[数学][期末]湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：A.
2. 复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题意可得：，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3. 边长为的正三角形的直观图的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为正三角形的边长为，所以原图形的面积为：，
因为直观图和原图的面积比为，所以直观图的面积为：.
故选：A.
4. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，则球的半径为圆锥母线长，
由圆锥的侧面展开图是一个半圆，则有，即，
即有，解得，则，
故球的表面积为.
故选：C.
5. 下列说法正确的是（ ）
①已知为三条直线，若异面，异面，则异面；
②若a不平行于平面，且，则内的所有直线与a异面；
③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；
④若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则，三点共线．
A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④
【答案】B
【解析】对于①，直线异面，异面，则可能平行、相交或异面，
所以①错误；
对于②，由题设知，a与相交，设，在内过点P的直线l与a共面，
所以②错误；
对于③，两条相交直线确定一个平面，第三条直线与前面两条直线的交点在此平面内，
所以③正确；
对于④，设平面平面，因为平面，所以，
同理，故三点共线，④正确.
故选：B．
6. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意，可得，
设收集的个准确数据分别记为，
则
，
，所以．
故选：A．
7. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】∵是的重心，，
又，结合题意知，
因为三点共线，
当且仅当即时取等号，的最小值为，
故A正确.
故选：A.
8. 某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：设，，
则，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中，
（其中），
所以当时，所以最小值为．
法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上，
圆的直径为，
由圆周角的性质可得，所以，，
连接，可得（当为与圆的交点时取等号），
在中，，，，
根据余弦定理可知，
即，所以的最小值为．
故选：B.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A. 平均数为3B. 标准差为
C. 众数为2D. 85%分位数为5
【答案】AD
【解析】由平均数的计算公式，可得，
所以A正确；
由方程的公式，可得，
所以标准差为，所以B错误；
由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C错误；
将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得，
所以第85百分位数为5，所以D正确.
故选：AD.
10. 有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A. B. 与相互独立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】ACD
【解析】对A：，故A正确；
对B：，，
则，故与不相互独立，故B错误；
对C：，，
则，故与相互独立，故C正确；
对D：，
则，故与相互独立，故D正确.
故选：ACD.
11. 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ）
A. 平面
B. 直线与平面所成的角为60°
C. 若点为棱上动点，则的最小值为
D. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
【答案】AC
【解析】A选项，连接，由对称性可知，⊥平面，
且相交于点，为和的中点，
又，故四边形为菱形，故，
又平面，平面，
所以平面，正确；
B选项，连接，则相交于点，
因为四边形为正方体，故，
由A选项，同理可得四边形为菱形，故，
又，平面，故平面，
故直线与平面所成的角为，
且由题意得，，故，
故，错误；
C选项，由题意得，，故只需最小，
在等边三角形中，当为的中点时，⊥，此时最小，
且，故若点为棱上动点，则的最小值为，正确；
D选项，，其中到平面的距离为，
设菱形的面积为，则，，
若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，某学校共有教师200人，按老年教师、中年教师、青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为______ .
【答案】
【解析】由图知，青年教师的比例为，所以青年教师被抽出的人数为．
故答案为：.
13. 抛两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为x，y，则x，y，3能够构成三角形三边长的概率为__________.
【答案】
【解析】抛两枚骰子，所有的情况有36种，由x，y，3构成三角形的三边长，
得，
当，有5种情况：；
当（的情况只需与互换即可，即两种情况相同）时，
若；若，；若，；若，；若，，
因此符合条件的共有（种）情况，
所以所求概率为.
故答案为：.
14. 在中，点分别在边和边上，且交于点，设.用表示为__________；若为上一动点且，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】对于①，如图①，因为，，
所以，，
设，则
，
设，则
，
由平面向量基本定理得，，解得，
所以；
对于②，如图②所示，以原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴，
建立平面直角坐标系，则，
因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，
故设点的坐标为，，
所以，，
所以
，
所以当时，有最小值为.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发，航行到位于河对岸B（AB与河的方向垂直）的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
解：如图，
，
，
，
∴合速度的方向与水流的方向成150°的角，
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
，
∴小船航行速度的大小为.
16. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率．
解：（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手”，
则，，
事件与相互独立，与相互独立，
则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手”，
，
即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是.
（2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则，
依题意，，，相互独立，，，相互独立，
且，，，彼此互斥，
，
，
，
故“”的事件的概率为.
17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准(吨)，一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨)，估计的值，并说明理由.
解：（1）由频率分布直方图可得
，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
.
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：
（万）.
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，
月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，
，解得，
即标准为5.8吨.
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）∵平面，平面，∴，
又四边形是矩形，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴，
又是的中点，，∴，
∵，所以平面.
（2）∵底面是矩形，∴，
∴异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，
由（1）得平面，∴平面，
∵平面，∴，∴为直角三角形，
又是的中点，，∴，
∴在中，即为异面直线与所成角，故，
∴异面直线与所成角的正切值为.
（3）取中点为，连接，，
在中，分别为线段的中点，故，
∵平面，∴平面，
∴，
由（1）得平面，∵平面，∴，
∵，∴，又，∴，
∴，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得：，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
（1）试将写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；
（3）计算：的值.
解：（1）由于，故，
则.
（2）设模为1的复数为，
则
，
由复数乘方公式可得，
故，.
（3）首先证明：
，
由于，
则，
则
，
故，
则可得
，
，
所以
.