高考数学2024年高考全国甲卷数学(文)真题平行卷（提升）含解析答案

这是一份高考数学2024年高考全国甲卷数学(文)真题平行卷（提升）含解析答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（提升卷）
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则的模为（ ）
A．1B．2C．5D．
2．设，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若变量x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．四位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有两位同学上了同一节车厢的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．30B．50C．20D．40
6．已知为双曲线的两个焦点，为上一点，若，且为等腰三角形，则的离心率为（ ）
A．B．2C．或D．2或3
7．已知是曲线在处的切线，若点到的距离为1，则实数（ ）
A．B．C．D．
8．函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知直线：被圆：所截得的弦最短时，直线与，轴分别相交于点，，则的面积为（ ）
A．2B．C．3D．
11．下列命题正确的个数是（ ）
①若直线上有无数个点不在平面内，则；
②若直线与平面平行，则与平面内有任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；
④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（ ）
A．B．C．D．2
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设当时，函数取得最大值，则 ．
14．已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为 .
15．若，且，则 ．
16．已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题-第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17．设数列的首项，前n项和为Sn，且满足．
(1)求a2及an；
(2)求满足的所有n的值．
18．某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.图1是甲套设备的样本的频率分布直方图，表1是乙套设备的样本的频数分布表.
图1：甲套设备的样本的频率分布直方图
表1：乙套设备的样本的频数分布表
（1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
附：
其中
19．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，点在上，且.
(1)已知点在上，且，求证：平面平面.
(2)求点到平面的距离.
20．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为．
(1)若三角形的面积为2，求点的坐标；
(2)若，证明：直线过定点；
(3)若，求满足的关系式．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
23．已知、为任意实数．
(1)求证：；
(2)求函数的最小值．
质量指标数
频数
甲套设备
乙套设备
合计
合格
不合格
合计
参考答案：
1．D
【分析】先化简求出,再根据共轭复数定义求出,最后根据模长公式求解即可.
【详解】,
,
.
故选:D.
2．D
【分析】由交集的概念求解
【详解】由得，当，时
若，可得满足条件的有，
故，
故选：D
3．B
【分析】作出可行域，表示可行域内点和点所在直线的斜率的2倍，结合图象即可得解.
【详解】由约束条件作出可行域如图，
联立，解得，即，
表示可行域内点和点所在直线的斜率的2倍，
由图可知，当点位于时，斜率最大，
所以的最大值为.
故选：B.
4．C
【分析】求得四位同学乘火车的所有基本事件，以及所求事件包括的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式，求解即可.
【详解】四位同学乘同一列火车，则所有的基本事件有：个；
设事件：“至少有两位同学上了同一节车厢”，则事件表示：四位同学所在车厢都不相同；
则事件包括的基本事件个数为：，事件包括的基本事件个数有：，
故至少有两位同学上了同一节车厢的概率.
故选：C.
5．B
【分析】根据条件求等差数列的首项和公差，再根据通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
所以，
则，得，
所以，
所以.
故选：B
6．C
【分析】利用双曲线的性质计算即可.
【详解】因为，所以可设，
依题意可得：，则的离心率；
或，则的离心率.
故选：C
7．A
【分析】根据导数的几何意义求出直线的斜率，再根据点斜式写出直线的方程，最后由点到直线的距离公式即可求出.
【详解】由题知，所以，
因为是曲线在处的切线，
所以当时，，且，所以，
因为点到的距离为1，所以，解得：.
故选：A
8．C
【分析】由函数的奇偶性，特值法求解即可.
【详解】，
所以，
所以为奇函数，故排除A，D；
当时，，故排除B；
故选：C.
9．D
【分析】由，结合和角正切公式求得，再利用和角正弦公式结合弦化切即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D.
10．C
【分析】先确定直线过定点，且定点在圆内，再确定弦长最短时，直线，求出直线方程，再求所给三角形的面积.
【详解】因为圆：的方程可变形为，圆心的坐标为，半径为2.
又直线：的方程可变形为，由，解得，可知直线过定点，且定点恰好在圆内.
连接，当直线被圆所截得的弦最短时，可得直线与直线垂直.
此时直线的斜率，易知直线的斜率，从而，又直线过，此时直线的方程为，易知，，所以，圆心到直线的距离，所以的面积.
故选：C
11．B
【分析】由线面的位置关系，结合平面基本性质判断各项的正误即可.
【详解】①若直线上有无数个点不在平面内，则与可能平行、相交，错；
②若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与平行，但不是任意一条直线都与平行，错；
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，则另一条直线与这个平面平行，或另一条直线在这个平面内，错；
④若直线与平面平行，根据定义可知，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，对.
故选：B
12．A
【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角，由三角形的内角平分线定理可得，然后在，中，分别利用余弦定理结合，用表示出，从而可得出答案.
【详解】由条件有：，
又，则，
即，又，则
由为的角平分线，则,即
则
在中，
即 ①
在中，
在中，
由，则
化简得到： ②
将②代入①可得： ③
将③代入②可得：, 所以
所以
故选：A
13．
【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性求出，进而利用差角的余弦求解即得.
【详解】依题意，函数，
其中锐角满足，当时，，
因此，
所以.
