高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差当堂达标检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 离散型随机变量的方差当堂达标检测题，共6页。试卷主要包含了5　　　B，故选B，1+2×0等内容，欢迎下载使用。

题组一 离散型随机变量的方差与标准差
1.某高科技公司所有员工的工资情况如下表所示:
该公司员工年薪的标准差约为( )
A.24.5 B.25.5 C.26.5 D.27.5
2.(2024江苏镇江期初)已知随机变量X的分布列如下表所示,若EX=13,则DX=( )
A.4981 B.89 C.2327 D.2381
3.(多选题)(2022江苏苏州学业质量阳光指标调研)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=14,EX,DX分别为随机变量X的均值和方差,则( )
A.P(X=1)=34 B.EX=14
C.DX=316 D.E(4X+1)=4
题组二 离散型随机变量的方差的性质
4.(2024陕西合阳中学月考)已知随机变量X的分布列如下表所示:
则D(3X+2)=( )
A.3 B.9 C.27 D.11
5.(2022重庆八中月考)设X,Y为随机变量,且EX=2,E(X2)=6,Y=2X-1,则DY=( )
A.9 B.8 C.5 D.4
6.(2022江苏苏州中学期末)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ak+1(k=1,2,5),a∈R,Eξ,Dξ分别为随机变量ξ的数学期望与方差,则下列结论正确的是( )
A.P(0<ξ<3.5)=23 B.E(3ξ+2)=7
C.Dξ=2 D.D(3ξ+1)=6
7.(2022河南洛阳期中)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n(n=1,2,3,4)号的有n个.现从袋中任取一球,用X表示所取到的球的标号.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,EY=1,DY=11,试求a,b的值.
答案与分层梯度式解析
3.2 离散型随机变量的方差
基础过关练
1.B 年薪的平均数为125×(135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12)=50.4(万元),所以年薪的方差为125×[(135-50.4)2+(95-50.4)2+2×(80-50.4)2+(70-50.4)2+3×(60-50.4)2+4×(52-50.4)2+(40-50.4)2+12×(31-50.4)2]=647.76,又647.76≈25.5,所以该公司员工年薪的标准差约为25.5.故选B.
2.B 由已知得,-2a+0×13+1×b=13,a+13+b=1,解得a=19,b=59,
所以DX=19×-2-132+13×0-132+59×1-132=89.故选B.
3.ACD 对于A,因为随机变量X服从两点分布,P(X=0)=14,所以P(X=1)=34,故A正确;
对于B,EX=0×14+1×34=34,故B错误;
对于C,DX=0-342×14+1-342×34=316,故C正确;
对于D,E(4X+1)=4EX+1=4,故D正确.
故选ACD.
4.B 由题意可得EX=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,
则DX=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,
所以D(3X+2)=32DX=9DX=9.
故选B.
5.B 由题意得,DX=E(X2)-(EX)2=6-4=2,则DY=D(2X-1)=22DX=8.
故选B.
6.C 由分布列的性质可知,P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=5)=a2+a3+a6=1,解得a=1.
对于A,P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=12+13=56,故A错误;
对于B,∵Eξ=1×12+2×13+5×16=2,∴E(3ξ+2)=3Eξ+2=3×2+2=8,故B错误;
对于C,Dξ=12×(1−2)2+13×(2−2)2+16×(5-2)2=2,故C正确;
对于D,∵Dξ=2,∴D(3ξ+1)=32Dξ=18,故D错误.
故选C.
7.解析 (1)由题易知,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=1020=12,P(X=1)=120,P(X=2)=220=110,P(X=3)=320,P(X=4)=420=15,
故X的分布列为
所以EX=0×12+1×120+2×110+3×320+4×15=1.5,
DX=(0-1.5)2×12+(1−1.5)2×120+(2−1.5)2×110+(3−1.5)2×320+(4−1.5)2×15=2.75.
(2)由Y=aX+b知DY=a2DX,即a2×2.75=11,解得a=±2.
又EY=aEX+b,
所以当a=2时,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
当a=-2时,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以a=2,b=-2或a=-2,b=4.
年薪/
万元
135
95
80
70
60
52
40
31
人数
1
1
2
1
3
4
1
12
X
-2
0
1
P
a
13
b
X
1
2
3
4
P
0.1
0.2
0.3
0.4
X
0
1
2
3
4
P
12
120
110
320
15