数学拓展模块一（上册）第1章 充要条件精品练习

这是一份数学拓展模块一（上册）第1章 充要条件精品练习，文件包含讲解01充要条件考点串讲原卷版docx、讲解01充要条件考点串讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。


二、常考题型
三、知识梳理
1、命题：可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题.
一般地, 对于形如“如果p,那么q”的命题, 我们称p为命题的条件, 简称条件; 称q为命题的结论，简称结论．
将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题.
2、充分条件、必要条件与充要条件的概念
3、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A⊇B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
四、常考题型探究
考点一 充分条件
例1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是( D )
A．1C．eq \f(1,2)[解析] x2－x<0，∴0∵eq \f(1,3)∴p的一个充分条件为eq \f(1,3)例2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论.
【详解】根据题意由可得，则，
即充分性成立，
若可得，此时或，显然必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A
例3．已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案.
【详解】直线：，：，
若，则有，解得，
经检验，当时，直线不重合，符合，
则时，满足，而时，不能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
例4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用对数的换底公式得到，再利用对数的性质和充要条件的定义求解即可.
【详解】且，
当时，则，
当时，则，
，
当时，则，.
是的充分不必要条件.
故选：A.
【变式探究】1.判断p：“|x－2|≤5”是q：“x≥－1或x≤5”的什么条件，说明理由．
[解析] p是q的充分条件．
因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
所以P⊆R，也就是p⇒q，
故p是q的充分条件．
2．在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义即可判断.
【详解】当角的终边过点时，根据三角函数的定义，可得，充分性成立；
当时，为第二象限角或第四象限角，若为第四象限角，则角的终边不过点，必要性不成立.
所以“角的终边过点”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.
【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．
所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选：A
4“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据条件得到的大小关系，结合充要条件进一步判断即可.
【详解】因为，所以，
而，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：
考点二 必要条件
例1．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的__必要__条件．(填“充分”或“必要”)
[解析] a，b，c成等比数列⇒b2＝ac.
例2．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断命题.
【详解】当时，，但，则命题p推不出命题q；
当时，，则命题q推出命题p，
所以命题p是命题q的必要不充分条件.
故选：B.
例3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义得到答案.
【详解】，则或，则前者无法推出后者，后者可以推出前者，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
例4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.
【详解】由，解得，
由“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
【变式探究】1.已知p：x2－x<0，那么命题p的一个必要条件是( B )
A．0C．eq \f(1,2)[解析] x2－x<0⇔0A中0B中－1C中eq \f(1,2)D中eq \f(1,2)2. “”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】如果，比如，，，不存在，充分条件不成立；
如果，则有，所以，即，必要条件成立；
是的必要不充分条件.
故选：B.
3. 设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义判断即可.
【详解】设中角、、所对的边分别为、、，
若是等腰三角形，假设是，此时不是等边三角形，故不能推出，
若是等边三角形，则有，此时一定是等腰三角形，故能推出，
故p是q的必要不充分条件.
故选：B.
4. 设全集，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据集合的包含关系与充分必要条件的关系判断即可.
【详解】因为，，则，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
考点三 充要条件
例1. 设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.
【详解】由，解得，由，解得，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C
例2. 点是第二象限的点的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据充要条件的定义和第二象限点的特点分析判断
【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
所以点是第二象限的点的充要条件是．
故选：B
例3.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（ ）
A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形
B．各个面都是正三角形
C．三个侧面是全等的等腰三角形
D．顶点在底面上的投影为底面三角形的重心
【答案】A
【分析】根据正三棱锥的定义结合充分、必要条件逐项分析判断.
【详解】正三棱锥：底面为正三角形，侧棱长相等（或顶点在底面的投影为底面中心），
对于选项A：三个侧面是全等的等腰三角形，等价于侧棱长相等，且底面是正三角形的三棱锥，等价于正三棱锥的定义，故A正确；
对于选项B：各个面都是正三角形符合定义，故是正三棱锥，但正三棱锥的侧棱和底面边长不一定相等，所以侧面不一定是等边三角形，故B错误；
对于选项C：三个侧面是全等的等腰三角形，但没有指定具体哪些边对应相等，则不一定是正三棱锥，故C错误；
对于选项D：正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，则不一定是正三棱锥，故D错误；
故选：A.
例4.如图，直线a，b被直线c所截.下列条件中，不是的充要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线平行的条件判断选项.
【详解】若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确；
若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确；
若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确；
显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1=∠3不能得到两直线平行，D选项错误.
故选：D.
【变式探究】1.设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【分析】根据函数单调性进行判断即可.
【详解】显然，在上单调递增，
若，则；
若，则.
故“”是“”的充要条件.
故选：C
2. 一个棱柱是正四棱柱的充要条件是（ ）
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱
【答案】C
【分析】由正四棱柱的定义及几何特征，结合充要条件的概念，依次判断即可．
【详解】若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；
若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；
若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，反之也成立，故C满足要求；
若每个侧面都是全等矩形的四棱柱，其底面可能不是正方形，故D不满足要求.
故选：C．
3. 关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【分析】根据圆的一般式方程可得答案.
【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
4．已知集合，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据子集和交集的概念可判断.
【详解】由,又,所以是的充要条件.
故选：C
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p