2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学等校高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年辽宁省鞍山市第一中学等校高一下学期7月期末考试数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与−20 ∘角终边相同的角是( )
A. −300∘B. −280 ∘C. 320 ∘D. 340∘
2.函数f(x)=−2tan2x+π6的定义域是( )
A. xx≠π6B. xx≠−π12
C. {x|x≠kπ+π6,(k∈Z)}D. {x|x≠kπ2+π6,(k∈Z)}
3.已知复数z满足1+iz= 3−i，则z=( )
A. 1−iB. 1+iC. 2−2iD. 2+2i
4.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形△OAB的直观图为如图所示的△O′A′B′，已知△O′A′B′是边长为2的等边三角形，则顶点B到x轴的距离是( )
A. 2 6B. 4C. 2 3D. 2 2
5.已知函数fx=sin2ωx+π6+sin2ωx−π6+2cs2ωx−1(ω>0)，则下列结论正确的是( )
A. 若fx相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2；
B. 若ω=1，则x∈0,π2时，fx的值域为−1,1；
C. 若fx在0,π2上单调递增，则0<ω≤23；
D. 若fx在0,π上恰有2个零点，则1112≤ω<1712．
6.已知α=20∘，则tanα+4sinα的值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
7.设m、n为空间中两条不同直线，α、β为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为( )
A. 若m上有两个点到平面α的距离相等，则m//α
B. 若m⊥α，n⊂β，则“m//n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件
C. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
D. 若m、n是异面直线，m⊂α，m//β，n⊂β，n//α，则α//β
8.如图，在正四面体ABCD中，E，F是棱CD上的三等分点，记二面角C−AB−E，E−AB−F，F−AB−D的平面角分别为θ1，θ2，θ3，则( )
A. θ1=θ2=θ3B. θ1<θ2<θ3C. θ1=θ3>θ2D. θ1=θ3<θ2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. p:“α是第二象限角或第三象限角”，q:“csα<0”，则p是q的充分不必要条件
B. 若α为第一象限角，则csα 1+cs2α+sinα 1−cs2α= 22
C. 在▵ABC中，若tanA⋅tanB>1，则▵ABC为锐角三角形
D. 已知α∈0,π4，且cs2α= 53，则tanα=3− 52
10.下列有关向量的命题正确的是( )
A. 若a,b,c均为非零向量，且a⋅b=a⋅c，则b=c
B. 已知单位向量a,b,c满足2a+3b+4c=0，则a⋅b=14
C. 在▵ABC中，若ABAB+ACAC⋅BC=0，且ABAB⋅ACAC=12，则▵ABC为等边三角形
D. 若点P在▵ABC所在平面内，且OP=OB+OC2+λABABcsB+ACACcsC,λ∈R，则点P的轨迹经过▵ABC的外心．
11.如图，已知正三棱台ABC−A1B1C1由一个平面截棱长为6的正四面体所得，AA1=2,M,M1分别是AB,A1B1的中点，P是棱台的侧面AA1B1B上的动点(包含边界)，则下列结论中正确的是( )
A. 该三棱台的体积为38 23
B. 平面MM1C1C⊥平面AA1B1B
C. 直线CP与平面AA1B1B所成角的正切值的最小值为 2
D. 若CP=2 7，则点P的轨迹的长度为2π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，且a2+c2−b2= 2ac,ac=4，则AB⋅BC= ．
13.四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的正方形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=35PD，若PF=λPC且满足BF//平面ACE，则λ=
14.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且▵ADE,▵BCF均为正三角形，EF//CD,EF=4，则该木楔子的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=6，且满足bcsC=a+ 33csinB．
(1)求角B；
(2)若角B的角平分线交AC于点D,BD= 3，点E在线段AC上，EC=2EA，求▵BDE的面积．
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=6，AB=10，cs∠CAB=35，AA1=8，点D是AB的中点．
(1)求证：AC1//平面CDB1;
(2)求证：AC⊥BC1;
(3)求三棱锥A1−B1CD的体积．
17.(本小题15分)
已知向量a=(csx,2sinx),b=(2csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)=a⋅b在[0,π]上的单调递减区间；
(2)若fx0=115，且x0∈π6,π3，求cs2x0的值；
(3)将g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位，然后再向上平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，当x∈0,π2时，方程g(x)=m有一解，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asinπ2x+φ(A>0,φ<π)的图象如图所示，点B，D，F为fx与x轴的交点，点C，E分别为fx的最高点和最低点，而函数fx在x=−12处取得最小值．
(1)求参数φ的值；
(2)若A=1，求向量2BC−CD与向量BC+3CD夹角的余弦值；
(3)若点P为fx函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，BP⋅PF≥1恒成立，求A的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．

