第43讲 空间向量及其运算--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
6.空间位置关系的向量表示
考点1 空间向量的运算及共线、共面定理
[名师点睛]
1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.
(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.
2.(1)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
[典例]
1.(多选)(2022·威海调研)如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c B.eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c－a
C.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a D.eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
2.(2022·天津模拟)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))．
(1)判断eq \(MA,\s\up7(―→))，eq \(MB,\s\up7(―→))，eq \(MC,\s\up7(―→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
[举一反三]
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且eq \(AP,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))＋xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AA1,\s\up7(―→))，则实数x＋y＝( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(3,2)
2.(多选)(2021·武汉质检)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
考点2 空间向量的数量积及其应用
[典例]
如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1)求eq \(EF,\s\up6(→))的模长；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))的夹角.
[举一反三]
如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求证：AC1⊥BD；
(3)求BD1与AC夹角的余弦值.
考点3 利用空间向量证明平行与垂直
[名师点睛]
利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素；
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题．
[注意] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
[典例]
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq \r(5)，AA1＝eq \r(7)，BB1＝2eq \r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1.
[举一反三]
如图，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝eq \r(2)AB，B1C1∥BC且B1C1＝eq \f(1,2)BC，二面角A1­AB­C是直二面角．求证：
(1)A1B1⊥平面AA1C；
(2)AB1∥平面A1C1C．
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2⇔u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2⇔u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n
l∥α
u⊥n⇔u·n＝0
l⊥α
u∥n⇔u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0