2023-2024学年安徽省阜阳市太和县九年级（上）月考数学试卷（12月份） （含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省阜阳市太和县九年级（上）月考数学试卷（12月份） （含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）
2．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票，座位号是奇数
B．五个人分成四组，这四组中有一组必有两人
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．打开手机就有未接电话
5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+2＝0B．2x2+3x+2＝0
C．4x2﹣12x+9＝0D．3x2+5x﹣8＝0
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．70°B．90°C．100°D．110°
7．下列图形是中心对称图形的有（ ）个
①正方形；②矩形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形
A．5B．4C．3D．2
8．已知点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
9．如图，AB与⊙O切于点B，OB＝3，C是OB上一点，连接AC并延长与⊙O交于点D，连接OD，∠A＝40°，∠D＝30°，则的长为（ ）
A．B．πC．D．
10．如图，△ABC内接于圆O，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点A，B，C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．cm2B．cm2
C．cm2D．cm2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若把一个半径为5，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
12．书架上有数学书3本，语文书2本，从中任意抽取一本是数学书的概率是 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝75°，则∠OCB＝ ．
14．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是线段BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连接CE．
（1）若CD＝2时，CE＝ ；
（2）设BD＝a，当△EDC的面积最大时，a＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
16．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD＝2，求弦AB的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
18．如图，在直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，已知A点坐标为（﹣3，﹣2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1，并写出点D1的坐标；
（3）判断△A1B1C1和△D1E1F1是否是关于某点成为中心对称的图形．若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
20．小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．
（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．
六、（本题满分12分）
21．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中红球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率是多少？
七、（本题满分12分）
22．如图，把△ABC绕着顶点A逆时针旋转50°，得到△ADE，其中点B的对应点D恰好落在AC边上，点F，G分别是AC，AE上的点，AF＝AG，延长BF交DG于点H．
（1）求证：BF＝DG；
（2）求∠FHG的度数．
八、（本题满分14分）
23．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，且CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，，求⊙O的半径．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣1，2）
【分析】由二次函数的顶点式即可得出结果．
解：∵抛物线的顶点式为：y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
故选：C．
2．如图所示的圆形纸板被等分成10个扇形挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】阴影部分有4个，根据概率的计算方法计算即可．
解：圆形纸板被等分成10个扇形，飞镖落在每个扇形的概率是．
阴影部分有4个，所以飞镖落在阴影部分的概率为．
故选：D．
3．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
解：∵OP＝＞3，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
4．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意购买一张电影票，座位号是奇数
B．五个人分成四组，这四组中有一组必有两人
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上
D．打开手机就有未接电话
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，不符合题意；
B、五个人分成四组，这四组中有一组必有两人是必然事件，符合题意；
C、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
D、打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意；
故选：B．
5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+2＝0B．2x2+3x+2＝0
C．4x2﹣12x+9＝0D．3x2+5x﹣8＝0
【分析】根据根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号，可以判定个方程实数根的情况，注意排除法在解选择题中的应用．
解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×2＝﹣8＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
B、∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，
∴此方程没有实数根，
故本选项不符合题意；
C、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0，
∴此方程有两个相等的实数根，
故本选项不符合题意；
D、∵Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣8）＝121＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根，
故本选项符合题意．
故选：D．
