2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市九年级上学期数学月考试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，四象限，则m的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个实数中，是无理数的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是有限小数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、是无理数；
D、，是整数，属于有理数．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2. 观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】A是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
D既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，即轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
3. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方与幂的乘方运算，同底数幂的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
4. 如图，该几何体由6个大小相同的小立方体搭成，此几何体的俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从上面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
5. 在反比例函数y= 图象位于二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A. m≥ B. m≤C. m＜D. m＞
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象的位置先判断k值，再求解.
【详解】解：反比例函数图象位于二、四象限，
则k<0，即1-3m<0
m>.
故选D
【点睛】此题重点考查学生对反比例函数图象性质的理解，掌握反比例函数性质是解题的关键.
6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△AB′C′，BC与B′C′交于点P，则∠B′PC的度数为（ ）
A. 100°B. 120°C. 140°D. 160°
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据三角形内角和定理求出，再根据平角定义得出答案．
【详解】如图，根据题意可知，．
∵，，且，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等，求出∠DPC的度数是解题的关键．
7. 如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C，直线DF分别交，，于点D，E，F，AC与DF相交于点H，则下列式子不正确的是（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到或，然后利用比例性质得到，于是可对各选项进行判断．
【详解】解：∵直线，
∴，故A正确，不符合题意；
，故B正确，不符合题意；
，故C正确，不符合题意；
，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8. 如图，沿AC方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，若在AC上取一点B，使∠ABD＝145°，BD＝500米，∠D＝55°．要使A、C、E成一条直线，开挖点E与点D的距离是（ ）米．
500sin55°B. 500cs55°
C. 500tan55°D. 500cs35°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠E=90°，再根据锐角三角函数值求出答案．
【详解】∵∠ABD=145°，∠D=55°，
∴∠AED=145°-55°=90°．
在Rt△BDE中，BD=500米，得，
即DE=500cs55°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形应用，确定直角三角形是解题的关键．
9. 如图，A，B，C，D为上的点，于点E，若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角等于圆周角的两倍可求出的度数，在中根据已知条件求出的长度，再根据垂径定理即可求出的长度．
【详解】∵
∴，
∴
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理和垂径定理．根据垂径定理得到线段、弧相等是解题的关键．
10. 随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》一书也随之热销．如果一次性购买10本以上，超过10本的那部分书的价格将打折，并依此得到付款金额y（单位：元）与一次性购买该书的数量x（单位：本）之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A. 一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本
B. a＝520
C. 一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折
D. 一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花80元
【答案】D
【解析】
【分析】A、根据单价＝总价÷数量，即可求出一次性购买数量不超过10本时，销售单价，A选项正确；C、根据单价＝总价÷数量结合前10本花费200元即可求出超过10本的那部分书的单价，用其÷前十本的单价即可得出C正确；B、根据总价＝200+超过10本的那部分书的数量×16即可求出a值，B正确；D，求出一次性购买20本书的总价，将其与400相减即可得出D错误．此题得解．
【详解】解：A、∵200÷10＝20（元/本），
∴一次性购买数量不超过10本时，销售价格为20元/本，A选项正确；
C、∵（840﹣200）÷（50﹣10）＝16（元/本），16÷20＝0.8，
∴一次性购买10本以上时，超过10本的那部分书的价格打八折，C选项正确；
B、∵200+16×（30﹣10）＝520（元），
∴a＝520，B选项正确；
D、∵200×2﹣200﹣16×（20﹣10）＝40（元），
∴一次性购买20本比分两次购买且每次购买10本少花40元，D选项错误．
故选D．
【点睛】考查了一次函数的应用，根据一次函数图象结合数量关系逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
11. 把113000000用科学记数法表示为________________．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：113000000=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
12. 在函数y=中，自变量x的取值范围是 ______．
【答案】x≠.
【解析】
【详解】分析：根据分式有意义的条件，使分母不为0，列不等式求解即可.
详解：因2x-3≠0
∴x≠.
故答案为x≠.
点睛：此题主要考查了函数的自变量的取值范围，关键是观察函数的特点，利用分式有意义的条件为分母不为0求解.
13. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的减法，化简第二个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
14. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解．
【详解】解：

故答案为：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法是解题的关键．
15. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】分别解不等式，然后确定其解集的公共部分为不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解不等式组，掌握解不等式组的步骤正确计算是解题关键．
16. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第37840个图案中的“”的个数是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题是图形规律探索问题；第1个图案中有（个），第2个图案中有（个），第3个图案中有（个），第4个图案中有（个），…，每次增加3个六边形，由此规律，即可求解．
【详解】解：第1个图案中有（个），第2个图案中有（个），第3个图案中有（个），第4个图案中有（个），…，一般地，第n个图案中六边形的个数为：；则第37840个图案中的六边形的个数是；
故答案为：．
17. 将抛物线y＝（x+1）2﹣2向右平移1单位，得到的抛物线与y轴的交点的坐标是_____．
【答案】（0，﹣2）
【解析】
【分析】根据顶点式确定抛物线y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），于是得到移后抛物线解析式为y＝x2﹣2，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
把点（﹣1，﹣2）向右平移1个单位得到点的坐标为（0，﹣2），
所以平移后抛物线解析式为y＝x2﹣2，
所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．
故答案为（0，﹣2）．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18. 已知一个扇形的面积是，圆心角为，则此扇形的半径为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】利用扇形面积公式直接代入求出r即可．
【详解】∵扇形的圆心角为150°，它的面积为15π，
∴设扇形的半径为：r，
∵，
∴15π，
解得：．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了扇形面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
19. 在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】过D作DE⊥AB于E，先根据含30°的直角三角形的性质得到DE、AE的值，再解直角三角形得到AB=5或者AB=1，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△BDE中，
∵，
∴ ，
如图1，AB=3+2=5，
行四边形ABCD的面积=AB•DE= ；
如图2，AB=3-2=1，
∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE= ；
故答案为：或
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用，30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
20. 如图，在中，，，点D在下方，连接、，，若，，则线段的长度为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形性质，证明三角形全等是解题的关键；分别过A、B作的垂线，垂足分别为，由题意得，则是的中点，则有；再证明，则；在中由勾股定理可求得，进而得，由勾股定理求得，从而由勾股定理求得．
【详解】解：如图，分别过A、B作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴是的中点，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
则，
在中，由勾股定理得，
在等腰中，由勾股定理得．
故答案为：．

三、解答题
21. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角三角函数的混合运算，二次根式分母有理化；先按运算顺序计算分式，再求得m的值，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
；
而，
当时，原式．
22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的；
（2）画出绕点顺时针旋转90°后得到；
（3）在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了作图：作图形的平移、作图形的旋转，求弧长；
（1）分别作出A、B、C三个顶点平移后的对应点，并依次连接即可；
（2）分别作出点旋转后的对应点，并依次连接即可；
（3）由勾股定理求得，由旋转知，由弧长公式即可求解．
小问1详解】
解：两次平移后的图形如下：
【小问2详解】
解：旋转后的图形如下：
【小问3详解】
解：如图，，且，
∴．
23. 为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A．速度滑冰，B．冰尜，C．雪地足球，D．冰壶，E．冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
请解答下列问题：
（1）这次被抽查的学生有多少人？
（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中B类活动扇形圆心角的度数是______；
（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？
【答案】（1）这次被抽查的学生有60人
（2）补图见解析，120°
（3）200人
【解析】
【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图可知，被抽查的学生人数=A类人数÷A类百分比
（2）用抽查的总人数减去其他项目的人数即可得到D类人数，B类活动圆心角度数=360°×B类所占的百分比．
（3）用全校人数乘以热爱雪地足球的学生所占百分比即可求出全校最喜爱雪地足球的学生有多少人．
【小问1详解】
解：（人）．
答：这次被抽查的学生有60人．
【小问2详解】
解：60-(12+20+8+4)=16(人)
补全图形见图，
360°×=120°，B类活动扇形圆心角的度数是120°．
【小问3详解】
解：（人）．
答：全校最喜爱雪地足球的学生有200人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计，结合两个统计同，熟练的求出所需要的数据是解题的关键．圆心角的度数=360°×．
24. 如图，AB是的直径，CD与相切于点C，与AB的延长线交于点D，于点E．

（1）求证：；
（2）若的半径为，，求线段AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，则由切线性质得；由得，结合，由等边对等角及等量代换即可证得结论成立；
（2）设，则可分别表示出，由勾股定理建立方程求得x的值，再证明，利用相似三角形的性质即可求得，进而求得结果．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
∵CD与相切于点C，
∴，
即；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，，
∵，
∴由勾股定理得：，
即：，
解得：；
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识；遇到切线连接切点与圆心是常作的辅助线，证明三角形相似是本题的关键．
25. 三～四月的哈尔滨，冰雪消融，大地回春，正是植树好季节，市政有甲、乙两个植树工程队，甲工程队每天比乙工程队多植树20棵，甲工程队植树480棵和乙工程队植树360棵所用的时间相等.
