甘肃省酒泉市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省酒泉市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量，，，则( )
A.B.3C.9D.0
2．一质点A沿直线运动，位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为，则质点A在秒时的瞬时速度为( )
A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒
3．函数在处取得极小值，则( )
A.B.3C.1D.
4．有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，，甲、乙两台车床的正品率分别为，．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为( )
5．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为( )
6．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t等于( )
A.1B.C.或1D.2
7．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为( )
A.B.C.D.
8．质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A.B.与是共线向量
C.和夹角的余弦值是1D.与同向的单位向量是
10．关于二项式的展开式，下列说法错误的是( )
A.常数项为B.有理项的项数为4
C.各项系数之和为64D.二项式系数最大的项为第4项
11．已知函数与函数的图象相交于，两点，且，则( )
A.B.C.直线的斜率D.
三、填空题
12．某班有50名学生，某次数学考试成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过110分的人数为________.
13．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则________.
四、双空题
14．甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则.若第1轮甲得3分，则________.
五、解答题
15．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，恒成立，求实数m的取值范围.
16．某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
（1）求该学校招生人数y与年份序号x的相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有较强线性相关程度（，则认为y与x的线性相关程度较强；，则认为y与x的线性相关程度较弱）；
（2）求y关于x的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
参考数据：.
17．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元.
（1）设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
（2）设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差；
（3）如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.
18．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，.请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求与平面所成角的大小；
（2）设Q为侧棱上一点，四边形是过B，Q两点的截面，且平面，是否存在点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
19．已知函数.
（1）求曲线在原点处的切线方程；
（2）讨论在R上的零点个数.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以.
2．答案：C
解析：由，得，则，
故质点A在秒时的瞬时速度为3米/秒.
故选：C.
3．答案：A
解析：依题意，，因为函数在处取得极小值，则，解得，经检验时，函数在处取得极小值，满足题意.
4．答案：B
解析：设事件A表示为“任选一件零件为甲车床生产的”，
事件B表示为“任选一件零件为乙车床生产的”，事件C表示为“任选一件零件为正品”，
则，，，，
所以.
故选：B.
5．答案：D
解析：由题知，故的值可能为6.069.
6．答案：C
解析：因为法向量a，b所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以，得.
7．答案：A
解析：由函数，可得，，令，解得或（舍去），则，即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为.
8．答案：A
解析：不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个，孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5组，所以，，所以.
9．答案：AD
解析：对于A，，，A正确；
对于B，，，，所以不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，所以其同向的单位向量为，D正确.
故选：AD.
10．答案：AC
解析：二项式展开式的通项.令，得，此时，故常数项为60，故错误；
若为展开式中的有理项，则为整数，即r为偶数，故时，均满足有理项要求，共有4项，故正确；
令得，，所以各项系数之和为1，故错误；
展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，正确.
11．答案：ACD
解析：由题意有两个不等的实数根，则，令（或），则，即为奇函数.，在，上均单调递增.若，则，又，所以，，故A正确；
若成立，则有，与矛盾，故B错误；
，令，则，所以在上单调递增，，C正确.
令，，当时，，为增函数，所以，即，D正确.
12．答案：15
解析：因为数学成绩，由，可得，所以该班学生数学成绩超过110分的人数为.
13．答案：
解析：设平面的法向量为，因为，所以，所以有
故答案为：.
14．答案：；
解析：由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以；若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为，，，，，，所以.
15．答案：（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）
解析：（1），
令，得或；令，得，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增.
又，，，
所以，，
所以实数m的取值范围为
16．答案：（1）两个变量具有很强的线性相关程度；
（2）31.4百人
解析：（1）由题知：，，
，
，
，
所以相关系数，
因此，两个变量具有很强的线性相关程度
（2），，所以y关于x的回归直线方程为
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为31.4百人
17．答案：（1）分布列见解析；，；
（2），；
（3）应选择方案一的抽奖方式
解析：（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.
，，.
X的分布列为：
所以，
（2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.则.
所以，.
（3）因为，，即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定，所以应选择方案一的抽奖方式
18．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，，，平面，平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
取中点H，连接，
则在等边三角形中，，，
又平面平面，所以平面，
如图，以A为原点，分别以，为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设与平面所成角为，则是平面的一个法向量，
所以，所以，
即与平面所成角的大小为
（2）假设存在点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为.
由（1）知，，，，
设是平面的法向量，则取，
设，其中.
则，
连接，因为平面，平面，平面平面，
故，则取与同向的单位向量
设是平面的法向量，
则，取
则，
解得或，即或，
故在侧棱上存在点Q且当和时，使得平面与平面所成角的余弦值为.
19．答案：（1）；
（2）2
解析：（1）由已知可得，，
则，，
所以曲线在原点处的切线方程为，即
（2）由（1）知，.
①当时，有，，
所以恒成立，
所以在上单调递减，是的一个零点；
②当时，，
设，则恒成立，
所以，即在上单调递增
又，，
所以根据零点存在定理可知，，使得
当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，又，所以
因为，
根据零点存在定理可知，，使得.
综上所述，在R上的零点个数为2
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/百人
7
12
13
19
24
X
1
2
3
P