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝130°，则∠BOD的度数为（ ）
A．70°B．90°C．100°D．110°
【分析】先利用圆内解四边形的性质得到∠A＝50°，然后根据圆周角定理得到∠BOD的度数．
解：∵∠A+∠C＝180°，∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故选：C．
7．下列图形是中心对称图形的有（ ）个
①正方形；②矩形；③等边三角形；④线段；⑤角；⑥平行四边形
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：①正方形；②矩形；④线段；⑥平行四边形是中心对称图形，共4个；
故选：B．
8．已知点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则a+b的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案．
解：∵点A（a，2）与点B（﹣3，b）关于原点对称，
∴a＝﹣（﹣3）＝3，b＝﹣2，
∴a+b＝3+（﹣2）＝1．
故选：C．
9．如图，AB与⊙O切于点B，OB＝3，C是OB上一点，连接AC并延长与⊙O交于点D，连接OD，∠A＝40°，∠D＝30°，则的长为（ ）
A．B．πC．D．
【分析】根据切线的性质得到∠ABO＝90°，根据三角形的内角和得到∠DOB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，根据弧长的计算公式即可得到结论．
解：∵AB与⊙O切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ACB＝50°，
∴∠OCD＝∠ACB＝50°，
∵∠D＝30°，
∴∠DOB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∴的长＝＝，
故选：C．
10．如图，△ABC内接于圆O，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点A，B，C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．cm2B．cm2
C．cm2D．cm2
【分析】过点C作CD⊥AF，垂足为D，延长DC交BG于点E，先根据平行线之间的距离可得DC＝3cm，CE＝4cm，再根据一线三等角构造全等模型证明△CBE≌△ACD，从而利用全等三角形的性质可得CE＝AD＝4cm，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC＝BC＝5，最后在Rt△ACB中，利用勾股定理求出AB的长，从而根据图中阴影部分的面积＝π•（）2﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．
解：过点C作CD⊥AF，垂足为D，延长DC交BG于点E，
∴∠ADC＝90°，
∵AF∥BG，
∴∠BEC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
由题意得：DC＝3cm，CE＝4cm，
∵∠ADC＝∠BEC＝90°，AC＝BC，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴CE＝AD＝4cm，
∴BC＝AC＝＝＝5（cm），
∴AB＝＝＝5（cm），
∴图中阴影部分的面积＝π•（）2﹣△ABC的面积
＝π×（）2﹣AC•BC
＝π﹣×5×5
＝（cm2），
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若把一个半径为5，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为 ．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•r＝，然后解关于r的方程即可．
解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2π•r＝，
解得r＝，
即这个圆锥的底面圆的半径为．
故答案为：．
12．书架上有数学书3本，语文书2本，从中任意抽取一本是数学书的概率是 ．
【分析】直接根据概率公式计算．
解：从中任意抽取一本是数学书的概率＝＝．
故答案为：．
13．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝75°，则∠OCB＝ ．
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：∠BOC＝2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB．
解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×75°＝150°，
∵OC＝OB（都是半径），
∴∠OCB＝∠OBC＝（180°﹣∠BOC）＝15°．
故答案为：15°．
14．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是线段BC上一点，以AD为边在AD右侧作等边三角形ADE，连接CE．
（1）若CD＝2时，CE＝ ；
（2）设BD＝a，当△EDC的面积最大时，a＝ ．
【分析】（1）先证明△CAE≌△BAD（SAS），再根据全等三角形的性质即可得出答案；
（2）过E作EF⊥BC于F，先由全等三角形的性质得CE＝BD＝a，∠ACE＝∠ABD＝60°，则CD＝6﹣a，∠ECF＝60°，得∠CEF＝90°﹣60°＝30°，再由直角三角形的性质得CF＝CE＝a，EF＝CF＝a，然后由三角形面积公式得△EDC的面积＝﹣（a﹣3）2+，即可得出答案．
解：（1）∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS）．
∴CE＝BD，
∵CD＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝6﹣2＝4，
∴CE＝4，
故答案为：4；
（2）过E作EF⊥BC于F，如图所示：
则∠EFC＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
由（1）得：△CAE≌△BAD，
∴CE＝BD＝a，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∴CD＝6﹣a，∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠CEF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝CE＝a，EF＝CF＝a，
∴△EDC的面积＝CD×EF＝（6﹣a）×a＝a（6﹣a）＝﹣（a﹣3）2+，
∴当a＝3时，△EDC的面积最大＝，
故答案为：3．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】此题可以采用配方法和公式法，解题时要正确理解运用每种方法的步骤．
【解答】解法一：原式可以变形为，
，
，
∴，
∴，．
解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
16．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD＝2，求弦AB的长．
【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB＝2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．
解：∵⊙O的半径为5，
∴OA＝OC＝5，
∵CD＝2，
∴OD＝5﹣2＝3，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB＝2AD，∠ODA＝90°，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD＝＝＝4，
