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    重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

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    重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案)

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    这是一份重庆市渝西中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷(含答案),共16页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.命题,的否定为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    2.集合,,若,则实数( )
    A.-1B.0C.D.1
    3.已知,,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    4.已知变量x,y呈线性相关关系,回归方程为,且变量x,y的样本数据如下表所示
    据此计算出在时,预测值为-0.2,则m的值为( )
    A.3B.2.8C.2D.1
    5.已知实数,则下列不等式中一定正确的有( )
    A.B.C.D.
    6.已知偶函数在上单调递减,则,,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    7.把二项式的所有展开项重新排列,记有理项都相邻的概率为p,有理项两两不相邻的概率为q,则( )
    A.5B.C.4D.
    8.对于正数a,b,有,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,即,,则( )
    A.B.C.D.
    10.已知函数的定义域为R,则p的必要条件可以是( )
    A.或B.C.D.
    11.已知,,若对,使成立,则下列说法正确的是( )
    A.函数的最小值为0B.当时,的解集为
    C.实数a的取值范围是D.实数a的取值范围是
    三、填空题
    12.函数的定义域是____________.
    13.2024年伊始,随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出,哈尔滨火爆出圈,成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约,制定了“南方小土豆,勇闯哈尔滨”的出游计划,这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂,冰雪大世界,中央大街三个景点中选择一个去游玩,已知每个景点至少有一位同学会选,五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点,若学生甲和学生乙准备选同一个景点,则不同的选法种数是________.
    14.设是定义在R上的单调增函数,且满足,若对于任意非零实数x都有,则_____________.
    四、解答题
    15.已知等差数列的前n项和为,且满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若数列满足 求数列的前n项和.
    16.新能源渗透率是指在一定时期内,新能源汽车销量占汽车总销量的比重.在2022年,新能源汽车的渗透率达到了,提前三年超过了“十四五”预定的的目标.2023年,随着技术进步,新能源车的渗透率还在继续扩大.将2023年1月视为第一个月,得到2023年1-10月,我国新能源汽车渗透率如下表:
    (1)假设自2023年1月起的第x个月的新能源渗透率为,试求y关于x的回归直线方程,并由此预测2024年1月的新能源渗透率;
    (2)为了鼓励大家购买新能源汽车,国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策:在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税,而燃油车需按照车价支付购置税.2024年1月小张为自己的客户代付购置税,当月他的客户购买了3辆车价格均为20万元,假设以(1)中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率,设小张总共需要代付的购置税为X万元,求X的分布列和期望.
    附:一组数据,,的线性回归直线方程的系数公式为:,
    17.2023年7月28日,第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来,有A,B,C,,J共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营,并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分,得分情况如图中虚线所示;集训后再进行测试,10位跳水员得分情况如图中实线所示,规定满分为10分,记得分在8分以上的为“优秀”.
    (1)将上面的列联表补充完整,并根据小概率值的独立性检验,判断跳水员的优秀情况与训练是否有关?并说明原因;
    (2)从这10人中任选3人,在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下,求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率;
    (3)跳水员A将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训,且在训练中进行了多轮测试.规定:在每轮测试中,都会有这3种高度,且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”,则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中,跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为,每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次,那么理论上至少要进行多少轮测试?
    附:,其中.
    18.已知函数,,.
    (1)当时,讨论的单调性;
    (2)若曲线在点处的切线与曲线也相切,求实数a的值;
    (3)若不等式对任意的恒成立,求a的取值范围.为自然对数的底数)
    19.椭圆的左右焦点为和,O为椭圆的中心,过作直线、,分别交椭圆C于A、B和C、D,且的最大值为,的最小值为.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)设线段、的中点分别为M、N,记的面积为,的面积为,若直线、的斜率为、且,求证:为定值,并求出这个定值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:命题,的否定为:,.
    故选:A.
    2.答案:C
    解析:因为,故.
    ①当时,,则,与元素的互异性矛盾,故不成立;
    ②当时,解得,与元素的互异性矛盾,故不成立;
    ③当时,即,则,,故成立,故.
    故选:C.
    3.答案:D
    解析:设,
    所以,解得,所以;
    又,,所以,
    故选:D.
    4.答案:C
    解析:由题意知回归方程为过点,则,
    即;
    又,,
    由于回归方程为必过样本中心点,
    故,
    故选:C.
    5.答案:D
    解析:对于A,当,时,,故A错误;
    对于B,因为,,所以,又,,故,
    从而,故B错误;
    对于C,,
    因为,所以,故,
    故,故C错误;
    对于D,
    ,
    因为,故,
    所以,即,故D正确.
    故选:D.
    6.答案:C
    解析:因为为偶函数,故,
    又因为,且,故,则.
    故,又在上单调递减,
    则,即.
    故.
    故选:C.
    7.答案:A
    解析:,其中,,
    当时为有理项,故有5项有理项,4项无理项,
    故,,故.
    故选:A.
    8.答案:C
    解析:由题可知:(当且仅当时取等),
    化简可得,解得.
    9.答案:ABC
    解析:A选项,根据正态分布的定义得,故A正确;
    B选项,,,故,故B正确;
    C选项,,,故,故C正确;
    D选项,,故D错误.
    故选:ABC.
    10.答案:AB
    解析:由题,恒成立,易知时不满足,
    时,有.
    故选:AB.
    11.答案:AD
    解析:对于A,令,则,(其中),
    故,解得,
    即,所以函数的最小值为0,所以A正确,
    对于B,当时,由,得,解得,所以B错误,
    对于CD,由题可知,,,即对,,
    令,当时,取得最小值,
    即,所以,所以C错误,D正确,
    故选:AD
    12.答案:
    解析:由题意得,解得,
    所以函数的定义域为,
    故答案为:.
    13.答案:36
    解析:若甲乙选的景点没有其他人选,则分组方式为:1,2,2的选法总数为:,
    若甲乙选的景点还有其他人选择,则分组方式为:1,1,3的选法总数为:,
    所以不同的选法总数为:.
    故答案为:36.
    14.答案:2021
    解析:令,则,令,
    则,解得或.
    而,故.因此.则,
    即.
    因此或,当时,,
    在上单调递减,不满足题意,舍去;当时,满足题意.则.
    15.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)设等差数列的公差为d,则,
    解得,故;
    (2)由(1)可得,