(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2，∠ACB=60∘，点F在BD上；
①点F为BD中点，求CF与AB所成角的余弦值；
②当▵AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．
参考答案
1.D
2.D
3.B
4.A
5.D
6.B
7.D
8.D
9.ACD
10.BCD
11.ABC
12.−2 2
13.13
14.32π3或323π
15.解：(1)因为bcsC=a+ 33csinB，
所以由正弦定理得sinBcsC=sinA+ 33sinCsinB，
所以sinBcsC=sin[π−(B+C)]+ 33sinCsinB，
所以sinBcsC=sin(B+C)+ 33sinCsinB，
所以sinBcsC=sinBcsC+csBsinC+ 33sinCsinB，
所以csBsinC+ 33sinCsinB=0，
因为sinC≠0，所以csB+ 33sinB=0，
所以tanB=− 3，
因为B∈0,π，所以B=2π3；
(2)因为角B的角平分线交AC于点D，
所以∠CBD=∠ABD=12∠ABC=π3，
因为BD= 3，所以由S▵ABC=S▵BCD+S▵ABD，得
12acsin2π3=12a⋅ 3sinπ3+12c⋅ 3sinπ3，
所以ac= 3(a+c)，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accs2π3，所以(a+c)2−ac=36，
所以(a+c)2− 3(a+c)−36=0，解得a+c=4 3或a+c=−3 3(舍去)，
所以ac=12，解得a=c=2 3，
所以BC=BA，
因为角B的角平分线交AC于点D，所以BD⊥AC，
因为EC=2EA，所以DE=1，
所以S▵BDE=12×1× 3= 32．

16.(1)证明：设B1C与BC1交于点E，则E为BC1的中点，连接DE，则在△ABC1中，DE//AC1，又DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1/​/平面CDB1．
(2)证明：在△ABC中，由余弦定理BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcs∠CAB求得BC=8，
∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC．
又∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，CC1，BC⊂平面BCC1，
∴AC⊥平面BCC1．
∵BC1⊂平面BCC1，∴AC⊥BC1．
(3)解：在△ABC中过点C作CF⊥AB，垂足为F，
∵平面ABB1A1⊥平面ABC，且平面ABB1A1∩平面ABC=AB，CF⊂平面ABC，
∴CF⊥平面ABB1A1
易知S△DA1B1=12A1B1⋅A1A=40，CF=AC⋅BCAB=245，
∵VA1−B1CD=VC−A1DB1，∴VA1−B1CD=13×40×245=64．
17.解：(1)因为f(x)=a⋅b=2cs2x+2 3sinxcsx=cs2x+1+ 3sin2x=2cs(2x−π3)+1，
所以2kπ≤2x−π3≤π+2kπ,即kπ+π6≤x≤2π3+kπ
又因为x∈0,π，所以函数f(x)在0,π上的单调递减区间为π6,2π3
(2)若fx0=115则2cs(2x0−π3)+1=115，所以cs(2x0−π3)=35．
因为x0∈π6,π3，所以2x0−π3∈0,π3，
所以sin(2x0−π3)= 1−cs2(2x0−π3)=45，
所以cs2x0=cs(2x0−π3+π3)=cs2x0−π3csπ3−sin2x0−π3sinπ3=35×12−45× 32=3−4 310
故cs2x0=3−4 310．
(3)将f(x)=2cs(2x−π3)+1图象上所有的点的纵坐标变为原来的12，再向下平移1个单位，最后再向右平移π6个单位得到函数g(x)的图象，
即：y=2cs(2x−π3)+1→各点纵坐标变为原来的的12y=cs2x−π3+12
→再向下平移1个单位y=cs2x−π3−12→向右平移π6个单位g(x)=cs2x−2π3−12
则g(x)=cs2x−2π3−12，
当x∈0,π2时，2x−2π3∈−2π3,π3
由方程gx=m有一解，可得m的取值范围为m∈−1,0∪12．

