[数学][期末]四川省成都蓉城联考2023-2024学年高一下学期期末考试试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]四川省成都蓉城联考2023-2024学年高一下学期期末考试试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据平面向量减法运算可得
.
故选：A.
3. 在中，，则（ ）
A. B. 16C. 32D.
【答案】B
【解析】根据题意，，
所以，，
所以.
故选：B.
4. 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示.知，则平面图形的面积为（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】C
【解析】画出梯形的原图，如图所示：
在直观图中，，
得，则在原图中，，，
四边形是直角梯形，
所以.
故选：C.
5. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数是奇函数
D. 函数在区间上的最大值为
【答案】B
【解析】图像向左平移个单位长度得函数，
再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，
其最小正周期为，A选项错误；
由，得，在上单调递减，B选项正确；
，为偶函数，C选项错误；
当时，，所以单调递减，
最大值为，D选项错误.
故选：B.
6. 某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：
在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（ ）
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
【答案】D
【解析】设的面积为，底面水平放置时，液面高为，
侧面水平放置时，水的体积为，
当底面水平放置时，水的体积为，
于是，解得，
所以当底面水平放置时，液面高为，
故降雨量等级为暴雨.
故选：D.
7. 如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆锥轴截面如图所示，
设圆柱的底面半径为，，由可知，，即，
所以，
故被挖去的圆柱的侧面积为，
当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为．
故选：C.
8. 在中，，点满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，易知为等腰直角三角形且，
取中点为，则，又点满足，则点在直线上，
所以，
由，则，结合图知，所以.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是两条不同的直线，是平面，若，则的关系可能为（ ）
A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面
【答案】ABD
【解析】如图，在正方体中，
若是平面，为，为，此时与平行，故A正确；
在正方体中，若是平面，为，为，
此时，故B正确；
若，不可能与垂直和相交，故C错误；
在正方体中，若是平面，为，为，
此时与异面，故D正确.
故选：ABD.
10. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则角
B. 存在，使成立
C. 若，则为等腰或直角三角形
D. 若，则有两解
【答案】ACD
【解析】选项A：由正弦定理得：又余弦定理得
故又故故选项A正确；
选项B：因在中，故故选项B错误；
选项C：当时，或即或
故为等腰或直角三角形，故选项C正确；
选项D：又则若，
则有两解正确，故选项D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥的体积为定值
C.
D. 与所成的角为
【答案】ABC
【解析】对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，
则，
又平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
因为为的中点，所以在的中垂线上，
所以，故A正确；
对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点，
所以点到平面的距离即为到平面的距离，
即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，又，
所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，连接，则，
又在正方体中，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，故C正确；
对于D，连接，
在正方体中，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，所以即为与所成的角，
又是正三角形，所以与所成的角为，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知为共线向量，且，则__________.
【答案】
【解析】根据为共线向量，且，则，解得.
故答案为：.
13. 在中，分别为的中点，交于点.若，，则__________.
【答案】
【解析】因为在中，、分别为、的中点，交于点，
则为的重心，所以
，
由平面向量数量积的定义可得，
故，
，
，
又，由余弦定理可得
．
故答案为：．
14. 降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆，即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径.若这样的点存在，则这个多边形有外接圆，若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2.的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为__________；轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：高､母线长､底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题.观察图象，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法，正棱台可以看作由圆台切割得到.研究问题：如图，正三棱台的高为1，上､下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________.
【答案】5
【解析】连接，
由于且梯形的高，所以，因此，
因此，
，
因此的外接圆半径为，故，
因此的外接圆半径为，故，
因此存在一点到四点距离相等，且距离为，
即腰梯形的外接圆半径为5，
设棱台上下两个三角形的外接圆半径分别为，
由于上､下底面边长分别为和，
由正弦定理可得，
因此圆台的轴截面为等腰梯形，且其上下底边长分别为6和8，高为1，
根据第一问的结论可知，该圆台的外接球半径为5，故外接球的体积为.
故答案为：5 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是棱长为2的正方体.
（1）求三棱锥的体积；
（2）若是的中点，是的中点，证明：平面.
解：（1）三棱锥由正方体截去四个全等的三棱锥而得，
故.
（2）因为为和的中点，
在中，，
平面，平面，
所以平面.
16. 已知向量满足，，且在上的投影向量为.
（1）求及的值；
（2）若，求的值.
解：（1）因为，，且在上的投影向量为，
所以，所以，
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，即，
得，解得．
17. 记的内角的对边分别为，若，且.
（1）求及；
（2）若点在边上，且，求的面积.
解：（1）由得：，
，
，，故，
由于，所以，
由正弦定理以及可得，所以.
（2），
，
，
，
由于，，所以，解得或（舍去），
所以.
18. 在平行四边形中，分别为中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
解：（1）取中点，连接和，
因为，分别为，的中点，所以，且，
又，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以．平面，平面，
故平面.
（2）由于在平行四边形中，
分别为的中点，
所以，则，
因此，又，故，
由于二面角为直二面角，所以平面平面且两平面的交线为，
又平面，故平面，
平面，故平面平面.
（3）由于平面平面且两平面的交线为，，平面，
故平面，
由（2）知平面，平面，故，
设点到平面的距离为，则，
故，
设与平面所成角为，则.
19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.
（1）已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标；
（2）在中，，借助研究成果，直接写出的最小值；
（3）已知点，求的费马点的坐标.
解：（1），绕着点顺时针旋转，
即逆时针旋转，代入公式，
，
所以，
则点的坐标为.
（2）由费马点的求法知：
绕着点顺时针旋转，与重合，，
所以为等边三角形，
连接，的最小值为，由勾股定理得.
（3）通过材料可以知道，内部有一点，连接，
将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，
此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角，
即此时点满足，
又由题设，可知为等腰三角形，且，
根据费马点求法知：点在中垂线上，
且是顶角为的等腰三角形，所以，
故，则.
24小时降雨量（精确到）
降雨等级
小雨
中雨
大雨
暴雨