高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 随机变量练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 随机变量练习题，共18页。试卷主要包含了1　随机变量　　　　2，随机变量ξ的分布列如下表等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 随机变量
1.(2022陕西渭南咸林中学期中)袋中有3个白球、5个黑球,从中任取2个球,下列选项中可以用随机变量表示的是( )
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
2.(2023浙江绍兴诸暨第二高级中学期中)先后抛掷一颗骰子两次,记随机变量ξ为两次掷出的点数之和,则ξ的取值集合是( )
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4,5,6,7}
C.{2,4,6,8,10,12}
D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
3.(2022广东深圳德琳学校期中)甲、乙两班进行足球对抗赛,共进行三场,每场比赛赢了的队伍得3分,输了的队伍得0分,平局两队各得1分.用ξ表示甲的得分,则{ξ=3}表示( )
A.甲赢三场
B.甲赢一场、输两场
C.甲、乙平局三次
D.甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
题组二 离散型随机变量及其分布列
4.(2022北京十二中期末)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为( )
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1;
②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2;
③某同学射击3次,命中的次数X3;
④某电子元件的寿命X4.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
5.数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称有一个“巧合”,则“巧合”个数ξ的分布列为 .
6.一个口袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定抽取的3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判断η是不是离散型随机变量.
7.(2024辽宁辽中第一私立高级中学月考)已知新高考数学共4道多项选择题,评分标准是每题满分5分,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选或不选的得0分.每道多项选择题共有4个选项,正确答案往往为两项或三项.为了研究多项选择题的答题规律,某数学兴趣小组研究发现:多项选择题正确答案是“选两项”的概率为12,正确答案是“选三项”的概率为12.现有学生甲、乙两人,由于数学基础一般,多项选择题完全没有思路,只能靠猜.
(1)已知某题的正确答案是“选两项”,求学生甲不得0分的概率;
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”,学生乙的答题策略是“猜两个选项”,试写出甲、乙两名学生得分的分布列.
题组三 离散型随机变量的性质
8.(2024江西乐平中学月考)随机变量ξ的分布列如下表:
其中2b=a+c,则P(|ξ|=1)等于( )
A.13 B.14 C.12 D.23
9.(2022河北邢台卓越联盟月考)已知离散型随机变量X的分布列如表所示,则常数c为( )
A.13 B.23 C.13或23 D.14
10.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则q等于 .
11.(2022河北唐山英才国际学校期中)设随机变量X的分布列为PX=k5=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求PX≥35;
(3)求P11012.已知随机变量X的分布列如表所示.
(1)求随机变量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y题组四 两点分布
13.(2024江西泰和中学暑期质量检测)已知随机变量X服从两点分布,且P(X=1)=0.6.设Y=3X-2,则P(Y=-2)=( )
A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4
14.已知袋内有5个白球和6个红球,从中摸出2个球,记X=0,两球全红,1,两球非全红,则X的分布列为 .
能力提升练
题组一 离散型随机变量的分布列的性质及其应用
1.(2024辽宁沈阳三校联考)某银行有一自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k),根据统计得到p(k)=12k·p(0),0≤k<5,0,k≥5,则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为( )
A.3263 B.1631
C.815 D.47
2.(2022江苏连云港东海期中)同时掷两颗质地均匀的骰子,观察朝上一面出现的点数.设两颗骰子出现的点数分别为X1,X2,记X=min{X1,X2},则P(2≤X≤4)=( )
A.512 B.712 C.13 D.12
3.(2022北京第十二中学阶段测试)若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为 .
题组二 离散型随机变量的分布列的综合应用
4.(2022河北保定第二十八中学月考)如图所示,A,B两点由5条线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息量的总量为ξ,则P(ξ≥8)= .
5.(2024四川雅安期中)为了促进消费,某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动:每位会员客户可在价值80元,90元,100元的A,B,C三种商品中选择一种使用积分进行兑换,每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1 000积分,且甲兑换A,B,C三种商品的概率分别为12,13,16,乙兑换A,B,C三种商品的概率分别为12,16,13,且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率;
(2)记X为两人兑换商品后的积分总余额,求X的分布列.
6.(2022安徽黄山期末)现有8名在校大学生报名参加在校大学生兼职村团支部副书记选拔,其中籍贯是黄山区的有1人,籍贯是屯溪区的有3人,籍贯是歙县的有4人.
(1)若8人中有2人入选,求入选的2人籍贯是不同地区的概率;
(2)若8人中有3人入选,设籍贯是歙县的入选人数为X,在已知入选3人中籍贯是黄山区的人数和籍贯是屯溪区的人数都不超过籍贯是歙县的人数的条件下,求随机变量X的分布列.
答案与分层梯度式解析
§2 离散型随机变量及其分布列
2.1 随机变量
2.2 离散型随机变量的分布列
基础过关练
1.C 选项A,B是随机事件;选项D中,取到球的个数是定值2;选项C中,取到白球的个数的可能取值为0,1,2,可以用随机变量表示.故选C.
2.D
3.D 由题意得ξ=3可以分成两种情况,得分分别为3+0+0,1+1+1,即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次.故选D.
4.C
5.答案
解析 ξ的可能取值为0,1,2,4,则P(ξ=0)=3×3A44=38,P(ξ=1)=C41×2A44=13,P(ξ=2)=C42A44=14,P(ξ=4)=1A44=124.
