合同步训练题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第五章 计数原理3 组合问题3.1 组合同步训练题，共14页。试卷主要包含了1 组合，以下5个命题,属于组合问题的有，求值等内容，欢迎下载使用。
3.2 组合数及其性质
基础过关练
题组一 组合、组合数及其性质
1.以下5个命题,属于组合问题的有( )
①从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,组成一个无重复数字的三位数;②从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和的个数;③从a,b,c,d四名学生中选两名去完成同一份工作的选法;④5个人规定相互通话一次,通电话的次数;⑤5个人相互写一封信,所有信的数量.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.(2023上海市西中学期中)已知C82x-1=C8x+3,则正整数x的值为 .
3.不等式1Cx3−1Cx4<2Cx5的解集为 .
4.(2023浙江金华阶段考试)C33+C43+C53+…+C2 0223+C2 0233= .(用组合数表示即可)
5.(1)求值:Cn5-n+Cn+19-n;
(2)已知1C5m−1C6m=710C7m,求C8m.
题组二 组合的简单应用
6.(2023辽宁沈阳皇姑期中)如图,某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成,所有密码中,恰有三个重复数字的密码个数为( )
A.90 B.324 C.360 D.400
7.(2024河北邢台名校联盟期中)现有红色、黄色、蓝色的球各4个,每个球上都标有不同的编号.从中任取3个球,若这3个球的颜色不全相同,且至少有一个红球,则不同的取法有( )
A.160种 B.220种 C.256种 D.472种
8.(2022上海自主招生)8个点将半圆分成9段弧,以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形的个数为( )
A.55 B.112 C.156 D.120
9.(多选题)(2023吉林长春期末)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法种数为( )
A.C71C51C102 B.C73C51+C72C52+C71C53
C.C124−C74−C54 D.C71C51(C62+C41C61+C42)
10.(2022上海高桥中学阶段模考)夏老师从家到学校,可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道,由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了,所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路,如图,假设夏老师家在M处,学校在N处,AB段正在修路要绕开,则夏老师从家到学校的最短路径有( )
A.23条 B.24条 C.25条 D.26条
11.(2024河北枣强中学月考)杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭,每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位志愿者有200种以上不同选择,则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜.
12.有10本相同的书要送给5位同学,其中甲、乙两位同学每人至少2本,其余每人至少一本,则不同的分配方案有 种.(用数字作答)
题组三 排列与组合的综合应用
13.(2023河南开封通许等3地押题)黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金律、中外比,即把一条线段分成长短不等的a,b两段,使得长线段a与原线段a+b的比等于短线段b与长线段a的比,即a∶(a+b)=b∶a,其比值约为0.618 033 9….小王酷爱数学,他选了其中的6,1,8,3,3,9这六个数字组成了手机开机密码,如果两个3不相邻,则小王可以设置的不同密码个数为( )
A.180 B.210 C.240 D.360
14.(2024浙江强基联盟联考)浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章,现有甲、乙、丙、丁四位同学报名,每位同学只能选一所大学,每所大学至少有一位同学报名,且甲同学不报南京大学,则不同的报名方法共有( )
A.16种 B.20种 C.24种 D.28种
15.(2024浙江稽阳联谊学校联考)第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有A,B,C三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛,其中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项.五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有( )
A.150种 B.300种
C.720种 D.1 008种
16.(2022福建福州期末)用数字1,2,3排成一个五位数,要求每个数字至少用一次,则不同的五位数有( )
A.180个 B.150个 C.120个 D.90个
17.(2023广东河源中学质量检测)某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,每名毕业生只去一所学校,则不同的安排方法种数是 .
18.(2024江浙两省县域高中发展共同体联考)第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址,“莲莲”代表世界遗产西湖,“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物,其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个,将这6个吉祥物排成前后两排,每排3个,且每排相邻两个吉祥物名称不同,则排法种数共有 .(用数字作答)
19.一条沿江公路上有18盏路灯,为节约用电,现打算关掉其中4盏路灯,为安全起见,要求公路的头尾两盏路灯不可关闭,关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯,则不同的方案总数共有 .
