江苏省外国语学校2023-2024学年高二上学期开学检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省外国语学校2023-2024学年高二上学期开学检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数列满足：，，，，则( ).
A.B.C.1D.2
2．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10，…构成数列，记为该数列的第n项，则( )
A.2016B.4032C.2020D.4040
3．已知数列满足，前n项的和为，关于，叙述正确的是( ).
A.，都有最小值B.，都没有最小值
C.，都有最大值D.，都没有最大值
4．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A.B.C.15D.40
5．等差数列中，为它前n项和，若，，，则当( )时，最大.
A.20B.19C.10D.11
6．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，则( )
A.B.2017C.4034D.8068
7．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法错误的是( )
A.从正方形开始，连续3个正方形的面积之和为
B.
C.使得不等式成立的n的最大值为4
D.数列的前n项和
8．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②，；③，，.定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是( )
A.若，则为“s数列”
B.若，则为“t数列”
C.若为“s数列”，则为“t数列”
D.若为“t数列”，则为“s数列”
二、多项选择题
9．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是( )
A.数列是等比数列
B.若，，则
C.若数列的前n项和，则
D.若，则数列是递增数列
10．等差数列的前n项和为，若，公差，则( )
A.若，则B.若，则是中最大的项
C.若，则D.若，则
11．已知正项等比数列，，公比分别为，，前n项和分别为，，若，，且，则( )
A.B.C.D.
12．已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值.记数列的前k项和为，( )
A.若，则当且仅当时，取得最大值
B.若，则当且仅当时，取得最大值
C.若，则当且仅当时，取得最大值
D.若，，则当或14时，取得最大值
三、填空题
13．已知数列为等比数列，其前n项和为，前三项和为13，前三项积为27，则________.
14．已知数列满足：，，且是递增数列，则实数的取值范围是________.
15．数列满足，，则数列的前6项和________.
16．已知等比数列的公比为，前n项和为，且满足，.若对一切正整数n，不等式恒成立，则实数m的取值范围为________.
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，，，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求正整数m.
18．已知等差数列的前n项和为，，为整数，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
19．设数列的前n项和为，已知，且.
（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和.
20．若数列满足，则称数列为“平方递推数列".已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
（1）证明:数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列;
（2）设，，求数列的前10项和.
21．已知数列中，，.
（1）证明数列是等差数列，并求通项公式；
（2）若对任意，都有成立，求k的取值范围.
22．已知各项均为正数的数列的前n项和为，首项为，且、、成等差数列.
（1）证明：数列是等比数列，并写出通项公式；
（2）若，设，求数列的前n项和；
（3）若不等式对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：，
，
即，
又，
是以6为周期的周期数列.
，
故选：C.
2．答案：A
解析：依题意，，，，…，于是有，
则当时，，而满足上式，因此，，
所以.
故选：A.
3．答案：A
解析：因为，所以当时，且单调递减；
当时，，且单调递减，故当时，为最小值；
又因为当时，；当时，，故可得最小，
综上可知，都有最小值.
故选：A.
4．答案：C
解析：由题知，
即，即，即.
由题知，所以.
所以.
故选：C.
5．答案：C
解析：等差数列中，前n项和为，且，，
即，并且，所以，
所以数列的前10项和最大.
故选：C.
6．答案：C
解析：用倒序相加法：令①
则也有②
由，
，即有，
可得：，
于是由①②两式相加得，所以.
7．答案：C
解析：由题可得，，，……，，
则，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，则，显然B正确；
由题意可得：，即，，……，，
于是，为等比数列，
对A：连续三个正方形面积之和，A正确；
对C：令，则，而，C错误；
对D：，D正确.
故选：C.
