2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级上学期数学10月月考试题及答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级上学期数学10月月考试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题3分，共计30分）
1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；
B、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意，
C、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
D、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
2. 在△ABC中，BC=15cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm，则最长边是（ ）
A. 18cmB. 21cmC. 24cmD. 19.5cm
【答案】B
【解析】
【分析】△ABC中BC边最短，故这两个三角形的相似比为15:5=3:1，再根据最长边为63，即可求出另一个和它相似的三角形的最长边.
【详解】根据题意这两个三角形的相似比为=3，
∴另一个和它相似的三角形最长边是=21cm，故选B.
【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是找到三角形的相似比.
3. 如果∠α是等边三角形的一个内角，那么csα的值等于（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】解：∠α是等边三角形的一个内角，所以
故选： A
4. 菱形的对角线，，那么为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，再由菱形对角线互相垂直且平分的性质即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
由题意得，， ， ，
则 ．
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，属于基础题，掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解答本题的关键．
5. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线为顶点式，直接根据二次函数的性质得到顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k，则抛物线的对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
6. 在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（ ）
A. 60B. 30C. 240D. 120
【答案】D
【解析】
【分析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
【详解】如图所示，
由tanA＝，
设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，
由题意得：12x+5x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴BC＝24，AC＝10，
则△ABC面积为120，
故选D．
【点睛】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD：AD=1：4，则tan∠BCD的值是 （ ）

A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：∵BD：AD=1：4，设BD=x，则
∴AD=4x．
在△ACD和△CBD中，∠A+∠B=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD．
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ADC∽△CDB．
∴，
∴CD2=AD•BD．
∴CD=2x．
那么tan∠BCD=．
故选C．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.锐角三角函数的定义．
8. 如图，、分别是的、上的点，则下列条件不能判定与相似的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个分析判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
B．∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
C．∵条件，，不能判定与相似，
故该选项不正确，不符合题意；
D．∵，
∴，故该选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9. 把抛物线向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是．故选D．
10. 如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．其中正确的说法共有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图形的s轴判断行驶的总路程，从而得到①错误；根据s不变时为停留时间判断出②正确；根据平均速度=总路程÷总时间列式计算即可判断出③错误；再根据路程÷时间=速度结合图象的实际意义判断出④错误．
【详解】解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，①错；
从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2－1.5＝0.5小时，②对；
汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为：240÷4.5＝千米/时，③错．
汽车自出发后3小时至4.5小时，速度为120÷（4.5-3）=80千米/时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，速度不变，④错．
综上所述：正确的说法共有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了从函数图像获取信息和处理信息，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，理解转折点的实际意义是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 两个等边三角形的边长比为3，则它们的周长比为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个等边三角形相似，相似三角形的相似比为3，
∴它们的周长比为3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查相似比的性质，解题的关键是熟知相似三角形的周长比等于相似比．
12. 已知α为锐角,且sin (90°-α)=,则csα=____.
【答案】
【解析】
【详解】根据规律：sin (90°-α)=csα,易得csα=.
13. 小明的身高是，他的影长是．同一时刻古塔的影长是，则古塔的高是__________．
【答案】48
【解析】
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出古塔高度即可列方程解答．
【详解】解：设古塔高度为，列方程得：
，
解得．
故旗杆的高度为．
故答案为：48．
【点睛】本题考查了相似三角形，解题的关键是根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，点D为AC的中点，则BD=_____cm．

【答案】5
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AC．
【详解】解：∵∠ABC=90°，点D为AC的中点，
∴BD=AC=×10=5cm．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记直角三角形斜边中线性质是解题的关键．
15. 如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为_______m(结果保留根号)．
【答案】5＋5
【解析】
【分析】作CE⊥AB于点E，则△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的长，然后在Rt△ACE中利用三角函数求得AE的长，进而求得AB的长，即为大树的高度．
【详解】如图，过点C作CE⊥AB于点E，

在Rt△BCE中，
BE＝CD＝5m，
CE＝＝5（m），
在Rt△ACE中，
AE＝CE·tan 45°＝5（m），
AB＝BE＋AE＝5＋5（m）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
16. 如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点，交于点，，，，__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作，交于点H，首先证明出，得到，然后由三角形中位线性质得到，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】过点E作，交于点H，如下图：
∵
∴
又∵
∴
∴
∵，
又∵四边形是平行四边形，且为的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形相似相关知识，以及三角形的中位线性质，能根据题意画出辅助线，找出等量关系是解题关键．
17. 在中，，，是线段上一点，，在上取一点，使以、、为顶点的三角形与相似，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意分两种情况讨论：和，然后根据相似三角形的相似比列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴分两种情况进行讨论：
①当时，，
即，
解得：；
②当时，，

即，
解得：；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定，分情况讨论是解决本题的关键．
18. 如图，在四边形中，，，，，则__________．

