河北省衡水市河沿中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（含详解）

这是一份河北省衡水市河沿中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷（含详解），共27页。
A．x＞﹣3且x≠0B．x≠0C．x＞3D．x≠﹣3或x≠0
2．（3分）如图，是某学校的示意图，若综合楼在点（﹣2，0），食堂在点（1，3），则教学楼在点（ ）
A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（﹣5，2）D．（﹣4，2）
3．（3分）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D，E，测得DE＝15m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．15mB．20mC．30mD．60m
4．（3分）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么金额在20～30元的人数占九年级人数的百分比是（ ）
A．15%B．25%C．40%D．50%
5．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等B．对边相等
C．对角相等D．是中心对称图形
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
7．（3分）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CDB．∠B＝∠D，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB＝CD，BC＝AD
8．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点（1，1）
B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到
C．y随着x的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
9．（3分）如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发后3小时追上甲；③甲的速度是4千米/时；④乙比甲先到B地．其中正确的说法是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
10．（3分）某学校计划在七年级开设折扇、刺绣、剪纸、陶艺四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．下列说法正确的是（ ）
A．参加问卷调查的学生人数为100名
B．陶艺课程所对应的扇形圆心角的度数是30°
C．条形图中的剪纸人数为30名
D．若该校七年级一共有1000名学生，则估计选择刺绣课程的学生有200名
11．（3分）已知一次函数y＝ax+b，当﹣4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a+b的值是（ ）
A．1B．16C．1或16D．无法确定
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1．以下结论正确的个数是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③点C的坐标为（﹣4，﹣）；
④BD＝6；
⑤矩形ABCD的面积为24．
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分。）
13．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x﹣b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
14．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023的值为 ．
15．（3分）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ．
16．（3分）如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为 ．
三．解答题（共8小题，共72分。）
17．“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为31.5升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；
（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
18．如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（3，﹣2），（3，2）．
（1）将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形ABCD；
（2）把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形ABCD
内部（不包括边界）的整点M，使S△ABM＝4，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
19．如图，M，N两地相距50千米，甲、乙两人于某日下午从M地前往N地，图中的折线ABC和线段EF分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系．根据图象回答下列问题：
（1）甲出发 小时后，乙才开始出发；
（2）甲在BC段路程中的平均速度是 千米/小时；乙的平均速度是 千米/小时；
（3）乙出发后经过几小时就追上甲？
20．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A：春运；B：日用商品价格；C：新冠疫情；D：直播带货；E：寒潮天气”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ ，话题D所在扇形的圆心角是 度；
（4）假设这个小区居民共有9000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“日用商品价格”的人数是多少．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2：：y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．
（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？ ；（填“过”或“不过”）
（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；
（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值．
22．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．
①线段EF长为 ．
②四边形BEDF的面积为 ．
23．万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．