20.(2022陕西西北农林科技大学附中期末)3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务.
(1)若每辆车上都要有人服务,但最多安排男、女各一名,有多少种不同的安排方法?
(2)若男、女同志各服务两辆车,有多少种安排方法?
答案与分层梯度式解析
§3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
基础过关练
1.B ①取出三个数字后,改变这三个数字的顺序,会得到不同的三位数,所以此问题与顺序有关,是排列问题;②取出三个数字之后,无论怎样改变这三个数字的顺序,其和均不变,此问题只与取出的元素有关,与元素的顺序无关,是组合问题;③两名学生完成的是同一份工作,没有顺序,是组合问题;④甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,与顺序无关,是组合问题;⑤寄信人与收信人是有区别的,是排列问题.故属于组合问题的有3个.故选B.
2.答案 4或2
解析 由C82x-1=C8x+3,可得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=4或x=2,经检验均符合题意,故正整数x的值为4或2.
3.答案 {5,6,7,8,9,10,11}
解析 由题意得x≥5,x∈N.
原不等式可化为6x(x-1)(x-2)−24x(x-1)(x-2)(x-3)<240x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),
即x2-11x-12<0,解得-1又x≥5,x∈N,所以x∈{5,6,7,8,9,10,11}.
4.答案 C2 0244
解析 根据组合数的性质得C33+C43+C53+…+C2 0223+C2 0233=C44+C43+C53+…+C2 0223+C2 0233=C54+C53+…+C2 0223+C2 0233=…=C2 0244.
5.解析 (1)由题意得5-n≤n,5-n≥0,9-n≤n+1,9-n≥0,解得4≤n≤5,
∵n∈N+,∴n=4或n=5.
当n=4时,原式=C41+C55=5;
当n=5时,原式=C50+C64=16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},
由已知得m!(5-m)!5!−m!(6-m)!6!=7m!(7-m)!10×7!,
即10m=(7-m)(6-m),整理得m2-23m+42=0,
解得m=21(舍去)或m=2,
∴C8m=C82=28.
6.C 分两步进行分析:①从10个数字中任选一个,重复安排在密码四个位置中的三个位置,有C101C43=40种情况;②在剩下的9个数字中任选一个,安排在剩余的位置,有9种情况,则有40×9=360个恰有三个重复数字的密码.
7.A 若取出的球中有1个红球,则不同的取法有C41C82=112(种);
若取出的球中有2个红球,则不同的取法有C42C81=48(种).
故不同的取法有112+48=160(种).故选A.
8.B 在10个点中,任意3点不共线,所以从中任取3个点,可以组成C103=120个三角形,其中没有锐角三角形,有8个直角三角形,所以钝角三角形有120-8=112(个).故选B.
9.BC (1)分三类:3男1女,2男2女,1男3女,
∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为C73C51+C72C52+C71C53.
(2)任选4人的方法种数为C124,其中全部为男生或全部为女生的方法种数为C74+C54,所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为C124−C74−C54.故选BC.
10.D 由M到N的最短路径需要向右走四段路,向上走三段路,所以不考虑修路的情况有C73条路径,由M到A的最短路径需要向右走两段路,向上走一段路,所以由M到A的最短路径有C31条,由B到N的最短路径需要向右走一段路,向上走两段路,所以由B到N的最短路径有C31条,
所以由M到N不经过AB的最短路径有C73−C31C31=26(条).故选D.
11.答案 7
解析 设还需要准备n(n≥2,n∈N+)种不同的素菜,由题意得C52Cn2>200,解得n>1+1612或n<1-1612,
因为n≥2,n∈N+,所以n的最小值为7,
所以餐厅至少还需要准备7种不同的素菜.
12.答案 35
解析 解法一:5位同学每人分1本,因为甲、乙两位同学每人至少2本,所以剩余的5本至少分成两份,利用“隔板法”如下:
分成两份,给甲、乙,共C41=4种分法;
分成三份,给甲、乙和另一名学生,共C42C31=18种分法;
分成四份,给甲、乙和另两名学生,共C43C32=12种分法;
分成五份,五名学生再每人1本,共1种分法.
