高考数学2024年北京高考数学真题平行卷（基础）含解析答案

这是一份高考数学2024年北京高考数学真题平行卷（基础）含解析答案，共17页。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则（ ）
A．iB．C．1D．
3．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0B．1C．D．
4．若，则（ ）
A．100B．110C．120D．130
5．已知非零向量，，，满足，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．设为实数，函数的最小正周期为，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
7．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．若，则（ ）
A．B．
C．D．
10．变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为 ．
12．已知角的终边经过点，则= .
13．过原点的直线l与双曲线交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ．
14．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为10cm，圆柱部分高度为7cm，该陀螺由密度为0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为96g，则此陀螺圆柱底面的面积 ．

15．已知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为，则数列的公比是 .
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．已知满足．
(1)求；
(2)若满足条件①、条件②、条件③中的两个，请选择一组这样的两个条件，并求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
17．如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．某公司为了让职工业余时间加强体育锻炼，修建了一个运动俱乐部，公司随机抽查了200名职工在修建运动俱乐部前后每天运动的时间，得到以下频数分布表：
表一（运动俱乐部修建前）
表二（运动俱乐部修建后）
(1)分别求出修建运动俱乐部前和修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间（同一时间段的数据取该组区间的中点值作代表）﹔
(2)运动俱乐部内有一套与室温调节有关的设备，内有2个完全一样的用电器A，只有这2个用电器A都正常工作时，整套设备才正常工作，且2个用电器A是否正常工作互不影响.用电器A有M，N两种品牌，M品牌的销售单价为1000元，正常工作寿命为11个月或12个月（概率均为）；N品牌的销售单价为400元，正常工作寿命为5个月或6个月（概率均为）.现有两种购置方案：
方案1：购置2个M品牌用电器﹔
方案2：购置1个M品牌用电器和2个N品牌用电器（其中1个N品牌用电器不能正常工作时则使用另一个N品牌用电器）.
试求两种方案各自设备性价比（设备正常运行时间与购置用电器A的成本比）的分布列，并从性价比的数学期望角度考虑，选择哪种方案更实惠?
19．已知椭圆的焦距为2，一个顶点为A（0，2）.
(1)求椭圆E的标准方程及离心率；
(2)过点P（0，3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B、C，直线AB、AC分别交直线于点M、N.求|的值.
20．设，其中，曲线在点处的切线斜率为2.
（1）确定a的值；
（2）求函数的单调区间与极值.
21．已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;
(3)已知数列，求证:.
时间（分钟）
人数
36
58
81
25
时间（分钟）
人数
18
63
83
36
参考答案：
1．A
【分析】根据并集的定义即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．A
【分析】利用复数的乘法可求运算结果.
【详解】,
故选：A
3．D
【分析】利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】圆化简为标准方程为，
圆心为，则圆心到直线的距离.
故选：D
4．C
【分析】利用二项式定理分别求出即可计算得解.
【详解】在中，，，
所以.
故选：C
5．B
【分析】根据充分条件、必要条件及向量的数量积即可得解.
【详解】由，即，不能推出，
当时，，所以成立，
综上，是的必要不充分条件，
故选：B
6．B
【分析】根据正弦函数的周期公式计算即可得到答案.
【详解】由题意可得，则，
故选:.
7．D
【分析】将也化为的指数幂形式，然后结合指数函数单调性比较大小.
【详解】因为，且在上单调递增，
又，所以，
故选：D.
8．C
【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积.
【详解】连接，交点为，如图所示：
，且是公共边，
，，
易得，，
即，又，，
，平面，
平面，又平面，
平面平面.
过点作平面，垂足为，连接，
，，
平面，，，
由是公共边，，
即有，
三点在以为直径的圆周上，
，，，
，
，
.
故选：C
9．D
【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.
【详解】由，
而，则，所以，即，
由，则，即，
综上，.
故选：D
10．A
【分析】确定不等式组表示的平面区域，化简目标函数，利用图象即可求得结论．
【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，
三个交点坐标分别为，目标函数，
即，当目标函数过时取得最大值为9，过时取得最小值为，
所以目标函数的取值范围是，
故选：A.
11．4
【分析】先确定抛物线的标准方程，再根据抛物线的定义求有关距离.
【详解】因为点在抛物线上，所以.