（1）求甲、乙两工程队每天各植树多少棵？
（2）甲、乙两个工程队工作热情高涨，甲工程队每天比原来多植树10%，乙工程队每天比原来多植树20%，现有植树任务不少于1160棵，且乙工程队植树天数是甲工程队植树天数的2倍，则甲工程队至少植树多少天可以完成任务？
【答案】（1）甲工程队每天植树80棵，乙工程队每天植树60棵
（2）甲工程队至少植树5天可以完成任务
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到数量关系列出方程与不等式是关键；
（1）设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵，根据丙队的时间相等列出分式方程，求解即可，注意检验；
（2）设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天，根据：植树任务不少于1160棵，列出不等式并解之即可．
【小问1详解】
解：设乙工程队每天植树x棵，则甲工程队每天植树棵，
由题意得：，
解得： ，
经检验，是原方程的解，且符合实际，
则甲工程队每天植树（棵）；
答：甲、乙两工程队每天各植树80棵、60棵；
【小问2详解】
解：设甲工程队植树m天可以完成任务，则乙工程队天，
由题意得：，
解得：，
答：甲工程队至少植树5天可以完成任务．
26. 完成下列各题：
（1）如图1，已知在中，，，，连接，请判断线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由：
（2）如图2，已知在中，，，，连接DE，请直接写出的值为______；
（3）①如图3，已知，，，，请直接写出的长为______；
②如图4，中，，，D是平面内一点，，，请直接写出线段的最大值为______．
【答案】（1），理由见解析
（2）113 （3）①；②
【解析】
【分析】（1）连接，设交于点O，证明即可解决；
（2）连接，设交于点O，证明，可得，由勾股定理即可求解；
（3）①过A点在上方作，且，分别连接，则，从而可得，可求得的长；再证明，则，即求得结果；
②过A点在上方作，且，分别连接，则；再证明，则，由即求得最大值．
【小问1详解】
解：，
理由如下：
连接，设交于点O，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
【小问2详解】
解：连接，设交于点O，如图，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
∵，
又，，，
∴，
∴；
故答案为：113；
【小问3详解】
解：①过A点在上方作，且，分别连接，如图，
则，，
∴，
即，
∴；
与（1）同理，，则；
故答案为：；
②过A点在上方作，且，分别连接，如图，
则由勾股定理得；
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题是全等三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，构造适当的辅助线证明三角形全等是关键．
27. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为．
（1）求抛物线解析式；
（2）点D为第四象限抛物线上一动点，连接，点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点D作轴，垂足为点E，连接，当时，点H在抛物线上，原点O关于直线的对称点M恰好落在直线上，求点H的坐标．
【答案】（1）
（2）；t的取值范围为
（3）或
【解析】
【分析】（1）由直线BC的解析式可分别求出点B、C两点的坐标，再由待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）过点D作x轴的垂线交直线BC于点F，设点D的坐标，则可得点F的坐标，从而可表示，利用即可求解；根据点D在第四象限即可确定t的取值范围；
（3）由可求得t的值，得到点E的坐标，则可求得直线的解析式；在线段上取，过M作于G，连接，设中点为N；利用可求得的长，从而求得M的坐标及N的坐标，则求得直线的解析式，与二次函数联立即可求得H的坐标；同理当点M在点C的下方时，可求得H的坐标．
【小问1详解】
解：对于，令，得；令，得；
∴；
把B，C两点坐标分别代入中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：过点D作x轴的垂线交直线于点F，
设点D的坐标为，则点F的坐标为，
∴；
∴
；
∵点D在第四象，
∴；
【小问3详解】
解：由题意知，且，，
∴，
解得：或（舍去），
即点E的坐标为，且，
∴；
设直线的解析式为，把点C、E的坐标分别代入得：，
解得：，
即直线的解析式为；
在线段上取，过M作于G，连接，设中点为N；
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为，
∴点N的坐标为，
设直线的解析式为，把C，N的坐标代入得：，
得：，即直线的解析式为；
与二次函数联立消去y得：，
解得（舍去）
当时，，
∴点H的坐标为；
同理，当点M在点C的下方时，
则，由相似求得，得，由待定系数法求得解析式，
联立直线解析式与二次函数消去y得：，解得（舍去），则点H的坐标为；
综上，点H的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与面积的综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点等知识，本题综合性较强，本题第（3）问由O、M关于对称转化为关于对称，从而在直线上取，这是解题的关键与难点．