所以不同的分配方案有4+18+12+1=35(种).
解法二:先分给甲、乙一人一本书,再将余下的8本相同的书送给5位同学,每人至少一本,使用隔板法,8本书形成7个空(不算两端),在7个空中插入4块隔板,所以不同的分配方案有C74=35(种).
13.C 先把6,1,8,9进行排列,有A44 种情况,然后选两个空档插入3,有C52种情况,所以小王可以设置的不同密码个数为A44C52=240.
故选C.
14.C 可分为两类:
第1类:甲单独报一个学校,则不同的报名方法有C21C32A22=12(种);
第2类,甲和其中一位同学报一个学校,则不同的报名方法有C31C21A22=12(种).
由分类加法计数原理,可得共有12+12=24种不同的报名方法.故选C.
15.B 电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项,有A22=2种安排方法;
五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,有C53A33+C52C32A22·A33=150种安排方法.
故不同的安排方法有2×150=300(种).
故选B.
16.B 用数字1,2,3排成一个五位数,共有35=243个不同的数.
只用1或2或3排成一个五位数,共有3个不同的数.
用其中的两个数字排成一个五位数,先从数字1,2,3中选出两个,有C32=3种选法,
假如选了数字1,2排成一个五位数,可按数字1的个数分类:
若数字1只用了一次,则可排成C51=5个不同的数;
若数字1用了两次,则可排成C52=10个不同的数;
若数字1用了三次,则可排成C53=10个不同的数;
若数字1用了四次,则可排成C54=5个不同的数.
共有5+10+10+5=30个不同的数.
因此用其中的两个数字排成一个五位数,共有3×30=90个不同的数.
所以用数字1,2,3排成一个五位数,且每个数字至少用一次的不同的五位数有243-3-90=150(个).
故选B.
解题指导 根据题意,可采用间接法,先求得所有的五位数的个数,再求得用一个数字排成的五位数和用两个数字排成的五位数的个数,进而求得答案.
17.答案 240
解析 先将5名毕业生分成4组共有C51C41C31C22A33=10(种),再将4组毕业生安排到4所不同的学校有A44=24(种),根据分步乘法计数原理可知,不同的安排方法共有10×24=240(种).
易错警示 平均分组时应考虑重复计算的情况,比如四个人平均分成两组,即两人为一组的所有选法有C42A22=3(种),即A,B,C,D四个人中,两个人为一组的选法为(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),而非(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),(CD,AB),(BD,AC),(BC,AD),应剔除重复分组.本题中5名学生分成4组,共有C51C41C31C22A33=10种分法,其中前三组均为一人,是平均分组,故分组后还应除以A33.
18.答案 336
解析 由题意可分两种情形:
①前排含有两种不同名称的吉祥物,即从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种,其中一种取两个,另一种取一个,有C32C21C21C22A22=24种排法,后排有A22=2种排法,故有24×2=48种排法;
②前排含有三种不同名称的吉祥物,有C21C21C21A33=48种排法,后排有A33=6种排法,故有48×6=288种排法.
因此,共有48+288=336种排法.
19.答案 35
解析 先拿出15盏路灯,按如下顺序排好(表示灯亮;表示灯灭),
再将剩下的三盏灯放进去,
若三盏灯在一起,有C51=5种方法;
若将三盏灯分成两组,有C52A22=20种方法;
若三盏灯均不在一起,有C53=10种方法.
所以共有5+20+10=35种不同的方案.
20.解析 (1)先将3名男同志安排到车上,有A43种方法,在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志,有C31种方法,剩余2名女同志有A32种安排方法.共有A43C31A32=432种安排方法.
(2)男同志分为2组,有C32种方法,女同志分为2组,有C32种方法,将4组安排到4辆车上有A44种方法.共有C32C32A44=216种安排方法.
