高考数学2024年高考全国甲卷数学(文)真题平行卷（巩固）含解析答案

这是一份高考数学2024年高考全国甲卷数学(文)真题平行卷（巩固）含解析答案，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（巩固卷）
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若为虚数单位，则（ ）
A．iB．C．1D．
2．集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．若实数满足约束条件且二元一次不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．屈原是中国历史上第一位伟大的爱国诗人，中国浪漫主义文学的奠基人，“楚辞”的创立者和代表作者，其主要作品有《离骚》《九歌》《九章》《天问》等.某校于2022年6月第一周举办“国学经典诵读”活动，计划周一至周四诵读屈原的上述四部作品，要求每天只诵读一部作品，则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．已知双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为8，虚轴长为6，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
7．已知函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．1B．C．D．
8．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线：恒过点，过点作直线与圆：相交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
11．设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则m与所成的角和n与所成的角相等．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
12．在中，内角的对边分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．3
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是 ．
14．已知圆台上、下底面半径分别为，侧面积为，则该圆台的体积为 ．
15．若，，则 .
16．若函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题-第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．数列的前项和为，且，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18．某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试.该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
(1)根据列联表分析，是否有的把握认为参数调试改变产品质量？
(2)如果将合格品频率作为产品的合格概率.工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率.（参考数据：）
附：
19．如图所示，四棱锥中，底面与交于点且，点为线段上靠近的三等分点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
20．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
21．已知椭圆上的点到焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线分别交直线于两点，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)当时，求直线的普通方程；
(2)已知点，若直线交曲线于两点，且，求的值．
23．已知正实数a，b满足，设的最大值为m．
(1)求m的值；
(2)若，，求证：．
产品
合格品
淘汰品
调试前
24
16
调试后
48
12
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参考答案：
1．B
【分析】易知，根据复数的四则运算代入计算即可得出结果.
【详解】由，得，
所以，
故选：B．
2．D
【分析】根据代入法求得集合，再根据集合交集的定义求得结果；
【详解】因为，
所以．
故选：D．
3．A
【分析】先画出题给约束条件对应的可行域，利用几何意义求得的最小值，进而求得实数的取值范围.
【详解】由约束条件作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示．

二元一次不等式有解，等价于有解，则．
设，作出直线并平移．
由得即，
由图可知，当直线经过点A时，取得最小值，
所以的最小值为．
所以，即实数的取值范围是．
故选：A．
4．C
【分析】利用古典概型去求周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率
【详解】该校周一至周四诵读屈原的四部作品方法总数为
周一不读《天问》，周三不读《离骚》的方法总数为
则周一不读《天问》，周三不读《离骚》的概率为
故选：C
5．A
【分析】根据等差数列的性质可得，进而可求解.
【详解】由得，所以，
故选：A
6．A
【分析】根据双曲线的定义及性质求解即可.
【详解】依题意可得，，，
所以的离心率为,
故选：A.
7．C
【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式写出直线方程，最后求出三角形面积即可.
【详解】对函数求导得：，
有，又.
所以切线方程为：，整理得.
图像如下图所示：
易知：，
故选：C.
8．C
【分析】根据函数的定义域即可排除求解.
【详解】由于函数的定义域为，故可排除ABD，
故选：C
9．A
【分析】利用两角差的正切公式结合弦化切可得出，再利用二倍角的正切公式可求得的值.
【详解】因为，即，
整理可得，解得，且有
因此，.
故选：A.
10．A
【分析】当直线与垂直时，的值最小，结合勾股定理，即可求得的最小值.
【详解】

