[数学][期末]黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]黑龙江省哈尔滨市六校2023-2024学年高一下学期期末联考试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A B. 10C. D. 20
【答案】A
【解析】．
故选：A．
2. 设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则A，B两点到平面的距离相等，
但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧，
且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交．
故选：B．
3. 已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（ ）
A. 90B. 88C. 82D. 76
【答案】A
【解析】将数据从小到大排列：55，64，67，76，76，88，90，92，
又，所以这组数据的第百分位数是.
故选：A.
4. 在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由余弦定理得，
因为，所以.
故选：C.
5. 已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为 ，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，且，所以，即夹角为.
故选：C.
6. 已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图），，
由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故，
所以，
所以为外接球的半径，故外接球表面积为.
故选：D.
7. 用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，
共6种，其中偶数有，共4种，
所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为．
故选：C．
8. 在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
由正弦定理得，所以，
所以，
由余弦定理得
，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
所以当时，取得最大值，
此时，
所以的最大值是．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数的虚部为5
C. 若复数满足，则
D. 若复数满足，则的最大值为3
【答案】AD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，复数的虚部为-5，故B错误；
对于C，设，则，而，
故C错误；
对于D，因为，所以，
所以的最大值为3，故D正确.
故选：AD.
10. 在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（ ）
A. 当时，有两解
B. 当时，有一解
C. 当时，无解
D. 当时，有两解
【答案】AC
【解析】对于A，由正弦定理得，即，所以，
又因为，所以或，有两解，故A正确；
对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；
对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；
对于D，由正弦定理得，
又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.
故选：AC.
11. 如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（ ）
A. B. 平面平面
C. 平面D. 点到截面的距离为
【答案】ABD
【解析】如图，
在直三棱柱中，，
平面，平面，
则有平面，平面，平面平面，
可得，故A正确；
∵是的中点，，，∴，
又，∴，∴，
则，∴，
∵，，，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面，故B正确；
因为，平面，所以与平面不平行，故C错误；
设与交于点，则平面，
又因为为的中点，
所以点到截面的距离等于点到截面的距离，
在中，，由等面积法可得，
所以点到截面的距离为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若事件与互斥，且，则__________.
【答案】
【解析】因为事件与互斥，且，
所以.
故答案为：.
13. 如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为_______；古塔的塔高为_______．
【答案】
【解析】如图，
在，，
由正弦定理，
又，
所以，即，
延长交于，则，
又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为，
在中，，
又，
由正弦定理有，得到.
故答案为： .
14. 已知中，为上一点，且，垂足为，则_______．
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，
因为，，所以，则，
又，过作于，易知，所以，
得到，设，
则，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）若三点共线，求的值；
（2）若四边形为矩形，求的值．
解：（1）因为，
所以，
，
又三点共线，所以，所以，解得．
（2）由
，
若四边形为矩形，则．即，
解得，
由，得
解得．所以．
16. 如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点.
（1）若平面，试确定在上位置，并说明理由；
（2）若，证明：.
解：（1）是的中点，理由如下：
若平面，
由平面，平面平面，
得.又是的中点，在上，
∴是的中点.
（2）取的中点，连接，，
∵，为中点，
∴，，
∵，平面，
∴平面，
∵平面，∴.
17. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，点是线段上的一点，且，求的周长.
解：（1）因为，
由正弦定理得，
又，所以，
又，
所以，即，
又，所以，
所以，又，所以.
（2）由题意知，
又，所以，
即，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，
解得或（舍），
所以的周长为.
18. 为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
（1）求图中a的值，并求综合评分的平均数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
（3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差.
解：（1）由频率和为1，得，解得；
设综合评分的平均数为，
则，
所以综合评分的平均数为81.
（2）由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个，
一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E；
从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间
，；
记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”，
则，，
所以所求的概率为.
（3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为，
所以，
.
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
解：（1）在直三棱柱中，平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
在矩形中，，，点E是棱的中点，
所以，所以是等边三角形，
又点F是线段CE的中点，所以，
又，平面，所以平面．
（2）在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示，
由（1）知平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以是直线DF与平面ABF所成角，
在中，，，所以，
又点D为棱BC的中点，所以，
因为平面，又平面，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．
（3）在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，
在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示，
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，又，
所以为二面角的平面角，
在中，，
因为平面，平面，所以，
又易得，，所以，
由等面积法可知，
在中，，，，所以，
所以，即二面角的余弦值为．