高考数学2024年高考全国甲卷数学(理)真题平行卷（基础）含解析答案

这是一份高考数学2024年高考全国甲卷数学(理)真题平行卷（基础）含解析答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．设x满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．8B．2C．D．
4．设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．4B．6C．10D．12
5．已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．曲线（其中e是自然对数的底数）在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知向量则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b⊂α，则a∥α
D．若直线，b⊂α且a∥b，则a∥α
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则（ ）
A．B．C．D．
12．过点且倾斜角为的直线交圆于两点，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
14．圆台上、下底面半径分别为1和2，母线长2，为则该圆台的体积为 ．
15．已知，，则a，b表示 ．
16．一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 第17题-第21题为必考题，每个考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.
17．按照男女生比例，某学校随机抽取了70名男生，50名女生，检测他们的视力情况，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这所学校男生、女生近视的概率；
(2)能否有的把握认为近视与性别有关？
附：，其中.
18．已知各项为正数的数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和．
19．如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，//，.
(1)若为的中点，求证：//平面；
(2)求二面角的正弦值.
20．在平面直角坐标系中，已知点，，，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，，，设直线，，的斜率分别为，，．证明：为定值．
21．已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.
23．已知实数a，b满足，．若，求证：．
性别
视力情况
近视
不近视
男生
30
女生
40
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．B
【分析】根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由复数，所以.
故选：B.
2．C
【分析】根据集合的补集、交集运算即可.
【详解】因为集合，，，
所以，所以.
故选：C.
3．D
【分析】作出不等式组对应的可行域，平移动直线后可求目标函数的最小值.
【详解】
不等式组对应的可行域如图所示，当动直线平移到时取最小值.
由可得，故.
故，
故选：D.
4．B
【分析】利用等差数列的基本量，求得首项和公差，再求即可.
【详解】设等差数列的公差为，由题可得，解得，则.
故选：B.
5．B
【分析】利用焦点到渐近线的距离得出b，再求得c后可得离心率
【详解】设双曲线C的一个焦点为，因为双曲线C的渐近线为，所以焦点到渐近线的距离为．因为，所以，，又，所以双曲线C的离心率为.
故选：B.
6．B
【分析】先求出切点，再利用导数求出斜率，得到切线方程即可.
【详解】由题可知，，则，
∴，又，
∴函数的图象在点处的切线方程为.
故选：B.
7．B
【分析】根据特殊点处函数值的正负即可排除求解.
【详解】由于函数的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数，故图象关于轴对称，
且，故此时可排除AD,当时，，
因此排除C，
故选：B
8．B
【分析】根据两角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化简求得答案.
【详解】由，得，
.
故选：B.
9．C
【分析】，所以选项错误；，所以选项错误；，所以选项正确；因为，所以选项错误.
【详解】由题意，，
因此，所以选项错误；
，所以选项错误；
，所以，所以选项正确；
，
因为，所以错误，所以选项错误.
故选：C.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量垂直和平行的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．D
【详解】选项A中缺少l在平面α外这一条件；直线在平面α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故选项B错；选项C中缺少a不在平面α内这一条件；选项D满足线面平行的三个条件．
【考查意图】线面平行的判定．
11．C
【分析】利用余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，即可求出，从而得解.
【详解】由余弦定理，
又，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
又，所以，
所以，
又，解得或，
又，所以，则，
所以.
故选：C
12．A
【分析】写出直线的方程，求圆心到直线的距离，再利用弦长公式进行求解即可.
【详解】过点且倾斜角为的直线的方程为
即
又圆即，
所以圆心，半径
则圆心到直线的距离
直线被圆截得的弦
故选：
13．
【分析】设系数最大的项为，则可得，直接求解即可.
【详解】设系数最大的项为，
则，解得，
因为且为整数，
所以，此时最大的项为.
故答案为：
14．
【分析】由圆台的特征知：若补全为锥体则圆台体积为大锥体的体积减去小锥体的体积，画出其轴截面示意图，结合已知条件求出两个锥体的高，利用圆锥的体积公式及即可求圆台的体积.
【详解】圆台轴截面，而面为补全该圆台为锥体的轴截面，如下图所示，
∴圆台体积为大锥体的体积减去小锥体的体积，
∵，，，即可得，
∴，
∴.
故答案为：
15．
【分析】先根据指数式与对数式的互化求出，再根据对数的运算性质计算即可.
【详解】由，得，
则.
故答案为：.
16．##0.1875
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.
【详解】两次抽取的试验的样本空间，共16个，
两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个，
所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是.
故答案为：
17．(1)，；
(2)有.
【分析】（1）由已知及表格中数据，求出男女生近视的频率，再估计概率.
（2）完善列联表，再求出的观测值，与临界值表比对作答.
【详解】（1）依题意，样本中男生近视的频率为，所以估计这所学校男生近视的概率为；
样本中，近视的女生有10名，女生近视的频率为，所以估计这所学校女生近视的概率为.
（2）因为抽取的男生有70人，女生有50人，列联表如下：
由列联表中的数据得，
所以有的把握认为近视与性别有关.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用与间的关系即可求出结果；
（2）利用错位相减法即可求出结果.
【详解】（1），
两式相减得：，
由于，则，
当时，，得，
，则，
所以是首项和公差均为2的等差数列，故．
（2）①
所以②
由得：，
所以
．
19．(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）利用线面平行的判定进行证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角.
【详解】（1）连接因为为的中点，//，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以.
因为平面，平面，
所以//平面.
（2）因为四边形是正方形，平面，
所以，，两两垂直.
以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为//，.
所以，，，，
从而，，.
设平面的法向量为，则
令，得，，即，
设平面的法向量为，则
令，得，，即，
所以，
所以二面角的正弦值为1.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义可判断曲线是椭圆，即可求出其方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理和斜率公式求出的值，利用斜率公式求出，利用点在椭圆上，消元即可求出，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
所以曲线为以为焦点的椭圆，
其中，故，
所以椭圆方程：．
（2）易知直线的斜率不为零，
设直线的方程为，,，,，
由，得，
则，
则，，，
所以
，
，
所以为定值．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
21．（1）极小值为，无极大值； （2）.
【分析】（1）把代入，然后对函数求导，结合导数可求函数单调区间,即可得解；
（2）由不等式的恒成立，结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论，进行求解即可．
【详解】解：（1）当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2），
①当时，，在区间上单调递增，所以满足条件；
②当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
故，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，所以，
所以无解，故不符合题意；
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
22．(1)，；
(2)．
【分析】（1）曲线的参数方程消参得直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直线l的直角坐标方程；
（2）先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关于的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解.
【详解】（1）由（为参数），
消参得曲线的直角坐标方程为．
由得，
则直线的直角坐标方程为．
（2）易知点在直线上，直线的参数方程可写为（为参数），
代入，得．
设对应的参数分别为，则
．
23．证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用三角不等式，结合均值不等式推理作答.
【详解】，，当且仅当时取等号，
又，，因此，当且仅当时等号成立，
所以.
性别
视力情况
合计
近视
不近视
男生
30
40
70
女生
10
40
50
合计
40
80
120