3.2 组合数及其性质
基础过关练
题组一 组合、组合数及其性质
1.以下5个命题,属于组合问题的有( )
①从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,组成一个无重复数字的三位数;②从1,2,3,…,9九个数字中任取三个,然后把这三个数字相加得到一个和,这样的和的个数;③从a,b,c,d四名学生中选两名去完成同一份工作的选法;④5个人规定相互通话一次,通电话的次数;⑤5个人相互写一封信,所有信的数量.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.(2023上海市西中学期中)已知C82x-1=C8x+3,则正整数x的值为 .
3.不等式1Cx3−1Cx4<2Cx5的解集为 .
4.(2023浙江金华阶段考试)C33+C43+C53+…+C2 0223+C2 0233= .(用组合数表示即可)
5.(1)求值:Cn5-n+Cn+19-n;
(2)已知1C5m−1C6m=710C7m,求C8m.
题组二 组合的简单应用
6.(2023辽宁沈阳皇姑期中)如图,某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成,所有密码中,恰有三个重复数字的密码个数为( )
A.90 B.324 C.360 D.400
7.(2024河北邢台名校联盟期中)现有红色、黄色、蓝色的球各4个,每个球上都标有不同的编号.从中任取3个球,若这3个球的颜色不全相同,且至少有一个红球,则不同的取法有( )
A.160种 B.220种 C.256种 D.472种
8.(2022上海自主招生)8个点将半圆分成9段弧,以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形的个数为( )
A.55 B.112 C.156 D.120
9.(多选题)(2023吉林长春期末)从7名男生和5名女生中任选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法种数为( )
A.C71C51C102 B.C73C51+C72C52+C71C53
C.C124−C74−C54 D.C71C51(C62+C41C61+C42)
10.(2022上海高桥中学阶段模考)夏老师从家到学校,可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道,由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了,所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路,如图,假设夏老师家在M处,学校在N处,AB段正在修路要绕开,则夏老师从家到学校的最短路径有( )
A.23条 B.24条 C.25条 D.26条
11.(2024河北枣强中学月考)杭州亚运会期间某餐厅为志愿者供应客饭,每位志愿者可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位志愿者有200种以上不同选择,则餐厅至少还需要准备 种不同的素菜.
12.有10本相同的书要送给5位同学,其中甲、乙两位同学每人至少2本,其余每人至少一本,则不同的分配方案有 种.(用数字作答)
题组三 排列与组合的综合应用
13.(2023河南开封通许等3地押题)黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金律、中外比,即把一条线段分成长短不等的a,b两段,使得长线段a与原线段a+b的比等于短线段b与长线段a的比,即a∶(a+b)=b∶a,其比值约为0.618 033 9….小王酷爱数学,他选了其中的6,1,8,3,3,9这六个数字组成了手机开机密码,如果两个3不相邻,则小王可以设置的不同密码个数为( )
A.180 B.210 C.240 D.360
14.(2024浙江强基联盟联考)浙江大学、复旦大学、南京大学三所学校发布了2024年冬令营招生简章,现有甲、乙、丙、丁四位同学报名,每位同学只能选一所大学,每所大学至少有一位同学报名,且甲同学不报南京大学,则不同的报名方法共有( )
A.16种 B.20种 C.24种 D.28种
15.(2024浙江稽阳联谊学校联考)第33届夏季奥运会预计在2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办,这届奥运会将新增电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有A,B,C三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛,其中电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项.五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有( )
A.150种 B.300种
C.720种 D.1 008种
16.(2022福建福州期末)用数字1,2,3排成一个五位数,要求每个数字至少用一次,则不同的五位数有( )
A.180个 B.150个 C.120个 D.90个
17.(2023广东河源中学质量检测)某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教,每所学校至少安排一名,每名毕业生只去一所学校,则不同的安排方法种数是 .
18.(2024江浙两省县域高中发展共同体联考)第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人:“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址,“莲莲”代表世界遗产西湖,“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物,其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个,将这6个吉祥物排成前后两排,每排3个,且每排相邻两个吉祥物名称不同,则排法种数共有 .(用数字作答)
19.一条沿江公路上有18盏路灯,为节约用电,现打算关掉其中4盏路灯,为安全起见,要求公路的头尾两盏路灯不可关闭,关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯,则不同的方案总数共有 .
20.(2022陕西西北农林科技大学附中期末)3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务.
