2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(1−i)z=3+i(i为虚数单位)，则z−在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//α，m⊥n，则n⊥α
3.一个圆台的上、下底面的半径为1和4，母线为5，则该圆台的体积为( )
A. 14πB. 21πC. 28πD. 35π
4.已知向量a，b不共线，且向量λa+b与a+(2λ−1)b方向相同，则实数λ的值为( )
A. 1B. −12C. 1或−12D. 1或−13
5.如图，△O′A′B′是△OAB在斜二测画法下的直观图，其中O′B′=2O′A′=4，则△OAB的面积是( )
A. 2 2
B. 4
C. 8
D. 8 2
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acsB−bcsA=c，且C=2π5，则∠B=( )
A. π5B. π10C. 3π10D. 2π5
7.设{e1,e2}是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 2e1+e2和e1−e2B. 3e1−e2和2e2−6e1
C. e1+3e2和e2+3e1D. e1和e1+e2
8.已知平面向量a=(1,0),b=(−1,2)，则a在b上的投影向量为( )
A. (15,−25)B. (−15,25)C. (− 55,2 55)D. ( 55,−2 55)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两根，其中b，c∈R.若x1=−3+2i(i为虚数单位)，则( )
A. x1+x2=−6B. b+c=19
C. x1⋅x2=−13D. |x1−x2|2=(x1−x2)2
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有( )
A. 若A=45°，a=2 3，b=4，则△ABC有两解
B. 若a2+b2>c2，则△ABC为锐角三角形
C. 若ccsB=bcsC，则△ABC为等腰三角形
D. 若B=60°，b2=ac，则△ABC为等边三角形
11.如图，三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=2PB=2PC=2，则( )
A. BC⊥PA
B. 三棱锥P−ABC的体积为23
C. 点P到平面ABC的距离为23
D. 三棱锥P−ABC中的外接球的表面积为3π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正三棱柱ABC−A′B′C′中，AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为______．
13.已知直线l外一点A(−1,0,2)，直线l过原点O，且平行于向量m=(0,4,2)，则点A到直线l的距离为______．
14.如图，已知ABCD−A′B′C′D′是长方体.设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的点，且BN=3NC′.设MN=αAB+βAD+γAA′，则α+β+γ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csC(acsB+bcsA)=c．
(1)求csC的值；
(2)若c=2 2，△ABC的面积为 2，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知z=m2−12m+32+(m2−4m)i，其中m∈R．
(1)若z为纯虚数，求z的共轭复数；
(2)若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．
17.(本小题15分)
某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
(1)小王获得了以下信息：
a.教学楼AB和体育馆CD之间有一条笔直的步道BD；
b.在步道BD上有一点M，测得M到教学楼顶A的仰角是45°，到体育馆楼顶C的仰角是30°；
c.从体育馆楼顶C测教学楼顶A的仰角是15°；
d.教学楼AB的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度CD．

(2)小李获得了以下信息：
a.体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米
b.大屏幕的高度PQ是2米
c.当观众所站的位置N到屏幕上下两端P，Q所张的角∠PNQ最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道BD上观看屏幕效果最佳地点N的位置．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1，
(i)求二面角P−DM−B的余弦值；
(ii)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
n个有次序的实数a1，a2，…，an所组成的有序数组(a1,a2,⋯,an)称为一个n维向量，其中ai(i=1,2⋯,n)称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量a=(a1,a2,⋯,an)，若|ai|=1(i=1,2,⋯,n)，称a为n维信号向量.设a=(a1,a2,⋯,an)，b=(b1,b2,⋯,bn)，则a和b的内积定义为a⋅b=i=1naibi，且a⊥b⇔a⋅b=0．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量x1，x2，…，xk满足它们的前m个分量都是相同的，求证： km0，则csC=13．
(2)由于csC=13，则sinC= 1−cs2C=2 23，
△ABC的面积为 2，则12ab⋅sinC= 2，所以ab=3．
由已知及余弦定理得a2+b2−2ab⋅csC=8，所以a2+b2=10，
从而(a+b)2=16，a+b=4，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+2 2．
16.解：(1)z=m2−12m+32+(m2−4m)i，
则m2−12m+32=0m2−4m≠0，解得m=8，
z=32i，
所以z的共轭复数为−32i．
(2)z在复平面内对应的点在第二象限，
则m2−12m+320，解得4