（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 ，BC与CE的位置关系是 ；
（2）①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
②在①的条件下，连接BE，若AB＝2，∠APB＝75°，直接写出BE的长为 ；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若，，请直接写出PD的长度为 ．
参考答案
一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分。）
1．（3分）函数y＝中的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3且x≠0B．x≠0C．x＞3D．x≠﹣3或x≠0
【解答】解：由题意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故选：C．
2．（3分）如图，是某学校的示意图，若综合楼在点（﹣2，0），食堂在点（1，3），则教学楼在点（ ）
A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（﹣5，2）D．（﹣4，2）
【解答】解：如图，
∴教学楼在点（﹣4，2）．
故选：D．
3．（3分）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC、BC的中点D，E，测得DE＝15m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．15mB．20mC．30mD．60m
【解答】解：∵AC、BC的中点分别是D，E，即DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB．
∵DE＝15m，
∴AB＝2DE＝2×15＝30（m）．
故选：C．
4．（3分）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，那么金额在20～30元的人数占九年级人数的百分比是（ ）
A．15%B．25%C．40%D．50%
【解答】解：金额在20～30元的人数占九年级人数的百分比是×100%＝25%，
故选：B．
5．（3分）菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．邻边相等B．对边相等
C．对角相等D．是中心对称图形
【解答】解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是邻边相等．
故选：A．
6．（3分）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大
C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，
当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，
故选：D．
7．（3分）刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（ ）
A．AB∥CD，AB＝CDB．∠B＝∠D，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BCD．AB＝CD，BC＝AD
【解答】解：A、可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
B、可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
C、不能进行判定，故此选项符合题意；
D、可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
故选：C．
8．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象过点（1，1）
B．其图象可由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到
C．y随着x的增大而增大
D．图象经过第一、二、四象限
【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣3×1+2＝﹣1，
∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过点（1，﹣1），选项A错误，不符合题意；
B、由y＝3x的图象向下平移2个单位长度得到y＝3x﹣2，故选项B错误，不合题意
C、∵k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C错误，不符合题意；
D、∵k＝﹣3＜0，b＝2＞0，
∴一次函数y＝﹣3x+2的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发后3小时追上甲；③甲的速度是4千米/时；④乙比甲先到B地．其中正确的说法是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；
乙出发3﹣1＝2（小时）后追上甲，故②错误；
甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；
乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），
则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），
乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），
∵1+＝＜5，
∴乙先到达B地，故④正确；
∴正确的说法为：①③④，
故选：B．
10．（3分）某学校计划在七年级开设折扇、刺绣、剪纸、陶艺四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．下列说法正确的是（ ）
A．参加问卷调查的学生人数为100名
B．陶艺课程所对应的扇形圆心角的度数是30°
C．条形图中的剪纸人数为30名
D．若该校七年级一共有1000名学生，则估计选择刺绣课程的学生有200名
【解答】解：A．参加问卷调查的学生人数为15÷30%＝50（名），不合题意；
B．陶艺课程所对应的扇形圆心角的度数是，不合题意；
C．剪纸的人数为50﹣15﹣10﹣5＝20（名），不合题意；
D．估计选择刺绣课程的学生有（名），合题意；
故选：D．
11．（3分）已知一次函数y＝ax+b，当﹣4≤x≤1时，对应y的取值范围是1≤y≤16，则a+b的值是（ ）
A．1B．16C．1或16D．无法确定
【解答】解：由一次函数性质知，当a＞0时，y随x的增大而增大，所以得
，
解得，
即a+b＝16；
当a＜0时，y随x的增大而减小，所以得
，
解得，
即a+b＝1．
∴a+b的值为1或16．
故选：C．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE＝3，EF＝1．以下结论正确的个数是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③点C的坐标为（﹣4，﹣）；
④BD＝6；