    .
    16.答案:(1),
    (2)分布列见解析,万元
    解析:(1)计算得,,
    所以,
    ,
    则回归直线方程为,代入得,
    所以预测2024年1月新能源渗透率为;
    (2)由题意,每个客户购买新能源车的概率为,燃油车概率为,
    X所有可能取值为0,2,4,6,
    则,
    ,
    ,
    ,
    所以X的分布列为
    所以(万元).
    17.答案:(1)列联表见解析,有关,原因见解析
    (2)
    (3)12轮
    解析:(1)零假设:假设跳水员的优秀情况与训练无关.
    列联表为:
    ,
    故根据小概率值的独立性检验,零假设不成立,即跳水员的优秀情况与训练有关,此推断犯错误的概率不超过0.01.
    (2)由图可知:训练前后均不优秀的有C,F共2人,训练前后均优秀的有D,G共2人,训练前不优秀而训练后优秀的有6人,
    设“所选3人中恰有2人训练后为优秀”,“所选3人中恰有1人训练前为优秀”,
    则,,
    (3)设跳水员A每轮测试为优秀的概率为P,则.
    设A测试次数为n,则优秀的次数,
    故,
    故至少需进行12轮测试.
    18.答案:(1)答案见解析
    (2)
    (3)
    解析:(1)因为,,
    所以,
    当时,,在上单调递增;
    当时,在上单调递减;
    当时,令,则,
    当时,,单调递减;
    当时,,单调递增;
    综上:当时,在上单调递增;
    当时,在单调递减,在单调递增;
    当时,在上单调递减;
    (2)函数,,
    所以,,,
    故曲线在点处的切线方程为,
    即.
    设切线与曲线切于点,
    则,
    解得.
    (3)法一:函数,定义域为,
    故,
    等价于,
    记,,
    令,,
    解得,,解得,
    故在上单调递减,在上单调递增,
    所以当时,.
    所以解得,,解得,
    故在单调递减,在单调递增,
    有,
    所以a的取值范围为.
    法二:取,由,得.
    下证:当时,恒成立.
    记,
    因,函数在单调递减,
    所以,
    记,,
    ,,
    记,,
    ,解得,,解得,
    故在单调递减,在单调递增,
    故,
    故,在上单调递增,即在上单调递增,
    又,
    在上恒成立,在恒成立,
    所以在单调递减,在单调递增,
    所以,得证.
    综上知,a的取值范围为.
    19.答案:(1)
    (2)证明见解析,
    解析:(1)由已知得当在x轴上时,,
    当在x轴上时,最小,此时直线方程为:,
    联立,解得,所以,所以,,
    故椭圆方程为.
    (2)由(1)得,,设直线,,
    其中,,则.
    由消去x得:,,
    设,,,则,,
    ,,
    即,用代换同理可得,
    解法一:设直线的斜率为k,
    则.
    故直线的方程为,
    即,
    将代入得,故直线恒过定点,
    于是点O与点到直线的距离之比等于,从而.
    解法二:对于一个,若,,则,
    证明如下:
    因为,
    所以,
    所以,
    所以;
    故对于,,
    所以,
    又,,
    则,
    所以.
    x
    -2
    -1
    0
    1
    2
    y
    5
    4
    m
    2
    1
    月份代码x
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    渗透率
    29
    32
    34
    32
    33
    34
    36
    36
    36
    38
    优秀人数
    非优秀人数
    合计
    训练前
    训练后
    合计
    0.05
    0.01
    0.005
    0.001
    3.841
    6.635
    7.879
    10.828
    X
    0
    2
    4
    6
    P
    优秀人数
    非优秀人数
    合计
    训练前
    2
    8
    10
    训练后
    8
    2
    10
    合计
    10
    10
    20

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