【答案】##
【解析】
【分析】延长于点E，利用三角函数求得，的长，设，则，根据勾股定理可得的长，从而得到，， 进而得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长于点E，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴， ，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，构造辅助线得到直角三角形是解题的关键．
三、解答题（共66分）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或
（2）无解
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解；
（2）先化为整式方程，解方程即可求解，注意最后要检验．
【小问1详解】
解：
或
解得：或
【小问2详解】
解：
方程两边同时乘以得，
解得：
经检验，是原方程的增根，则原方程无解．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的步骤与方法是解题的关键．
20. 解三角形：

（1）在中，，，，则__________；
（2）如图，在中，已知，，，__________．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理即可得到答案；
（2）过点作，交于点，再利用勾股定理即可求得的长．
【小问1详解】
解：由题可作图如下：

在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得：，
故答案为：．
【小问2详解】
解：过点作，交的延长线于点，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理并能够利用勾股定理构造直角三角形是解题的关键．
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=，
，
∵，
∴把代入得，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键．
22. 在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【答案】（1）画图见解析；（2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．
【解析】
【分析】（1）延长MA到A′使AA′=MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′所作；
（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；
【点睛】本题考查作图-位似变换．
23. 在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发．
（1）经过多少秒？
（2）经过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似．
【答案】（1）经过秒
（2）经过秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似．
【解析】
【分析】（1）设，，根据勾股定理列出方程即可求出和，设经过t秒后，然后用t表示出和，根据相似三角形的性质列方程即可求出结论；
（2）设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似，根据有两组对应边成比例及其夹角相等的两个三角形相似，列出比例式，即可求出结论．
【小问1详解】
解：设，，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，，
设经过t秒后，，，，
∴，即，
解得：，
∴经过秒；
【小问2详解】
解：设经过x秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似，
∵，
∴要使以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似，具备或=就行，代入得：或，
解得：或，
答：经过秒或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和相似三角形的判定定理，掌握三角形的面积公式和相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
24. 阅读下列材料，回答问题
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得用到的几何知识是___________；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】（1）①；②
（2）相似三角形的判定与性质
（3）最大宽度为，见解析
【解析】
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点，用测角仪在点处测得，在点处测得；用皮尺测得；
求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
【小问1详解】
∵， ，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故小水池的最大宽度为．
【小问2详解】
根据相似三角形的判定和性质求得，
故答案为：相似三角形的判定与性质．
【小问3详解】
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点处测得；

（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池最大宽度为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．
25. 应用题：哈尔滨经纬手机卖场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示，手机卖场计划购进两种手机若干部，共需万元，预计全部售出后可获利润共万元．
（1）经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
（2）通过市场调研，手机卖场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，天耀手机卖场怎样进货，才能在手机全部售出后获得最大的利润？并求出最大利润．
【答案】（1）经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各20，30部；
（2）当经纬手机卖场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部售出后获利最大，最大利润为万元；
【解析】
【分析】（1）设经纬手机卖场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据题意列方程即可求解；
（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加部，根据购进这两种手机的总资金不超过16万元，可求出a的取值范围，设手机全部售出后获得的利润为W万元，根据题意即可求解．
【小问1详解】
解：设经纬手机卖场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，
根据题意，得，解得，
答：经纬手机卖场计划购进甲、乙两种手机各20，30部；
【小问2详解】
解：设甲种手机减少a部，则乙种手机增加部，
根据题意，得，
解得：；
设手机全部售出后获得的利润为W万元，根据题意，得
，
∵，
∴W随a的增大而增大，
∴当时，W有最大值，，
答：当经纬手机卖场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部售出后获利最大，最大利润为万元；
【点睛】本题考查二元一次方程应用和不等式的应用，正确理清题意是关键．
26. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，将沿轴翻折，交轴正半轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点是线段上一点，连接，交轴于点，设点的横坐标为，设的面积为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，过点向作垂线，交于点，延长线交于点，连接并延长，交于点，且，过点作轴的垂线，与延长线于，与延长线于点，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出待定系数法求解析式，即可求解；
（2）依题意，点的坐标为，则均是等腰直角三角形，，根据即可求解；
（3）过点作轴，过点作于点，证明得出，设,则，，则，即可得出，，求得直线的解析式为，得出，即可求解．
【小问1详解】
解：由折叠的性质得：，
∵，
∴点,
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∵，
∴均等腰直角三角形，，
∴，,
∴，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作轴，过点作于点，
∵，是等腰直角三角形，
设
∵ ，，
∴，,
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴,
设,则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，则
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，则，
∵直线的解析式为；则,
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，则，
即，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
任务：测量一个扁平状小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，；
（ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程：
由测量知，， ，，，
∴，又∵①___________，
∴，∴．
又∵，∴②___________．
故小水池的最大宽度为___________．
甲
乙
进价（元/部）
4000
2500
售价（元/部）
4300
3000