⑤矩形ABCD的面积为24．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：∵∠OEB＝∠AEF，∠AFE＝∠BOE＝90°，
∴△AEF∽△BEO，
∴＝＝3，∠EAF＝∠OBE，
∴BO＝3AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB，故①正确；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正确；
∵OE＝3，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA2﹣AF2＝OF2，
∴8AF2＝16，
∴AF＝（负值舍去），
∴点A坐标为（4，），
∵点A，点C关于原点对称，
∴点C（﹣4，﹣），故③正确；
∵AF＝，OA＝3AF，
∴AO＝3，
∴BO＝DO＝3，
∴BD＝6，故④错误；
∵S△ABD＝×6×4＝12，
∴矩形ABCD的面积＝2×S△ABD＝24，故⑤正确，
故选：C．
二．填空题（共4小题，每小题3分，共12分。）
13．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x﹣b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+4（k≠0）与y＝﹣3x﹣b的图象交于点A（﹣3，2），
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
14．（3分）已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2023的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
∴a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（3分）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 8或7或6 ．
【解答】解：设原多边形为n边形，则当n多边形截去一个角后，可形成（n﹣1）或n或（n+1）边形，
∴（n﹣1﹣2）×180°＝900°或（n﹣2）×180°＝900°或（n+1﹣2）×180°＝900°，
解得n＝8或7或6，
故答案为：8或7或6．
16．（3分）如图，将边长为3的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分面积为 9﹣3 ．
【解答】解：连接AE，如图所示：
由旋转的性质可知：AB＝AB′．
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL）．
∴∠DAE＝∠B′AE，S△ADE＝S△AB′E．
∵∠BAB′＝30°，
∴∠DAE＝×（90°﹣30°）＝30°．
又∵AB＝3，
∴DE＝AB＝，
∴S△ADE＝××3＝，
又∵S正方形ABCD＝32＝9，
∴S阴影＝9﹣2×＝9﹣3．
故答案为：9﹣3．
三．解答题（共8小题，共72分。）
17．“十一”期间，小华一家人开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶60千米时，发现油箱余油量为31.5升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出余油量Q（升）与行驶路程x（千米）之间的关系式；
（3）当油箱中余油量低于3升时，汽车将自动报警，若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说明理由．
【解答】解：（1）（升/千米），
答：该车平均每千米耗油0.225升；
（2）Q＝45﹣0.225x；
（3）当x＝200时，Q＝45﹣0.225×200＝0，
∵0＜3，
∴所以他们不能在汽车报警前回到家．
18．如图，在直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为（3，﹣2），（3，2）．
（1）将点B，点A都向左平移5个单位长度，分别得到对应点C和D，顺次连接A，B，C，D，画出四边形ABCD；
（2）把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，在四边形ABCD
内部（不包括边界）的整点M，使S△ABM＝4，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【解答】解：（1）由图可知，点C的坐标为（﹣2，2），点B与点A关于x轴对称，
画出四边形ABCD如图所示．
（2）设△ABM的AB边上的高为h，
由题意得，
解得h＝2，
∴满足条件的点在直线x＝1上，且在矩形内部（不包括边界），
∴符合条件的所有点M的坐标为（1，1）或（1，0）或（1，﹣1）．
19．如图，M，N两地相距50千米，甲、乙两人于某日下午从M地前往N地，图中的折线ABC和线段EF分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系．根据图象回答下列问题：
（1）甲出发 1 小时后，乙才开始出发；
（2）甲在BC段路程中的平均速度是 10 千米/小时；乙的平均速度是 50 千米/小时；
（3）乙出发后经过几小时就追上甲？
【解答】解：（1）由图象可知，甲在1小时，开始出发，乙在2小时，开始出发，
∵2﹣1＝1，
∴甲出发1小时后，乙才开始出发，
故答案为：1；
（2）由图象可知，甲在BC段路程中的平均速度是＝10（千米/小时）
乙的平均速度是＝50（千米/小时），
故答案为：10；50；
（3）设乙出发后经过t小时就追上甲，
依题意得，20+10t＝50t，
解得t＝0.5，
∴乙出发后经过0.5小时就追上甲．
20．某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A：春运；B：日用商品价格；C：新冠疫情；D：直播带货；E：寒潮天气”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）数学实践小组在这次活动中，调查的居民共有 200 人；
（2）将上面的最关注话题条形统计图补充完整；
（3）最关注话题扇形统计图中的a＝ 25 ，话题D所在扇形的圆心角是 36 度；
（4）假设这个小区居民共有9000人，请估计该小区居民中最关注的话题是“日用商品价格”的人数是多少．
【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人）；
（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），
选择A的居民有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）∵，
∴a＝25；
话题D所在扇形的圆心角是：，
（4）9000×30%＝2700（人），
答：估计该小区居民中最关注的话题是“日用商品价格”的人数大约有2700人．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B，直线l2：：y＝mx﹣m+4（m≠﹣1）与x轴、y轴分别交于点C、D，点P（2，n）在直线l2上．
（1）直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4）吗？ 过 ；（填“过”或“不过”）