(1)若每辆车上都要有人服务,但最多安排男、女各一名,有多少种不同的安排方法?
(2)若男、女同志各服务两辆车,有多少种安排方法?
答案与分层梯度式解析
§3 组合问题
3.1 组合
3.2 组合数及其性质
基础过关练
1.B ①取出三个数字后,改变这三个数字的顺序,会得到不同的三位数,所以此问题与顺序有关,是排列问题;②取出三个数字之后,无论怎样改变这三个数字的顺序,其和均不变,此问题只与取出的元素有关,与元素的顺序无关,是组合问题;③两名学生完成的是同一份工作,没有顺序,是组合问题;④甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,与顺序无关,是组合问题;⑤寄信人与收信人是有区别的,是排列问题.故属于组合问题的有3个.故选B.
2.答案 4或2
解析 由C82x-1=C8x+3,可得2x-1=x+3或2x-1+x+3=8,解得x=4或x=2,经检验均符合题意,故正整数x的值为4或2.
3.答案 {5,6,7,8,9,10,11}
解析 由题意得x≥5,x∈N.
原不等式可化为6x(x-1)(x-2)−24x(x-1)(x-2)(x-3)<240x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),
即x2-11x-12<0,解得-1
4.答案 C2 0244
解析 根据组合数的性质得C33+C43+C53+…+C2 0223+C2 0233=C44+C43+C53+…+C2 0223+C2 0233=C54+C53+…+C2 0223+C2 0233=…=C2 0244.
5.解析 (1)由题意得5-n≤n,5-n≥0,9-n≤n+1,9-n≥0,解得4≤n≤5,
∵n∈N+,∴n=4或n=5.
当n=4时,原式=C41+C55=5;
当n=5时,原式=C50+C64=16.
(2)由题意可知m的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈N},
由已知得m!(5-m)!5!−m!(6-m)!6!=7m!(7-m)!10×7!,
即10m=(7-m)(6-m),整理得m2-23m+42=0,
解得m=21(舍去)或m=2,
∴C8m=C82=28.
6.C 分两步进行分析:①从10个数字中任选一个,重复安排在密码四个位置中的三个位置,有C101C43=40种情况;②在剩下的9个数字中任选一个,安排在剩余的位置,有9种情况,则有40×9=360个恰有三个重复数字的密码.
7.A 若取出的球中有1个红球,则不同的取法有C41C82=112(种);
若取出的球中有2个红球,则不同的取法有C42C81=48(种).
故不同的取法有112+48=160(种).故选A.
8.B 在10个点中,任意3点不共线,所以从中任取3个点,可以组成C103=120个三角形,其中没有锐角三角形,有8个直角三角形,所以钝角三角形有120-8=112(个).故选B.
9.BC (1)分三类:3男1女,2男2女,1男3女,
∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为C73C51+C72C52+C71C53.
(2)任选4人的方法种数为C124,其中全部为男生或全部为女生的方法种数为C74+C54,所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为C124−C74−C54.故选BC.
10.D 由M到N的最短路径需要向右走四段路,向上走三段路,所以不考虑修路的情况有C73条路径,由M到A的最短路径需要向右走两段路,向上走一段路,所以由M到A的最短路径有C31条,由B到N的最短路径需要向右走一段路,向上走两段路,所以由B到N的最短路径有C31条,
所以由M到N不经过AB的最短路径有C73−C31C31=26(条).故选D.
11.答案 7
解析 设还需要准备n(n≥2,n∈N+)种不同的素菜,由题意得C52Cn2>200,解得n>1+1612或n<1-1612,
因为n≥2,n∈N+,所以n的最小值为7,
所以餐厅至少还需要准备7种不同的素菜.
12.答案 35
解析 解法一:5位同学每人分1本,因为甲、乙两位同学每人至少2本,所以剩余的5本至少分成两份,利用“隔板法”如下:
分成两份,给甲、乙,共C41=4种分法;
分成三份,给甲、乙和另一名学生,共C42C31=18种分法;
分成四份,给甲、乙和另两名学生,共C43C32=12种分法;
分成五份,五名学生再每人1本,共1种分法.