18.解：(1)因为函数fx在x=−12处取得最小值，则π2×−12+φ=−π2+2kπ，k∈Z，
得φ=−π4+2kπ，k∈Z，由φ<π，所以φ=−π4；
(2)因为A=1，所以fx=sinπ2x−π4，
则B12,0，C32,1，D52,0，
则2BC−CD=1,3，BC+3CD=4,−2，
所以csθ=2BC−CD⋅BC+3CD2BC−CDBC+3CD=− 210；
(3)因为点P是fx上的动点，fx=Asinπ2x−π4，
B12,0，F92,0，
又因为BP⋅PF≥1恒成立，
设Px,Asinπ2x−π4，
BP=x−12,Asinπ2x−π4，PF=92−x,−Asinπ2x−π4，
BP⋅PF=x−1292−x−Asinπ2x−π4⋅Asinπ2x−π4
=−x2+5x−94−A2sin2π2x−π4，
易知y=−x2+5x−94,x∈32,72在x=32或x=72处有最小值，
y=A2sin2π2x−π4,x∈32,72在x=32或x=72处有最大值，
所以当x=32或x=72时，BP⋅PF有最小值，
即当点P在C或E处时，BP⋅PF有最小值，此时P32,A或P72,−A，
当P32,A时，BP=1,A，PF=3,−A，
所以BP⋅PF=3−A2≥1，得− 2≤A≤ 2，
又A>0，则0当P72,−A时，BP=3,−A，PF=1,A，
所以BP⋅PF=3−A2≥1，得− 2≤A≤ 2，
又A>0，则0综上，A∈0, 2

19.解：(1)∵AD=CD，E为AC的中点，∴AC⊥DE，
在▵ABD和△CBD中AD=CD,∠ADB=∠CDB,DB=DB，
∴▵ABD≅▵CBD，∴AB=CB，又E为AC的中点，
∴AC⊥BE，又DE,BE⊂平面BDE，DE∩BE=E，
∴AC⊥平面BDE，
又∵AC⊂平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；
(2)

①取BF的中点M，BC的中点N，连接MN,ME,NE，则AB//NE，CF//MN，
∴∠MNE(或其补角)为CF与AB所成的角，
由∠ACB=60∘且AB=CB，∴▵ABC是 等边三角形，则AB=BC=2,BE= 3，
由AD⊥CD且AD=CD，E为AC的中点，
∴在等腰直角△ADC中DE=AE=EC=1，CD= 2 ，
在▵BDE中，DE=1,BE= 3,BD=2，所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE，
又sin∠DBE=DEBD=12，∴∠DBE=30∘，
在▵BEM中，由余弦定理得EM2=BE2+BM2−2BE⋅BM⋅cs∠EBM，
即EM2=3+14−2× 3×12cs30∘=74，∴EM= 72，
在▵BCD中，BD=BC=2,CD= 2，由余弦定理得cs∠CBD=4+4−22×2×2=34，
在▵BCF中，CF2=BC2+BF2−2BC⋅BF⋅cs∠CBF，
即CF2=4+1−2×2×1×34=2，∴CF= 2，故MN= 22，
在▵MNE中，EM= 72，EN=1，MN= 22，
故cs∠ENM=1+12−742×1× 22= 28，
∴CF与AB所成角的余弦值为 28．
②连接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，EF⊂平面BED，
∴AC⊥EF，则S▵AFC=12AC⋅EF，
当EF⊥BD时EF最小，即▵AFC的面积最小．
∵AC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴AC⊥BD，
又∵AC⊂平面ACF，EF⊂平面ACF，AC∩EF=E，
∴BD⊥平面ACF，
又∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACF，
过点C作CQ⊥AF于Q(或交AF延长线)，
∵平面ABD∩平面ACF=AF，CQ⊂平面ACF，
∴CQ⊥平面ABD，∴∠CFA(或其补角)为CF与平面ABD所成的 角，
由▵ABD≅▵CBD知AF=CF，∴EF⊥AC，
在直角▵BED中，BE= 3,DE=1,BD=2，所以EF=BE⋅DEBD= 32，
在直角▵FEA中，AE=1,EF= 32，∴AF= AE2+EF2= 72，
在等腰▵AFC中，AF=CF= 72，AC=2，∴cs∠AFC=74+74−42× 72× 72=17，
∴sin∠AFC= 1−cs∠AFC2=4 37，
∴CF与平面ABD所成的角的正弦值为4 37．