（2）若点B、O关于点D对称，求此时直线l2的解析式；
（3）若直线l2将△AOB的面积分为1：4两部分，请求出m的值．
【解答】解：（1）在y＝mx﹣m+4中，令x＝1得y＝m﹣m+4＝4，
∴直线y＝mx﹣m+4过定点M（1，4），
故答案为：过；
（2）在y＝﹣x+5中，令x＝0得y＝5，
∴B（0，5），
∵点B、O关于点D对称，
∴D是OB的中点，
∴D（0，），
把D（0，）代入y＝mx﹣m+4得：＝﹣m+4，
解得m＝，
∴直线l2的解析式为y＝x+；
（3）在y＝﹣x+5中，令x＝1得y＝4，
∴M（1，4）在直线y＝﹣x+5上，
∴直线l1：y＝﹣x+5与直线l2：：y＝mx﹣m+4的交点为M（1，4），
在y＝﹣x+5中，令x＝0得y＝5，令y＝0得x＝5，
∴A（5，0），B（0，5），
∴S△AOB＝×5×5＝，
当S△BDM：S四边形MDOA＝1：4时，如图：
此时S△BDM＝×＝，
∴BD•|xM|＝，即×BD×1＝，
∴BD＝5，
∴D（0，0），
把D（0，0）代入y＝mx﹣m+4得：0＝﹣m+4，
∴m＝4；
当S△ACM：S四边形MBOC＝1：4时，如图：
此时S△ACM＝×＝，
∴AC•|yM|＝，即×AC×4＝，
∴AC＝，
∴C（，0），
把C（，0）代入y＝mx﹣m+4得：0＝m﹣m+4，
∴m＝﹣；
综上所述，m的值为4或﹣．
22．如图，点E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AC＝24．
①线段EF长为 16 ．
②四边形BEDF的面积为 153.6 ．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①在Rt△ABF中，AF＝＝＝20，
∵AC＝24，
∴CF＝AC﹣AF＝24﹣20＝4，
∵AE＝CF，
∴EF＝AF﹣AE＝16，
故答案为：16；
②过点B作DH⊥AF于H，
∵AB⊥BF，AB＝16，BF＝12，AF＝20，
∴S△ABF＝AB•BF＝AF•DH，
∴16×12＝20BH，解得BH＝9.6，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BF＝DE，
在△BEF和△DFE中，
，
∴△BEF≌△DFE（SSS），
∴S△BEF＝S△DFE，
∴S四边形BEDF＝2S△BEF＝2××16×9.6＝153.6．
故答案为：153.6．
23．万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．
（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
【解答】解：（1）设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为（x+20）元，
根据题意得，，
解得x＝180，
经检验，x＝180是原方程的解，
∴x+20＝180+20＝200．
答：一件A款球衣的进价为200元，一件B款球衣的进价为180元；
（2）∵A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，
∴解得100≤m≤140，
根据题意得W＝（320﹣200）m+（280﹣180）（210﹣m），
化简得W＝20m+21000．
答：W＝20m+21000（100≤m≤140）；
（3）设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，
根据题意得Q＝20m+21000﹣am＝（20﹣a）m+21000，100≤m≤140，
当0＜a＜20时，Q随m的增大而增大，
∴m＝140时，Q最大，最大值为（20﹣a）×140+21000＝（23800﹣140a）元；
当a＝20时，Q＝21000元；
当a＞20时，Q随m的增大而减小，
∴m＝100时，Q最大，最大值为（20﹣a）×100+21000＝（23000﹣100a）元．
答：当0＜a＜20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23800﹣140a）元；
当a＝20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；
当a＞20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23000﹣100a）元．
24．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是 BP＝CE ，BC与CE的位置关系是 CE⊥BC ；
（2）①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
②在①的条件下，连接BE，若AB＝2，∠APB＝75°，直接写出BE的长为 2 ；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若，，请直接写出PD的长度为 2或14 ．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°；
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE；
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCE＝60°+30°＝90°，
∴CE⊥BC；
故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；
（2）①（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：
如图2.1中，连接AC，设CE与AD交于H，

∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，
∴∠BAP＝∠CAE，
∴△ABP≌△ACE（SAS），
∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴∠DCE+∠ADC＝90°，
∴∠CHD＝90°，
∴CE⊥AD；
∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；
②如图2.2所示，
∵△ABP≌△ACE（SAS），
∴CE＝BP，
∵∠APB＝75°，∠ABP＝30°，
∴∠BAP＝180﹣∠ABP﹣∠APB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴AP＝BP＝2，
∴CE＝2，
∴CE⊥BC，
∴BE＝＝＝2，
故答案为：2；
（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD BD平分∠ABC，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，
∴BD＝6，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝2，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝8，
由（2）知BP＝CE＝8，
∴DP＝2；
如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得，

DP＝8+6＝14，
综上，DP的长度为2或14，
故答案为：2或14．