2024省哈尔滨六校高二下学期期末联考试题数学含解析

这是一份2024省哈尔滨六校高二下学期期末联考试题数学含解析，共21页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A 2B. 6C. 2或6D. 2或507
2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ）
A. B. 1C. 3D. 6
3. 若定义在上的函数有，则的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）
A. 180B. 360C. 720D. 1440
5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数在上单调递增B. 函数至少有2个极值点
C. 函数在上单调递减D. 函数在处取得极大值
6. 已知随机变量，若，，则（ ）
A. 15B. C. D.
7. 已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项
10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFxpr三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ）
A. 事件A与B相互独立B. 事件A与C不是互斥事件
C. D.
11. 已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量的分布列，则______．
13. 已知是函数的两个极值点，若，且的极小值为整数，则______．
14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则__________，__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）若，求值；
（2）若，求m的值．
16. 已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：
（1）试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？
（2）如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．
参考数据：取，，，．若，则，，．
，．
18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．
（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：
①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
19. 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.数学（分）
119
145
99
95
135
120
122
85
130
120
物理（分）
84
90
82
84
83
81
83
81
90
82
0.10
0.05
0.025
0010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
2023～2024学年度下学期六校高二期末联考试卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. 2B. 6C. 2或6D. 2或507
【答案】D
【解析】
【分析】通过组合数的性质即可得到答案.
【详解】由题意知或所以或
故选：D．
2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ）
A. B. 1C. 3D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用残差的定义求解.
【详解】解：因为时的预测值为，
所以残差为．
故选：B．
3. 若定义在上的函数有，则的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由导函数定义可得，再利用导函数求单调减区间即可.
【详解】，
，，
由，解得，
故的单调递减区间是.
故选：C.
4. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）
A. 180B. 360C. 720D. 1440
【答案】D
【解析】
【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可.
【详解】先将甲、乙排为一列，有种方法，
再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法，
根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为．
故选：D．
5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数在上单调递增B. 函数至少有2个极值点
C. 函数在上单调递减D. 函数在处取得极大值
【答案】D
【解析】
【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可.
【详解】由的图象可知：当或时，；当时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
则函数有且仅有两个极值点，
结合选项可知：ABC正确；D错误；
故选：D.
6. 已知随机变量，若，，则（ ）
A. 15B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可.
【详解】因为，，
所以，
即，所以，
所以．
故选：A．
7. 已知函数有3个不同的零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得，得出函数的单调性与极值，结合有3个不同的零点，列出不等式，即可求解．
【详解】由函数，可得，
令，解得或，
令，解得或；令，解得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
又由，，
要使有3个不同的零点，则，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：D．
8. 小明在某不透明的盒子中放入4红4黑八个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下7个小球中取出两个小球，结果都是红球，则丢掉的小球也是红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由条件概率求出即可.
【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为红球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，
则，，
由全概率公式可得
，
所以，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：条件概率公式为，全概率公式为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）
A. 第4项B. 第5项C. 第6项D. 第7项
【答案】CD
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质即可求解.
【详解】因为的展开式中第4项与第9项的二项式系数相等，所以；所以，
由于展开式中项的系数与二项式系数相等，故展开式中系数最大的项为第6项和第7项．
故选：CD．
10. 甲、乙、丙、丁4人每人随机选取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFxpr三种编程语言之一进行学习，每种编程语言至少有1人学习，A表示事件“甲学习VisualBasic编程语言”；B表示事件“乙学习VisualBasic编程语言”；C表示事件“乙学习VisualC＋＋编程语言”，则（ ）
A. 事件A与B相互独立B. 事件A与C不是互斥事件
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件和互斥事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D.
【详解】4人选择3种编程语言之一，每种编程语言至少有1人学习，共有种安排方案，
甲学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualBasic编程语言、乙学习VisualC+＋编程语言，
各有种方案，∴；
甲、乙均学习VisualBasic编程语言，有种方案，∴；
甲学习VisualBasic编程语言且乙学习VisualC＋＋编程语言，有种方案，∴，
对于A，∵，∴事件A与B不相互独立，故A错误；
对于B，∵，∴事件A与C不是互斥事件，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意分析可知4为的周期，关于对称，关于点对称，进而判断AB；分析可知4为的周期，但没有充分条件求，进而判断CD.
【详解】因为为偶函数，则，
即，可知关于对称，
又因为偶函数，则，可知关于对称，
且，则，即，
可得关于点对称，且，
则，可知4为的周期，
由，可得，即，
则，
即，
所以，，故AB正确；
因为，则，即，
可知4为的周期，
又因为，则，
即，可知关于点对称，
但没有充分条件求，故无法求CD选项的值，故CD错误；
故选：AB.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量的分布列，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分布列的性质概率之和为可求.
【详解】已知（），
则由分布列的性质可得
，
解得，
故答案为：.
13. 已知是函数的两个极值点，若，且的极小值为整数，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】因为有两个极值点，所以有两个变号解，结合韦达定理得出，又因为，联立得出又因为，所以得出或再利用的极小值为整数即可得出答案.
【详解】由题意知是的两根，所以
且又所以
所以即解得或
当时，此时的极小值为不合题意；
当时，此时的极小值为符合题意．
故
故答案为：.