所以，抛物线：，焦点：
所以到焦点的距离：.
故答案为：4
12．##
【分析】利用任意角的三角函数的定义和诱导公式即可求得答案.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
又，
故答案为：.
13．
【分析】根据双曲线渐近线的性质进行求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程可知，该双曲线的渐近线方程为：，
两条渐近线的倾斜角分别为，
当过原点的直线l与双曲线交于两点，根据双曲线渐近线的意义可知直线l的倾斜角的取值范围是，
故答案为：
14．15
【分析】求出陀螺的总体积，设底面半径为r，由圆锥和圆柱的体积公式，列出方程求解作答.
【详解】依题意，该陀螺的总体积为，
设圆柱底面圆半径为r，则，解得，
所以此陀螺圆柱底面的面积为.
故答案为：15
15．4
【分析】根据等比中项，结合等差数列基本量的计算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，数列为等比数列，设公比为，
由，，可得，即为，
即，解得，则.
故答案为：4
16．(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据辅助角公式可得，即可求解，
（2）选择①②，根据正弦定理可得与矛盾，即可求解，选择②③，根据,故，，这与矛盾，再由三角恒等变换及正弦定理、三角形面积公式即可求解，选择①③，根据余弦定理可得，，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由得，所以,
由于，所以
（2）若选①，②，
则,
由正弦定理可得，这与矛盾，故不可以选择①②，
若选①，③，
由余弦定理可得，解得，，
此时，不满足②，符合题意；
此时，
选②，③，
由于,
又,故，
而，故，这与①矛盾，因此可以选择②③；
则，，
由正弦定理可得，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明：取的中点，连接，由题意可证得，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
因为为圆弧的两个三等分点，所以.
因为分别为的中点，所以，
则，从而四边形为平行四边形，
故.因为平面平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，
则.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
18．(1)分钟，分钟.
(2)选择方案2更实惠.
【分析】（1）根据平均数的概念直接求解；
（2）根据分布列以及数学期望的求解方法即可比较两个方案的性价比，从而得出结论.
【详解】（1）修建运动俱乐部前职工每天运动的平均时间为
,
修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间为
.
（2）若采用方案1，设设备正常工作时间为（单位：月），则可能的取值为11,12，
则,,
所以随机变量的分布列如下，
所以,
所以方案1的性价比为，
若采用方案2，设设备正常工作时间为（单位：月），则可能的取值为10,11,12，
则,,
所以,
所以随机变量的分布列如下，
所以,
所以方案2的性价比为，
所以方案2的性价比更高，选择方案2更实惠.
19．(1)，；
(2).
【分析】（1）由已知及椭圆参数关系求出椭圆参数，即可得标准方程和离心率；
（2）由题意可得、且，联立椭圆方程，应用韦达定理及，即可求值.
【详解】（1）由题设，则，故E标准方程为且.
（2）由题设，，则，同理，
而，联立椭圆可得，
所以，可得或，
且，，
所以.
20．（1）；（2）单调增区间为和，单调减区间为；极大值，极小值.
【分析】（1）求出导函数，由可求得；
（2）在定义域内，由确定增区间，确定减区间，然后可得极值，可列表求解．
【详解】解：（1），
依题意，，得.
（2）由（1）知，（），
.
令，得或3.
x，，的变化情况如下表：
故的单调增区间为和，单调减区间为
的极大值，极小值.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数确定函数的单调性、求极值．属于基础．
21．(1).
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；
（2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得充分性成立；再由是递减数列，得到，结合互不相等，得到，得到必要性成立，即可得证；
（3）根据题意，得到，得出，得到，不妨设，则，推得为奇数，矛盾，进而得证.
【详解】（1）解：由题意，数列，
可得，
所以集合，所以.
（2）证明：充分性：若为等差数列，且是递减数列，则的公差为，
当时，，所以，
则，故充分性成立.
必要性:若是递减数列，，则为等差数列，
因为是递减数列，所以，
所以，且互不相等，
所以，
又因为，
所以且互不相等，
所以，
所以，
所以为等差数列，必要性成立.
所以若是递减数列，“”的充要条件是“为等差数列”.
（3）证明：由题意集合中的元素个数最多为个，
即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，故由得到的彼此相异，所以.
11
12
10
11
12
x
2
3
0
0
极大值
极小值