∴ξ的分布列为
6.解析 (1)列表如下:
(2)由题意可得η=5ξ+6,由(1)知ξ的可能取值为0,1,2,3,所以η对应的值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,故η的可能取值为6,11,16,21.显然η是离散型随机变量.
7.解析 (1)在某题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的情况有两种:
①只选一个选项,得2分的概率P1=C21C41=12;
②选两个选项,得5分的概率P2=C22C42=16.
所以在某题的正确答案是“选两项”的条件下,学生甲不得0分的概率P=P1+P2=12+16=23.
(2)设学生甲的得分为X,则X的可能取值为0,2,
P(X=0)=12×12+12×14=38,
P(X=2)=12×12+12×34=58,
所以X的分布列为
设学生乙的得分为Y,则Y的可能取值为0,2,5,
P(Y=2)=12×C32C42=14,
P(Y=5)=12×C22C42=112,
P(Y=0)=1-14−112=23,
所以Y的分布列为
8.D ∵2b=a+c,且a+b+c=1,∴2b+b=1,
∴b=13,∴P(|ξ|=1)=P(ξ=−1)+P(ξ=1)=a+c=2b=23.
故选D.
9.A 由离散型随机变量分布列的性质,知
0≤9c2-c≤1,0≤3-8c≤1,9c2-c+3-8c=1,所以c=13,故选A.
10.答案 12
解析 由题意得12+1-32q+q2=1,0≤1-32q≤12,0≤q2≤12,所以q=12.
11.解析 随机变量X的分布列为
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=115.
(2)解法一:PX≥35=PX=35+PX=45+P(X=1)=15+415+13=45.
解法二:PX≥35=1−PX≤25=1−115+215=45.
(3)因为110所以P11012.解析 (1)由随机变量X的分布列知,Y的可能取值为0,1,4,9,
则P(Y=0)=13,P(Y=1)=14+112=13,P(Y=4)=112+16=14,P(Y=9)=112.
所以随机变量Y的分布列如表所示.
(2)因为P(Y所以实数x的取值范围是(4,9].
13.D 当Y=-2时,-2=3X-2,解得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故选D.
14.答案
解析 由题意得,X的可能取值为0,1,
则P(X=0)=C62C112=311,P(X=1)=C52+C51C61C112=811.
所以X的分布列如表所示.
能力提升练
1.B 由题意知,p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,
即p(0)1+12+122+123+124=3116p(0)=1,解得p(0)=1631,
即在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为1631.故选B.
2.B 由题意,随机变量X满足2≤X≤4的事件是X=2、X=3、X=4这3个互斥事件的和,而P(X=2)=C22+4C2162=14,P(X=3)=C22+3C2162=736,P(X=4)=C22+2C2162=536,所以P(2≤X≤4)=14+736+536=712.故选B.
3.答案 132
解析 由a+b+14+12=1,可得a+b=14,b∈0,14,
所以a2+b2=14-b2+b2=2b-182+132≥132当a=b=18时,取等号.
故a2+b2的最小值为132.
4.答案 45
解析 解法一(直接法):由题意得,ξ的可能取值为7,8,9,10,
则P(ξ=7)=C22C21C53=15,P(ξ=8)=C22C11+C22C21C53=310,
P(ξ=9)=C21C21C11C53=25,P(ξ=10)=C22C11C53=110,
所以ξ的分布列为
所以P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=310+25+110=45.
解法二(间接法):由题意得,ξ的可能取值为7,8,9,10,故P(ξ≥8)与P(ξ=7)是对立事件,
所以P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-C22C21C53=45.
5.解析 (1)由题可知,甲、乙两人兑换同一种商品的概率为12×12+13×16+16×13=1336.
(2)由题意,兑换A,B,C三种商品所需的积分分别为800,900,1 000,
则X的取值可能为0,100,200,300,400,
P(X=0)=16×13=118,
P(X=100)=16×16+13×13=536,
P(X=200)=13×16+12×13+16×12=1136,
P(X=300)=12×16+13×12=14,
P(X=400)=12×12=14,
所以X的分布列为
6.解析 (1)设事件A表示“入选的2人籍贯是不同地区”,则P(A)=1-C32+C42C82=1928.
(2)由题意,籍贯是歙县的人数至少是1人,X的可能取值为1,2,3,则满足条件的情况共有C11C31C41+C11C42+C31C42+C43=40种,则P(X=1)=C11C31C4140=1240=310,
P(X=2)=C11C42+C31C4240=2440=35,
P(X=3)=C4340=440=110,
所以X的分布列为
ξ
-1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
X
-1
0
1
P
12
1-32q
q2
X
-2
-1
0
1
2
3
P
112
14
13
112
16
112
X
0
1
2
3
P
14
a
12
b
ξ
0
1
2
4
P
38
13
14
124
ξ
0
1
2
4
P
38
13
14
124
结果
取得3
个黑球
取得1个白
球,2个黑球
取得2个白
球,1个黑球
取得3
个白球
ξ
0
1
2
3
X
0
2
P
38
58
Y
0
2
5
P
23
14
112
X
15
25
35
45
1
P
a
2a
3a
4a
5a
Y
0
1
4
9
P
13
13
14
112
X
0
1
P
311
811
X
0
1
P
311
811
ξ
7
8
9
10
P
15
310
25
110
X
0
100
200
300
400
P
118
536
1136
14
14
X
1
2
3
P
310
35
110