2023-2024学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )
A. 圆面B. 矩形面
C. 梯形面D. 椭圆面或部分椭圆面
2.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是0.4、0.5，则两人都能成功破译的概率是( )
A. 0.2B. 0.3C. 0.45D. 0.9
3.若z1=2+i，z2=3−i，则z1z2=( )
A. 7−iB. 7+iC. 5−iD. 5+i
4.在△ABC中，b= 2,B=30°,C=45°，则c=( )
A. 6B. 2 33C. 1D. 2
5.小波一星期的总开支(单位：元)分布如图1所示，一星期的食品开支(单位：元)分布如图2所示，则小波一星期的肉类开支占总开支的百分比为( )
A. 33%B. 11%C. 10%D. 1%
6.已知α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列结论正确的是( )
A. 若a⊥α，a/​/b，则b⊥αB. 若a/​/α，b/​/α，则a/​/b
C. 若a⊥α，a⊥b，则b/​/αD. 若a/​/α，a⊥b，则b⊥α
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2B=2sin2C，则C的最大值等于( )
A. 2π3B. π6C. π4D. π3
8.如图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A，B，C，D是其中四个圆的圆心，则AB⋅CD=( )
A. 24B. 26C. 28D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于向量的概念运算叙述正确的是( )
A. 若a与b都是单位向量，则a=b
B. 若用有限线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合
C. (AB+CD)+BC=AD
D. 若a在b上的投影向量是c，则a⋅b=a⋅c
10.已知i为虚数单位，复数z=2i1−i，则下列结论正确的是( )
A. z的共轭复数为1+iB. z的虚部为−i
C. |z|= 2D. z在复平面内对应的点在第二象限
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列结论正确的是( )
A. BO⊥AC
B. BO//平面ACD1
C. 点B到平面ACD1的距离为 33
D. 直线BO与直线AD1的夹角为π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知AB=(2,3),BC=(x,−6)，若A，B，C三点共线，则x= ______．
13.从长度为2、3、5、7、11的5条线段中任取3条，这三条线段能构成一个三角形的概率为______．
14.某半球形容器如图①所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图②所示，则小球的表面积等于______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°．
(1)求a⋅(a−2b)；
(2)若a+b与a−λb垂直，求实数λ的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 3bcsA=asinB．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2 7,b+c=10，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC；
(2)若PA=AC=2BC，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值．
18.(本小题17分)
为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样的方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图(如图所示)．

(1)求a的值，并估计该校男生每天在校平均体育活动时间的中位数(保留一位小数)；
(2)若该校有1130人，试估计该校学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数．
19.(本小题17分)
如图，某景区有景点A，B，C，D，经测量得，BC=6km，∠ABC=120°，sin∠BAC= 2114,∠ACD=60°,CD=AC．
(1)求景点A，D之间的距离；
(2)现计划从景点B处起始建造一条栈道BM，并在M处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点A，D的视角∠AMD=120°.为了节约修建成本，求栈道BM长度的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.D
5.C
6.A
7.D
8.B
9.BC
10.CD
11.ABC
12.−4
13.15
14.(16−8 3)π
15.解：(1)因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°，
所以a⋅b=|a||b|cs60°=3×2×12=3，
所以a⋅(a−2b)=a2−2a⋅b=9−2×3=3；
(2)因为a+b与a−λb垂直，
所以(a+b)⋅(a−λb)=a2+(1−λ)a⋅b−λb2=0，
即9+3(1−λ)−4λ=0，解得λ=127．
16.解：(1)由 3bcsA=asinB，根据正弦定理得 3sinBcsA=sinAsinB，
因为在△ABC中，B∈(0,π)，可得sinB>0，
所以 3csA=sinA，可得tanA=sinAcsA= 3，结合A∈(0,π)，可得A=π3；
(2)在△ABC中，a=2 7,b+c=10，A=π3，
根据余弦定理a2=b2+c2−2bccsπ3，可得28=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，
所以3bc=(b+c)2−28=100−28=72，可得bc=24，
因此，△ABC的面积S=12bcsinA=12×24× 32=6 3．
17.解：(1)证明：因为PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，又因为AB⊥BC，PA∩AB=A，且PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
又因为BC⊂平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC；
(2)由(1)知平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，
过A作AN⊥PB，与PB交于点N，则AN⊥平面PBC，
所以AM在平面PBC上的射影为MN，
即∠AMN为直线AM与平面PBC所成角，
令PA=AC=2BC=2，
所以AB= AC2−BC2= 3，PB= PA2+AB2= 7，
AN=PA⋅ABPB=2× 3 7=2 3 7，
又因为M是PB的中点，所以AM=12PB= 72，
所以MN= AM2−AN2= 74−127= 714，
在直角三角形ANM中，tan∠AMN=ANMN=2 3 7 714=4 3，
所以AM与平面PBC所成角的正切值为4 3．
18.解：(1)根据题意可得(a+0.02+0.035+0.02+a+0.005)×10=1，∴a=0.01，
∴估计该校男生每天在校平均体育活动时间的中位数为：
60+0.5−0.1−≈65.7(min)；
(2)样本中男生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数为120×(0.35+0.2+0.1+0.05)=84；
样本中女生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数为80×(0.3+0.2+0.1+0.05)=52，
∴样本中学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为84+52120+80=0.68，
∴若该校有1130人，试估计该校学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的人数为：1130×0.68=768.4≈768．
19.解：(1)因为ACsin120∘=BCsin∠BAC⇒AC 32=6 2114⇒AC=6 7，
因为∠ACD=60°，CD=AC，
所以△ACD为正三角形，
所以AD=6 7．
(2)设△AMD的外心为O，连接OC交AD于点O1，
则ADsin120∘=2R⇒R=2 21，
所以O1O= R2−(3 7)2= 21，O1C=O1O+OC= 21+6 7× 32=4 21，
所以BM的最小值为BO−R=BO−2 21，
所以sin∠BAC= 2114．
所以cs∠BAC=5 714，
所以sin∠ACB=sin(∠BAC+120°)= 2114⋅(−12)+5 714⋅ 32= 217，
所以cs∠ACB=2 77，
所以cs∠BCO=cs(∠ACB+π6)=2 77⋅ 32− 217⋅12= 2114，
因为BO2=(4 21)2+62−2×4 21×6× 2114=300，
所以BM的最小值为10 3−2 21，