8．答案：A
解析：若，则，满足①，
，，，
因为，所以，，满足②，
故A正确；
若，则，满足①，
，令，
若n为奇数，此时，存在，且为奇数时，此时满足，
若n为偶数，此时，则此时不存在，使得，
综上：B选项错误；
设，此时满足，
也满足，，，
即，，
但不满足③，，，
因为，
综上C选项错误；
不妨设，满足，
且，，
当n为奇数时，取，使得，
当n为偶数时，取，使得，
故为“t数列”，
但此时不满足，，不妨取，，
则，，，而，
则不是“s数列”，D选项错误.
故选：A.
9．答案：AD
解析：由数列是等比数列，设公比为q，
则是常数，故A正确；
由，，则，即，
所以，故B错误；
若数列的前n项和，
则，，
，
，，成等比数列，，
即，解得，故C错误；
若，则，数列是递增数列；
若，则，数列是递增数列，故D正确.
故选：AD
10．答案：ABD
解析：由，得，
所以，
则，A正确；
因为，
所以，即，
因为，，
所以，则，等差数列为递减数列，
则是中最大的项，B正确；
若，则，即，
因为，，则，故，无法判断的正负，
故，不能判断，C错误；
因为，所以，
因为，，所以，则，
则，D正确，
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：对于A，因为，
所以当时，，
又，所以，故，
所以，故A正确；
对于B，当时，，即，
将，代入得，即，
解得或，
因为是正项等比数列，所以，故，
所以，故B错误；
对于C，由选项B可得，
所以，则，
又由选项AB知，则，故，故C正确；
对于D，由选项B可得，，
所以，故，故D错误.
故选：AC.
12．答案：BD
解析：由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，
前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理，，，
前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
13．答案：121或
解析：设数列的公比为q，
前三项积为27，
，解得，
前三项和为13，
，
解得或，
或.
故答案为：121或.
14．答案：
解析：是递增数列，且对于任意的，都有成立
对于任意，，，
化为：恒成立，
又单调递减，
所以.
故答案为：.
15．答案：120
解析：，，又，
，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
，，
，
故答案为120.
16．答案：
解析：若，则，即，此时，与题意不符，舍去；
若，由，可得，
即，，
解得，则，.
对一切正整数n，不等式恒成立，
化简得，分离可得，
设，则，，
当时，，即；
当时，，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）7
解析：（1）因为，
所以，即，
则.
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列.
（2）由（1）得，，
则.
又，
所以，，
化简得，解得m＝7或（舍）.
所以m的值为7.
18．答案：（1）；
（2）；.
解析：（1）由于，为整数，所以等差数列的公差d为整数，
又，所以，，即：，解得，
所以，所以数列的通项公式为.
（2）由得：，所以，
当时，；
当时，，
所以；
所以.
19．答案：（1）证明见解析，
（2）；
解析：（1）由，得，
，
两式相减得，则有，
两式相减得，，
，
数列是等差数列，
当时，，，
又，，
.
（2），
，，
两式相减得
，.
20．答案：（1）证明见解析；
（2）；436
解析：（1）点在函数的图象上，
，，
数列是“平方递推数列”，
因为，
对两边同时取对数得，
数列是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）由（1）知，
所以
所以.
21．答案：（1）证明见解析；；
（2）
解析：（1）证明：由已知可得，，
又，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以，所以，所以.
（2）由（1）知，.
所以，所以.
则由可得，对任意，都成立.
令，假设数列中第项最大，
当时则，有，即，整理可得，
解得，所以.
因为，所以，.
又，所以数列中第2项最大，即对任意，都成立.
所以由对任意，都成立，可得.
22．答案：（1）证明见解析；；
（2）；；
（3）
解析：（1）各项均为正数的数列的前n项和为，首项为，且成等差数列.
则：①，
当时，，解得：.
当时，②，
①②得：，整理得：，
所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列.
所以：.
（2）由于：，所以，则，
所以①，
②，
①②得：，
解得：.
（3）设，
则：，
当，2，3时，，
当时，，即，
故的最大值为1，
不等式对一切正整数n恒成立，只需即可，
故：，解得：或，
所以m的取值范围是：.