14. 五一小长假，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去某景点游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：一个会走路的机器人从一数轴上的原点出发沿该数轴行走，游客可以设定机器人总共行走的步数n，机器人每一步会随机选择前或向后行走，且每一步的距离均为一个单位，设机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，则__________，__________.
【答案】 ①. ##0.3125 ②.
【解析】
【分析】X表示向右移动的次数，则，再根据二项分布即可得到回到原点的概率，找到与X关系，得到，由二项分布的方差结合方差性质再计算方差即可.
【详解】设X表示向右移动的次数，则.
若运动6步回到原点，则向左，右各移动3次，
所以回到原点的概率.
因为机器人走完设定的n步后所在位置对应数为随机变量，X表示向右移动的次数则表示向左移动的次数，
则，
则，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）若，求的值；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）通过赋值法求系数和；
（2）通过二项式定理的通项求参数值．
【小问1详解】
在中，
取，得，
取，得，
以上两式相减，得．
【小问2详解】
的通项为，
若，可得，
所以，解得或．
16. 已知函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
【答案】（1）
（2）极大值为，极小值为.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；
（2）通过函数的导数研究函数的单调性，再求出函数极值点，求得极值.
【小问1详解】
由，的定义域为，
得，
所以，又，
所以在点处的切线方程为，即；
【小问2详解】
，
由，得，或，
当或时，，在上均单调递增；
当时，，在上单调递减；
故函数在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为.
故函数有极大值，也有极小值，极大值为，极小值为.
17. 光明高级中学高三年级理科考生800人都参加了本学期的期中调研测试，学校把本次测试数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等第定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等第定为优秀．现从理科考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩，如下表：
（1）试列出列联表，并依据的独立性检验分析能否认为本次测试理科考生的数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第是否优秀有关？
（2）如果本次测试理科考生的物理成绩，用样本估计总体，以10名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的800名理科考生中随机抽取4人，求这4人中至少有1人的物理成绩的等第优秀的概率．
参考数据：取，，，．若，则，，．
，．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意完善列联表，求，并与临界值对比分析；
（2）根据题意求平均数和方差，结合正态分布求，进而利用对立事件分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：列联表为
零假设：数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关，
可得，
依据小概率值独立性检验，可以推断成立，
即数学成绩的等第优秀与物理成绩的等第优秀无关.
【小问2详解】
由题意可得，物理成绩的平均分为（分）；
方差，
结合题意可知：，即，则，
可得，
记“4人中至少1人物理成绩的等第优秀”为事件A，则为“人物理成绩的等第都是非优秀”，
故，
所以4人中至少1人物理成绩的等第优秀的概率为.
18. 2024年4月25日—4月29日，“与辉同行”开启了一场深入中原的文化之旅，让河南文旅打开了流量密码．某景区趁此时机，举行五一游该景区网上购票抽奖活动，在网上购买该景区门票的游客，可通过手机扫景区提供的二维码进入抽奖活动页面，每张门票可从6个减免红包中随机抽取2个，6个红包的金额分别为5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知该景区门票每张120元，全部实行网上购票．
（1）记购买1张门票的游客通过抽奖获得的红包金额之和为X，求X的分布列与期望；
（2）已知每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，举行此抽奖活动后预计可使该景区五一期间客流量增加40%，假设每位购票游客都进行了抽奖，回答下列问题并说明理由：
①举行抽奖活动后该景区在五一期间的门票收入是增加了，还是减少了？
②举行抽奖活动后该景区在五一期间的总收入是增加了，还是减少了？
【答案】（1）分布列见解析，40
（2）①减少了；②增加了
【解析】
【分析】（1）问先求随机变量的分布列，再求期望；
（2）问通过随机变量的期望求总收入，再判断总收入是否增加．
【小问1详解】
由题意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．
，，
，，
，，
，，
所以X的分布列为
【小问2详解】
①假设不举行抽奖活动，该景区在五一期间客流量为n人，则门票收入为120n元，
举行抽奖活动后该景区在五一期间门票收入为，
所以举行抽奖活动后该景区五一期间门票收入减少了．
②每位游客除门票外平均在该景区消费30元、40元、60元的概率分别为，，，
则期望值为．
不举行抽奖活动，该景区在五一期间总收入为，
举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入为，
所以举行抽奖活动后该景区在五一期间总收入增加了
19. 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，
（i）求证：函数与上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）借助导数，分及讨论即可得；
（2）（i）结合定义，令，构造函数，借助导数研究其单调性，结合零点的存在性定理即可得证；（ⅱ）原问题可转化为证明，构造函数，借助导数求出其在上的最大值即可得.
【小问1详解】
，
当时，对任意恒成立，故函数在上单调递增；
当时，令，得；令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
（i）令，得，得，
设，则，
设，则，
当时，，单调递减，
即在上单调递减，且，，
故，使得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，，
所以在上只有一个零点，故函数在上只有一个零点，
即函数与在上存在“单交点”；
（ii）因为，所以要证，即证，
即证，只需证，
因为，得，
所以只需证即可，
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，即，
原不等式即证.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，从而消去参数，将转化为.
数学（分）
119
145
99
95
135
120
122
85
130
120
物理（分）
84
90
82
84
83
81
83
81
90
82
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5024
6.635
7.879
物理优秀
物理非优秀
总计
数学优秀
2
4
6
数学非优秀
0
4
4
总计
2
8
10
X
10
15
20
35
40
65
70
90
P