∴AB＝2AD＝8．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是，求从袋中取出黑球的个数．
【分析】（1）由一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先设从袋中取出x个黑球，根据题意得：＝，继而求得答案．
解：（1）∵一个不透明的袋中装有20个只有颜色不同的球，其中5个黄球，8个黑球，7个红球，
∴从袋中摸出一个球是黄球的概率为：＝；
（2）设从袋中取出x个黑球，
根据题意得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
所以从袋中取出黑球的个数为2个．
18．如图，在直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，已知A点坐标为（﹣3，﹣2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1，并写出点D1的坐标；
（3）判断△A1B1C1和△D1E1F1是否是关于某点成为中心对称的图形．若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出D、E、F的对应点D1、E1、F1即可；
（3）连接C1F1、B1D1、A1E1，它们相交于一点，从而可判断△A1B1C1和△D1E1F1关于这点成中心对称．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，B1的坐标为（﹣4，1）；
（2）如图，△D1E1F1为所作，D1的坐标为（2，﹣3）；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1是关于点（﹣1，﹣1）成为中心对称的图形．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）等量关系为：售价P×销售数量x﹣生产x只玩具熊猫的成本＝1750，把相关数值代入求解即可．
（2）设每天所获利润为W，根据题意可表示出w与x的二次函数关系，再根据二次函数最值的求法，求得最值即可．
解：（1）∵生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R，P与x的关系式分别为R＝500+30x，P＝170﹣2x，
∴（170﹣2x）x﹣（500+30x）＝1750，
解得 x1＝25，x2＝45（大于每日最高产量为40只，舍去）．
（2）设每天所获利润为W，
由题意得，W＝（170﹣2x）x﹣（500+30x）
＝﹣2x2+140x﹣500
＝﹣2（x2﹣70x）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352﹣352）﹣500
＝﹣2（x2﹣70x+352）+2×352﹣500
＝﹣2（x﹣35）2+1950．
当x＝35时，W有最大值1950元．
答：当日产量为25只时，每日获得利润为1750元；要想获得最大利润，每天必须生产35个工艺品，最大利润为1950．
20．小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．
（2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．
【分析】（1）设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.6，把A（0，2）代入解析式求出a即可；
（2）根据题意令y＝0，解方程即可得到结论．
解：（1）依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3.6），点A的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.6，
∵抛物线过点A（0，2），
∴a（0﹣4）2+3.6＝2，
解得a＝﹣0.1，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6；
（2）令y＝0，得﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣2（C在x轴正半轴，故舍去），
∴点C的坐标为（10，0），
∴OC＝10＞9.6，
∴小明此次试投的成绩能达到满分．
六、（本题满分12分）
21．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中红球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两只球颜色不同的概率是多少？
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，则摸到红球的概率为0.4，然后利用概率公式计算红球的个数；
（3）先利用列表法展示所有20种等可能的结果数，再找出两只球颜色不同所占结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
故答案为：0.6；
（2）由（1）摸到白球的概率为0.6，则摸到红球的概率为1﹣0.6＝0.4，所以可估计口袋中红球的个数为：5×0.4＝2（只）；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种，
所以两只球颜色不同的概率＝＝．
七、（本题满分12分）
22．如图，把△ABC绕着顶点A逆时针旋转50°，得到△ADE，其中点B的对应点D恰好落在AC边上，点F，G分别是AC，AE上的点，AF＝AG，延长BF交DG于点H．
（1）求证：BF＝DG；
（2）求∠FHG的度数．
【分析】（1）如图，证明△ABF≌△ADG，得到BF＝DG，即可解决问题．
（2）证明∠ABF+∠AGH＝∠ADG+∠AGH，此为解题的关键性结论；求出∠ABF+∠AGH＝130°，∠BAG＝100°，即可解决问题．
【解答】证明（1）：由题意得：
△ABC≌△ADE，
∴∠BAF＝∠DAG，AB＝AD；
在△ABF与△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴BF＝DG．
（2）∵△ABF≌△ADG，
∴∠ABF＝∠ADG，
∴∠ABF+∠AGH＝∠ADG+∠AGH；
由题意得：∠BAF＝∠DAG＝50°，
∴∠ABF+∠AGH＝∠ADG+∠AGH
＝180°﹣50°＝130°，
∴∠FHG＝∠BHG＝360°﹣130°﹣100°
＝130°．
八、（本题满分14分）
23．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，且CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD＝∠BCD，由∠CAD+∠ABC＝90°，可得出∠OCD＝90°，即结论得证；
（2）证明△ABC≌△AFC可得CB＝CF，又CB＝CE，则CE＝CF；
（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BC＝a，AC＝a，则由勾股定理可得AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∵OC为圆的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）解：∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴，
∴，
∴AD＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
∴⊙O的半径为0.5．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
295
480
601
摸到白球的频率
0.59
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
116
295
480
601
摸到白球的频率
0.59
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601