[数学][期末]黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二下学期期末考试试题(解析版)，共16页。试卷主要包含了 已知数列的通项公式为，则， 已知函数，则，225B等内容，欢迎下载使用。

第I卷
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列的通项公式为，则（ ）
A. 13B. 14C. 30D. 49
【答案】C
【解析】由，
得，，
所以.
故选：C.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为，，则，
所以.
故选：A
3. 现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（ ）
A. 216B. 240C. 432D. 720
【答案】C
【解析】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，
先分别选1男1女排在左右两端，有种排法，
再排中间4个位置，有种排法，
所以不同的排法种数为种.
故选：C.
4. 现有8道四选一的单选题，某学生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此题的概率为（ ）
A. 0.225B. 0.625C. 0.675D. 0.7375
【答案】D
【解析】记事件表示“考生答对题”，事件表示“考生选到有思路的题”，
则该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此题的概率为
.
故选：C
5. 某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：
由表格制作成如图所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，其相关系数为；经过残差分析，点对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为.则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】身高的平均数为，
因为离群点的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，
所以去掉后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故，
去掉后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以.
故选：A
6. 已知的展开式的各二项式系数和为，且的系数为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】因为展开式的各二项式系数和为，所以，解得，
所以展开式的通项为（且），
令，解得，所以展开式中的系数为，解得.
故选：C
7. 已知等差数列的公差为，若集合，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
因为函数的周期为3，而，
所以最多3个不同取值，又，
则在中，恰两个值相等.
所以有，
或，或.
（1）当时，令，
由，得，
解得，
故，
则
.
（2）当时，令，
则，
且也成立，故同（1）可得；
（3）当时，
其中，
则有，令，
则，
且仍然成立， 故以下也同（1）可得.
综上，.
故选：B
8. 已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】若，使成立，
则当且仅当，
于函数而言，其最大值为，
于而言，其导数，
当时，，当时，，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
从而的最大值，
所以原题条件等价于，即
故选：B.
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学考试成绩服从正态分布的正态密度函数为，称它的图像为正态密度曲线，通过的正态密度函数及其图像可以发现，下列关于的正态密度曲线的叙述正确的有（ ）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.
A. 正态密度曲线是单峰的，它关于直线对称
B. 当无限增大时，曲线无限接近轴
C. 曲线在处达到峰值
D.
【答案】ABD
【解析】由正态密度函数可知，，，则，
由正态密度曲线的性质可知，图像是单峰的，且关于对称，故A正确；
当无限增大时，，则，则曲线无限接近轴，
故B正确；
当时，，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
10. 定义数列为数列的“3倍差数列”，若的“3倍差数列”的通项公式为，且，则下列正确的有（ ）
A.
B. 数列的前项和为
C. 数列的前项和与数列的前项和相等
D. 数列的前项和为，则
【答案】ACD
【解析】由可得，且，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，即，
则，所以，故A正确；
因为，由等比数列的求和公式可得该数列的前项和为，故B错误；
因为，，这两个数列的通项公式相同，
则其前项和相等，故C正确；
因为，则，
则其前项和
，
且当时，取得最小值为，所以，故D正确；
故选：ACD
11. 已知的图象上能找到两个不同点关于原点对称，则称为函数的一对“友好点”，则下列正确的有（ ）
A. 若，则有两对“友好点”
B. 不可能有三对“友好点”
C. 若仅有一对“友好点”，则
D. 当时，对任意的，总是存在，使得
【答案】BD
【解析】若和互为“友好点”，不妨设，
则，得，
令（），则，
所以当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以的大致图象如图所示，
由图可知，当时，的图象与直线无交点，所以不存在“友好点”，
当或时，的图象与直线有一个交点，所以只有一对“友好点”，
当时，的图象与直线有两个交点，所以存在两对“友好点”，
不可能有三对“友好点”，
所以AC错误，B正确，
当时，对任意的，，
又，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，
所以总存在，使，所以D正确，
故选：BD
第II卷
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.
