2023-2024学年甘肃省武威七中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年甘肃省武威七中高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x(2−x)>0}，B={x|x<2}，则( )
A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. A⊆BD. B⊆A
2.设ab>0，则“a>b”是“1a<1b“的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
3.设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A. y=4x−1B. y=5x−2C. y=4x−2D. y=5x−3
4.“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是( )
A. 25B. 35C. 27D. 37
5.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，直线AC1⊥平面A1BM，则点M的位置是( )
A. 点DB. 点D1C. DD1的中点D. 不存在
6.已知f(x)=2x−1,x<1, x2,x≥1,若f(a)=1，则实数a的值为( )
A. 1B. 4C. 1或4D. 2
7.某地区有8000名学生参加某次考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布N(110,σ2)，若P(90≤X≤110)=0.45，则估计该地区学生本次考试数学成绩在130分以上的人数为( )
A. 300B. 400C. 600D. 800
8.已知偶函数f(x)定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)且x1，x2∈(−∞,0)上有f(x1)−f(x2)x1−x2>0(x1≠x2)，若f(−1)=0，则不等式f(x)<0的解集是( )
A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为x(单位：千克)，当季该种作物的亩产量为y(单位：百千克)．
现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到y关于x的经验回归方程为y =0.17x+a ，模型II为非线性经验回归方程y =c+d x，经计算可得此方程为y =1.63+0.99 x，另外计算得到模型I的决定系数R2≈0.75和模型II的决定系数R2≈0.88，则( )
A. a =2.84
B. 模型II的拟合效果比较好
C. 在经验回归方程y =0.17x+a 中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y​一定增加0.17个单位
D. 若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上
10.下列四个命题中假命题是( )
A. ∀x∈R，x2+3<0B. ∀x∈N，x2>1
C. ∃x∈Z，使x5<1D. ∃x∈Q，x2=3
11.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”.现有一如图所示的“暂堵”ABC−A1B1C1，其中AB⊥BC，若BB1=AB=2，BC=1，则( )
A. 该“堑堵”的体积为2
B. 该“堑堵”外接球的表面积为9π
C. 若点P在该“堑堵”上运动，则|PA|的最大值为2 2
D. 该“堑堵”上，AC1与平面BB1C1C所成角的正切值为2 55
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x>0，y>0，且1x+y=2，则yx的最大值为______．
13.如图，二面角α−l−β的大小为60°，其棱l上有两个点A，B，线段AC与BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=3，AC=2，BD=2，则C，D两点间的距离为______．
14.已知函数f(x)=ex+e−x−2csx，则不等式f(2x−1)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A={x|2x−3x+5<0}，B={x|x2+ax+b≤0}且满足A∩B=⌀，A∪B={x|−516.(本小题15分)
已知6件产品中有4件合格品和2件次品，现从这6件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取2件，设采用有放回的方式抽取的2件产品中合格品数为X，采用无放回的方式抽取的2件产品中合格品数为Y．
(Ⅰ)求P(X≤1)；
(Ⅱ)求Y的分布列及数学期望E(Y)；
(Ⅲ)比较数学期望E(X)与E(Y)的大小．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex+ax−e，a∈R(注：e=2.718281…是自然对数的底数)
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)只有一个极值点，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
(1)求证：PA//平面EDB；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
19.(本小题17分)
为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%．

(1)求图1中m的值；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
参考答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.B
8.B
9.AB
10.ABD
11.ABD
12.1
13. 13
14.(−1,1)
15.解：因为A={x|2x−3x+5<0}={x|−5又A∩B=⌀，A∪B={x|−5故B={x|32≤x≤2}，即x=2，x=32是方程x2+ax+b=0的根，
所以−a=2+32=72，b=2×32=3，
故a=−3.5，b=3．
16.解：(Ⅰ)采用有放回的方式，每次抽到正品的概率都是23，
所以P(X⩽1)=1−P(X=2)=1−(23)2=59；
(Ⅱ)采用无放回的方式，Y的可能取值为0，1，2，
P(Y=0)=C22C62=115，
P(Y=1)=C41C21C62=815，
P(Y=2)=C42C62=615=25，
Y的分布列为：
所以E(Y)=0×115+1×815+2×615=43；
(Ⅲ)当采用有放回的方式时，X～B(2,23)，
则E(X)=2×23=43，
所以E(X)=E(Y)．
17.解：(1)当a=1时，f(x)=ex+x−e，
f′(x)=ex+1，
所以f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为f′(0)=2，
又f(0)=1−e，
所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y−f(0)=f′(0)(x−0)，
即y−(1−e)=2(x−0)，
所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1−e．
(2)若f(x)只有一个极值点，则f′(x)=0只有一个根，
所以方程ex+a=0只有一个根，
即ex=−a只有一个解，
即y=−a与y=ex只有一个交点，
所以−a>0，
所以a<0，
所以a的取值范围为(−∞,0)．
18.解：(1)证明：如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，∴PA//EO．
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA/​/平面EDB；
(2)证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂平面ABCD，∴PD⊥DC．
∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．
又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①
由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．
又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．
又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC．
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；
(3)由(2)知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C−PB−D的平面角．
由(2)知，DE⊥EF，PD⊥DB．
设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a，BD= 2a，PB= PD2+BD2= 3a，
PC= PD2+DC2= 2a，DE=12PC= 22a，
在Rt△PDB中，DF=PD⋅BDPB=a⋅ 2a 3a= 63a．
在Rt△EFD中，sin∠EFD=DEDF= 22a 63a= 32，∴∠EFD=π3．
故平面CPB与平面PBD的夹角的大小为π3．
19.解：(1)由题意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1，
解得m=0.015；
(2)数学成绩优秀的有100×50%=50人，不优秀的人100×50%=50人，
经常整理错题的有100×(40%+20%)=60人，
不经常整理错题的是100−60=40人，经常整理错题且成绩优秀的有50×70%=35人，
则补全2×2列联表如下：
零假设为H0：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得χ2=100(35×25−15×25)250×50×60×40=256>3.841，
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． x
1
2
4
6
11
13
19
y
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
不经常整理
合计
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
Y
0
1
2
P
115
815
25
数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理
35
25
60
不经常整理
15
25
40
合计
50
50
100