[数学][期末]辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，.
故选：D.
2. 已知，则的值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】，.
故选：B.
3. 已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为圆锥的底面半径是1，高为，所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为.
故选：D.
4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对A，，其定义域为，设，
因为，故其为偶函数，故A错误；
对B，，其定义域为，设，
则，则其为奇函数，且最小正周期为，
故B正确；
对C，，其最小正周期为，故C错误；
对D，，其最小正周期为，故D错误.
故选：B.
5. 将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，，
令，得，
当时，.
故选：A.
6. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】C
【解析】对A，若，，则或与异面，故A错误；
对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误；
对C，若，，则，又因为，则，故C正确；
对D，若，，，当 都与的交线平行时，满足题设条件，
此时，故D错误.
故选：C.
7. 已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】线段中点纵坐标为，则点在第二象限，而，
则有点的横坐标为，
点在角的终边上，则点在角的终边上，
，，
所以.
故选：A.
8. 已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】在中，，由，
得，
则，即，
以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系，
则，设，，，
由，得，解得，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的共轭复数为
B. 若为纯虚数，则
C. 若，则
D.
【答案】ABD
【解析】对A，根据共轭复数的概念知的共轭复数为，故A正确；
对B，若为纯虚数，则，解得，故B正确；
对C，举例，满足，但，故C错误；
对D，设，，其中，
则，
则，
，
所以.
故选：ABD.
10. 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的最小正周期为，其图象的对称轴为
C. （其中和的取值使各项都有意义）
D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，则
【答案】AC
【解析】依题意，，当时，，
对于A，，A正确；
对于B，函数，的最小正周期为，
其图象的对称轴为，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由余弦定理得
，D错误.
故选：AC.
11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A. 该三棱台的体积为
B. 若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为
C. 若点在棱上，则的最小值为
D. 该三棱台内半径最大球的体积为
【答案】BC
【解析】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接，
则，高，
三棱台的体积，A错误；
对于B，在上分别取点，使，连接，
而，则四边形均为平行四边形，
即，，
而平平面，平面，则平面，
同理平面，
又，因此为平面截该三棱台所得的截面，
而，又，则为正三角形，，
截面面积，B正确；
对于C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接，
由选项B知，等腰底边，
而边的中点到点的距离，
因此当点为线段与的交点时，的最小值为，C正确；
对于D，体积为的球半径，，解得，该球的直径，
则此球不可能在正三棱台内，D错误.
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.）
12. 已知向量，，若，则实数____.
【答案】3
【解析】由题意得，解得.
故答案为：3.
13. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____.
【答案】
【解析】因为，则，
由函数在区间上单调递增，
可得，求得，则，故的最大值为.
故答案为：.
14. 已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为____；该三棱锥外接球的表面积为____.
【答案】
【解析】过作于，过在平面内作，则平面，
又平面，于是平面平面，平面平面，
因此在平面内的射影为，而，
点到平面的距离，当且仅当时取等号，
三棱锥的体积；
取的中点，连接，由，
得，
因此三棱锥的外接球的球心为，半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积.
故答案为： .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知，角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
解：（1）在中，由及正弦定理，得，
而，即，因此，即有，又，
所以.
（2）由余弦定理，得，
又，则，
所以的面积.
16. 如图，在直三棱柱中，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：.
解：（1）在直三棱柱中，
因为平面平面，所以，
又因为平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）连接，由（1）可知平面，
因为平面，所以，
因为，所以，
又因为在正方形中，
平面，，
所以平面，
又因为平面，所以，即.
17. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元.
（1）求，两点间距离；
（2）设铺设电缆总费用为.
①求的表达式；
②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度.
解：（1）在中，由，得，
解得，
则，
由正弦定理，得，
所以，两点间的距离.
（2）①在中，由正弦定理得，
解得，，
所以.
②令，则，则，
其中锐角由确定，于是，
则有，而，解得，当且仅当时取等号，
即当时，有最小值，
所以总费用的最小值为万元，此时的长度为.
18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为中点.
（1）证明：平面；
（2）若，.
①求二面角的余弦值；
②求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）连接，交于点，连接，
因为底面为菱形，所以为的中点，
因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）①因为，所以为等边三角形，
取的中点，连接，则，
在中，作交于点，
所以为二面角的平面角，
在中，因为，所以，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理，
所以二面角的余弦值为.
②设点在平面内的射影为点，
则为直线与平面所成的角，
因为，所以，
所以，所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，平面，
所以平面，且，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.
（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；
（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
解：（1）是R上的“完美三角形函数”，
，
因为，所以，
所以，
因为“”是“为上的“完美三角形函数”的充要条件，
所以函数是R上的“完美三角形函数”.
（2）因为，
所以
，且，
因为，所以，
所以的最大值为1，最小值为，
①当时，，
由，得；
②当时，，满足题意；
③当时，，
由，得，
综上，实数的取值范围是.
（3）因为，则，所以，
由，得，则，又因为，故，
假设存在满足题意的三个点，则，
且，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，与矛盾，
故不存在点满足题意.