人教A版选择性必修第一册高中数学第2章 圆与方程 第二课时　圆的一般方程【课件】

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第2章 圆与方程第二课时　圆的一般方程课标要求1.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程，并能用圆的一般方程解决简单问题.素养要求通过推导圆的一般方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究 内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU问题导学预习教材 必备知识探究1一、圆的一般方程的定义1.思考　(1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？(2)如果方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆，有什么条件？D2＋E2－4F>0D2＋E2－4F0)，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显.(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显.(3)3.做一做　若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.4二、点与圆的位置关系1.填空　已知点M(x0，y0)和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：>＝1B即26a0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数为1.训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别 为__________________；(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.9π例2 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5). (1)求这个三角形外接圆的一般方程；题型二　圆的一般方程的求法解　法一　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵此圆过A，B，C三点，∴r2＝10.∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.联立解得圆心坐标为(－2，2).设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.(2)并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系.解　∵M(1，2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－10，∴点N(4，5)在圆外.∵Q(2，3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，∴点Q(2，3)在圆外.本题法一、法二中采用了待定系数法.用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程.训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标.解　设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).将A，B，C三点坐标代入上式得∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，∴△ABC的外接圆圆心为(－3，1)，即△ABC的外心坐标为(－3，1).题型三　求动点的轨迹方程角度1　直接法求轨迹方程角度2　代入法求轨迹方程例4 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.角度3　定义法求动点的轨迹方程例5 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.化简，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.特别提醒　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0).设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).课堂小结1.牢记2个知识点(1)圆的一般方程.(2)点与圆的位置关系.2.重点掌握3种方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法.(2)待定系数法求圆的方程.(3)代入法求轨迹方程的一般步骤.3.注意1个易错点易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件.TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG拓展延伸分层精练 核心素养达成31.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)A.8π B.4π C.2π D.πC2.(多选)下列结论正确的是(　　 )ABD解析　A，B显然正确；C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1，3)；D正确.3.(多选)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定经过(　 　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限ABCCA.x2＋y2－2x＋4y＝0B.x2＋y2＋2x＋4y＝0C.x2＋y2＋2x－4y＝0D.x2＋y2－2x－4y＝0∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　)A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5B.(x＋4)2＋(y－1)5＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5C6.已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是____________.(－∞，－13)解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.7.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为__________________.x2＋y2－8x＋6y＝08.过原点O作圆x2＋y2－8x＝0的弦OA，延长OA到N，使OA＝AN，则点N的轨迹方程为________________.x2＋y2－16x＝0化简，得x2＋y2－16x＝0.所以点N的轨迹方程为x2＋y2－16x＝0.9.已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程.解　设M(x，y)，∵A(12，0)，M为PA的中点，∴P(2x－12，2y).∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.解　法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，　　　 　 　①解②③⑤联立成的方程组，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.法二　求得PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.①∵所求圆的圆心C在直线①上，故设其坐标为C(a，a－1)，AC12.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是____________；最长弦所在直线的方程为____________.x＋y－1＝0x－y－1＝013.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作▱MONP，求点P的轨迹.解　如图所示，又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.14.若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　)B