所以不同的分配方案有4+18+12+1=35(种).
解法二:先分给甲、乙一人一本书,再将余下的8本相同的书送给5位同学,每人至少一本,使用隔板法,8本书形成7个空(不算两端),在7个空中插入4块隔板,所以不同的分配方案有C74=35(种).
13.C 先把6,1,8,9进行排列,有A44 种情况,然后选两个空档插入3,有C52种情况,所以小王可以设置的不同密码个数为A44C52=240.
故选C.
14.C 可分为两类:
第1类:甲单独报一个学校,则不同的报名方法有C21C32A22=12(种);
第2类,甲和其中一位同学报一个学校,则不同的报名方法有C31C21A22=12(种).
由分类加法计数原理,可得共有12+12=24种不同的报名方法.故选C.
15.B 电子竞技和冲浪两个项目仅能由A,B两个场地承办,且各自承办其中一项,有A22=2种安排方法;
五个表演项目分别由A,B,C三个场地承办,且每个场地至少承办其中一个项目,有C53A33+C52C32A22·A33=150种安排方法.
故不同的安排方法有2×150=300(种).
故选B.
16.B 用数字1,2,3排成一个五位数,共有35=243个不同的数.
只用1或2或3排成一个五位数,共有3个不同的数.
用其中的两个数字排成一个五位数,先从数字1,2,3中选出两个,有C32=3种选法,
假如选了数字1,2排成一个五位数,可按数字1的个数分类:
若数字1只用了一次,则可排成C51=5个不同的数;
若数字1用了两次,则可排成C52=10个不同的数;
若数字1用了三次,则可排成C53=10个不同的数;
若数字1用了四次,则可排成C54=5个不同的数.
共有5+10+10+5=30个不同的数.
因此用其中的两个数字排成一个五位数,共有3×30=90个不同的数.
所以用数字1,2,3排成一个五位数,且每个数字至少用一次的不同的五位数有243-3-90=150(个).
故选B.
解题指导 根据题意,可采用间接法,先求得所有的五位数的个数,再求得用一个数字排成的五位数和用两个数字排成的五位数的个数,进而求得答案.
17.答案 240
解析 先将5名毕业生分成4组共有C51C41C31C22A33=10(种),再将4组毕业生安排到4所不同的学校有A44=24(种),根据分步乘法计数原理可知,不同的安排方法共有10×24=240(种).
易错警示 平均分组时应考虑重复计算的情况,比如四个人平均分成两组,即两人为一组的所有选法有C42A22=3(种),即A,B,C,D四个人中,两个人为一组的选法为(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),而非(AB,CD),(AC,BD),(AD,BC),(CD,AB),(BD,AC),(BC,AD),应剔除重复分组.本题中5名学生分成4组,共有C51C41C31C22A33=10种分法,其中前三组均为一人,是平均分组,故分组后还应除以A33.
18.答案 336
解析 由题意可分两种情形:
①前排含有两种不同名称的吉祥物,即从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种,其中一种取两个,另一种取一个,有C32C21C21C22A22=24种排法,后排有A22=2种排法,故有24×2=48种排法;
②前排含有三种不同名称的吉祥物,有C21C21C21A33=48种排法,后排有A33=6种排法,故有48×6=288种排法.
因此,共有48+288=336种排法.
19.答案 35
解析 先拿出15盏路灯,按如下顺序排好(表示灯亮;表示灯灭),
再将剩下的三盏灯放进去,
若三盏灯在一起,有C51=5种方法;
若将三盏灯分成两组,有C52A22=20种方法;
若三盏灯均不在一起,有C53=10种方法.
所以共有5+20+10=35种不同的方案.
20.解析 (1)先将3名男同志安排到车上,有A43种方法,在未安排男同志的那辆车上安排一名女同志,有C31种方法,剩余2名女同志有A32种安排方法.共有A43C31A32=432种安排方法.
(2)男同志分为2组,有C32种方法,女同志分为2组,有C32种方法,将4组安排到4辆车上有A44种方法.共有C32C32A44=216种安排方法.
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