由，得直线恒过点，
又，即在圆内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，
所得弦长最短，因为，圆的半径为，
此时.
故选：A
11．D
【分析】①根据或判断；②利用面面垂直的判定定理判断；③只确定一组线线垂直关系，无法确定线面位置关系；④利用线面角的定义判断.
【详解】①若，，则或，故不正确；
②若，则内必存在一条直线，
因为，所以，又因为，则，故正确；
③若，，，则，或或与相交，故错误；
④若，，则m与所成的角和n与所成的角相等，故正确，
故正确的是②④，
故选：D
12．C
【分析】由题意首先通过三角恒等变换变换得，进一步结合正弦定理即可得解.
【详解】因为，，
所以，，为外接圆的半径，
所以.
故选：C.
13．
【分析】先化简函数结合其值域可求答案.
【详解】，
因为，所以，，
，
所以，即.
故答案为：
14．
【分析】根据圆台几何特征可求得圆台的母线，高为，代入体积公式即可求得结果.
【详解】设圆台的母线长为，则由圆台上、下底面半径分别为，侧面积为，
得，所以，
所以圆台的高，
所以该圆台的体积．
故答案为：
15．1
【分析】利用换底公式可得，，再利用对数的运算性质可求得结果.
【详解】因为，，所以，，
所以，，
因此，.
故答案为：1
16．
【分析】将原问题转化为方程有两个不同的解，进而转化为直线与函数的图象有两个不同的交点求解作答.
【详解】函数与函数的图象有两个不同的交点，即关于x的方程有两个不同的解，
而，令，则直线与函数的图象有两个不同的交点，
又，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
于是当时，，而，当时，，函数的图象，如图，
观察图象得：当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，
所以a的取值范围是.
【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，构造函数，利用导数研究函数的单调性、最值等，
再借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件，利用，可得，即可根据等比数列的通项公式求得，再检验即可求解；
（2）根据，令和，利用等比数列的前n项和公式求解，并检验即可求解.
【详解】（1）解：已知，则，
两式相减可得，即，
所以数列是在n ≥ 2上公比为3的等比数列，则，
因为，不符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）根据题意，得，
当时，，
当时，，
因为符合上式，所以数列的前项和.
18．(1)有的把握认为参数调试改变产品质量
(2)
【分析】（1）先利用所给数据表完善列联表，再利用公式求出，利用临界值表进行判定；
（2）先求出淘汰品概率为，再由二项分布概率公式结合互斥事件加法公式求解概率即可.
【详解】（1）补全列联表如图所示：
，
故有的把握认为参数调试改变产品质量；
（2）由题意，设备更新后的合格概率为，淘汰品概率为，
可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的，
设表示这件产品中淘汰品的件数，则，
所以
.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由相似三角形可得，所以.，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由线面垂直的判定定理证得面，即,再由等体积法求解即可.
【详解】（1）连接，由于，所以，且，
所以，又点为线段上靠近的三等分点，
所以，所以.
又平面平面，
所以平面.
（2）由题知且，，得，
，又，
所以由余弦定理得：，
所以，所以，所以.
面，所以面，
因为面，所以.
又知，设到面的距离为，
所以，即，
解得，即点到平面的距离为.
20．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论即可．
（2）由（1）知，从而，即证明，再构造新函数，利用导数得证．
【详解】（1），
当在上恒成立，故在上单调递增；
当时，令得；
令得，
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：由（1）知，当时，，
所以．
令，
则．
令，
则．
因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，
即当时，．
21．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据条件和椭圆定义建立的方程组求出，得解；
（2）根据题意直线的斜率存在，当直线的斜率为0时，易求得，，易证；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，与椭圆方程联立可得韦达定理，求出直线的方程，令，求得，结合韦达定理验证即可得证.
【详解】（1）因为椭圆上点到焦点的距离之和为，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）根据题意直线的斜率存在，
当直线的斜率为0时，不妨设，，
直线的方程为，令，求得，
同理求得，所以；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，
由题意直线不过点和，所以，
联立，消去整理得，
则，所以，且，，
易知直线的斜率均存在，则，
令，得，
同理可得，
所以，
又，
所以.
所以.
综上，.
【点睛】思路点睛：本题第二问，要分直线的斜率为0和不为0两种情况讨论，当直线的斜率为0时，易求得点坐标，进而求得易得证；当直线的斜率不为0时，设出直线的方程为与椭圆联立，可得，再求出直线的方程，进而求得，结合韦达定理验证.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）将代入参数方程，然后把参数方程转化为普通方程即可；
（2）先求的普通方程，再把代入得到一元二次方程，从而根据的几何意义得到的值.
【详解】（1）当时，求直线的参数方程为，
化简得直线的普通方程.
（2）因为曲线的极坐标方程为，所以.
又因为，所以曲线的普通方程为.
将直线的参数方程为（为参数，）代入，
得，化简得，即.
因为直线交曲线于两点，所以，即，又
设两点对应的参数分别为，则.
因为点在直线上，所以，
即，又，所以或.
23．(1)2
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式可得答案；
（2）利用绝对值不等式的性质可得答案．
【详解】（1）

，
所以，因此，，
当且仅当时，等号成立．
故m的值为2；
（2）因为，，所以，
所以，
所以，
即．
产品
合格品
淘汰品
总计
调试前
24
16
40
调试后
48
12
60
总计
72
28
100