故答案为：
14．
【分析】由圆台的体积求得圆台的高h，作出圆台的轴截面，由勾股定理可求得结果.
【详解】圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台的高为h，
则该圆台的体积为，则，
作出圆台的轴截面如图所示，
上底面圆心为，下底面圆心为，，，
过作，则，又，
所以圆台的母线长为．
故答案为：.
15．
【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出，代入，利用对数的运算性质可得.
【详解】，且，
且，
，
，
，
.
故答案为：.
16．
【分析】先利用同构得到，换元后得到，参变分离得到有两个不同的根，构造，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到函数图象，数形结合得到，解出答案即可.
【详解】由题意得有两个不同的根，
即有两个不同的根，
变形为，即，
令，则，
其中令，，
恒成立，故在单调递增，
得到，
故有两个不同的根，
令，则，，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
且当时，，当时，，
画出的图象如下图：
故时，有两个不同的根，
解得：.
故答案为：.
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，即从而构造进行求解.
17．(1)，
(2)或
【分析】（1）利用退位相减法，求得数列的递推关系，进而判断出数列为等比数列，从而求得通项公式；
（2）利用（1）的结论，可求得以及，化简，即可求解.
【详解】（1）由，得．
因为，所以．
又①，②，
①②得 即．
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
故．
（2）由（1）可得，
所以．
因此，
所以即，解得或，
故所有n的值为或.
18．(1)见解析；(2)没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
【解析】(1)根据图1和表1中的数据，分别求出甲、乙的合格率，再比较合格率的大小及各区间产品的分布情况即可；
(2)根据图1和表1中的数据，可求得甲、乙的合格和不合格的产品数量，即可完成列联表，将表中的数据代入的公式，求出，查对临界值作出判断，即可得到结论.
【详解】(1)根据图1和表1可知：甲套设备生产的合格品概率约为，
乙套设备生产的合格品的概率约为；
乙设备生产的产品的质量指标主要集中在之间，
甲套设备生产的产品的质量指标与乙设备相比较为分散；
因此，可以认为乙套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标更稳定，从而乙套设备优于甲套设备．
(2)根据表1和图1可得列联表：
提出假设：该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择无关.
根据联表中的数据可以求得
，
当成立时，的概率大于，
故没有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.
【点睛】本题主要考查了统计和独立性检验的相关知识，考查数据处理能力，属于中档题．
19．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）先通过平面几何算出，再证明四边形为平行四边形，因此，进而证明，再证，得到面，因此平面平面；
（2）若是中点，连接，易知为平行四边形，由线面平行的判定可得面，再由线面垂直的性质及判定有面，若为中点，连接，则，由到面的距离即为到面的距离求点面距离.
【详解】（1）由，即△为等腰直角三角形，
又是直角梯形且，且，所以，
因为，故为等腰直角三角形，所以，
因为，又，，∴，，
又，即，∴四边形为平行四边形，则，
又，故；
由底面，面，则，
又，面，∴面，
而面，∴平面平面.
（2）取的中点，连接，由（1）易知：为平行四边形，
∴，而面，面，即面，
综上，到平面的距离即为到面的距离，由面，面，
∴，又，，面，故面，
取的中点，连接，则，故面，又，
∴到面的距离，即到平面的距离.
20．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，然后对m进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性；
（2）由题把所证不等式化为，构造函数，利用导数求得，再构造函数，利用导数求得，通过即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
当时，，则恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，解得或（舍去），
令，解得；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）即，也即，也即.
设，则，令，解得，
又在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
设，则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，所以，
所以，
由题意，所以，
所以，得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题.
21．(1)或
(2)直线过定点，证明见解析
(3)
【分析】（1）设点，由椭圆方程得出，结合三角形的面积为2得出，代入椭圆方程得出，即可得出点的坐标；
（2）设，联立椭圆与直线的方程，得出，结合及即可得出，即可证明；
（3）由得出，代入，得出，两边平方，结合即可得出满足的关系式．
【详解】（1）设点，
由，得，所以，
所以，即，，
代入，则，即，
所以点的坐标为或．
（2）设，
联立得，，
，
则，
，即，
所以，即直线过定点．
（3）设，
由（1）（2）得，，
，
因为，所以，即，
代入，得，
则，
所以，
因为，
所以，整理得，
故满足的关系式为．
22．（1）圆C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0；（2）；4.
【解析】（1）由曲线的参数方程消去参数t，即可求得圆C的普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线l的直角坐标方程；
（2）设点P的坐标为（－5＋cst，3＋sint），求得点P到直线l的距离的最小值dmin＝，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）由为参数），消去参数t，得，
所以圆C的普通方程为.
由，得，
又由，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
（2）直线l与x轴，y轴的交点分别为A（－2，0），B（0，2），
化为极坐标为，
设点P的坐标为（－5＋cst，3＋sint），
则点P到直线l的距离为 ,
所以dmin＝，又.
所以△PAB面积的最小值是.
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线参数中参数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）运用作差法和因式分解，结合完全平方数非负性，即可得证；
（2）运用绝对值三角不等式和（1）的结论，即可得到所求最小值．
【详解】（1）证明：因为
，
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号；
（2）解：函数
，
当且仅当且时取等号．
所以．
甲套设备
乙套设备
合计
合格
不合格
合计