12. 袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为，则____________.
【答案】2
【解析】设白球的个数为，则黑球和红球的个数为；
记两个都不是白球的事件为，则至少有一个白球的事件与事件为对立事件；
所以，解得，
所以白球的个数为5；
从袋中任意摸出3个球，到白球的个数的取值可能为：0，1，2，3；
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望，
则．故答案为：2
13. 已知函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】令，则，
因为对任意的实数，都有，则，
所以在上单调递减，且，则，
不等式，，
即，所以，即，
所以，解得，且，所以，
即不等式得解集为.故答案：
14. 已知是数列的前项和，且，则____________；____________.
【答案】① ②
【解析】，
解得；
当时，，
可得，即，，
所以是以2为首项，为公差的等差数列，
所以，可得，
时成立，
所以，可得.
故答案为：①；②.
四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.
（1）求、的通项公式；
（2）记，为的前项和，求.
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，
因为，，，
则，
，
所以，，解得，
所以，，
.
（2）由（1）可知，，
所以，，①
可得，②
①②可得
，
因此，.
16. 某学校想了解学生爱好体育运动是否与性别有关联，从学生群体中随机抽取80名学生进行调查，得到了如下列联表：
单位：人
现在从这80人中随机选择1人，已知在选到是爱好体育运动者的条件下，选到男生的概率是.
（1）请将上面的列联表补充完整，并根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好体育运动与性别有关联？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该学校的所有女生中随机调查3人，设被调查的3人中爱好体育运动的人数为，求的分布列､均值和方差.
参考公式：.
附表：
解：（1）设喜欢运动者共有人，
则由题意可得，
则，
故可得如下列联表：
零假设：爱好体育运动与性别无关联
所以，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为爱好体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）由表中数据可知女生爱好运动的概率为，
所以，则的所有可能取值为，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
17. 莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为.
（1）求的值；
（2）将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.
解：（1）由图1可知：
由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ，
故，同理，
故
；
（2）莱布尼茨三角的性质：
.
.
故结论正确.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极大值，且极大值大于，求的取值范围.
解：（1），
当时，.
所以曲线在点处的切线方程，即.
（2）由（1）知，，
①当时，在上单调递增，无递减区间，
②当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
综上：当在上单调递增，无递减区间，
当在上单调递增，在上单调递减.
（3）因为有极大值，且极大值大于，
故，且在处取极大值，
，
即，
令，
恒成立，在上单调递增，
又，当且仅当时成立，
故，当且仅当时成立，
因此的取值范围是.
19. 中国国家女子排球队（简称中国女排）曾十度成为世界冠军（包括世界杯、世锦赛和奥运会三大赛），中国女排也是中国三大球中唯一一个拿到冠军奖杯的队伍.众所周知，排球是一项集体运动，团队协作及日常科学训练对于赢得比赛都至关重要.现有主攻手1人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人，从这6人中随机抽取3人参与常规训练.该主攻手的扣球高度与得分概率的数据，如表所示：（女子网高2.24米）
（1）若表中两个变量线性相关（经验回归方程为），计算样本相关系数（保留），并推断它们的相关程度；
（2）若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为和，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为和，假设球一直没有掉地上，求经过次传球后甲接到球的概率.
参考公式：
参考数据：，
解：（1），
，
，
，
，
两个变量呈现正相关，而且相关性很强.
（2）经过次传球后，排球被甲接到的概率为.
则.
即.
，
是首项为，公比为的等比数列，
，
即.
身高x（单位：）
167
173
175
177
178
180
181
体重y（单位：）
90
54
59
64
67
72
76
0
1
2
3
性别
是否爱好体育运动
合计
是
否
女生
10
男生
10
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否爱好运动
合计
是
否
女生
10
50
60
男生
10
10
20
合计
20
60
80
0
1
2
3
扣球高度（米）
2.4
2.5
2.7
2.9
3.0
得分概率
0.1
0.2
0.4
0.7
0.9