第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xM＋xN2－4xMxN).
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
考点1 直线与圆的位置关系
[名师点睛]
1.判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2.弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
3.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
[典例]
1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
2. (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A.圆M的圆心为(4，－3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.过原点的最短弦长为8
D.圆M被y轴截得的弦长为6
(2)(2020·天津卷)已知直线x－eq \r(3)y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.
3.(2022·衡水模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
4.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点A是直线x－y＋2＝0上的一个动点，直线AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围为________．
[举一反三]
1.(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
2.(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为( )
A．6 B．8 C．12 D．16
3.过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.
考点2 圆与圆的位置关系
[名师点睛]
1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
[典例]
1.(2022·长沙模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D．(3,4)
2.圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
3.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
[举一反三]
1.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2.(2022·长沙模拟)已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y－4＝0，圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(11,2)，则这两圆的公共弦长为( )
A．5 B．2eq \r(2) C．2 D．1
3.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点.公共弦|AB|的长为________，经过A，B两点且面积最小的圆的方程为________.
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ0
几何观点
d>r
d＝r
dr1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|